鬼方法

鬼方法 是技術類用於應用數學并且科學計算數字上解決確定偏微分方程經常介入用途對快速的傅立葉變換. 那裡可適用，鬼方法有優秀錯誤物產，当所謂的「指數匯合」是最快速可能的。

偏微分方程(PDEs)描述大多物理過程例如熱量傳導、流體流動和音響傳輸。在許多這樣等式，有可以使用給高效率的算法為計算的解答這些PDEs的部下的「基本的波浪」。在典型的案件，鬼方法通過寫解答利用這個事實作為它傅立葉系列替代這個系列入PDE得到系統抒情詩在三角期限的非定常系數在系列(寫在複雜指數形式)和使用時間跨步方法解決那些抒情詩。

鬼方法和有限元法在同樣想法嚴密被關係并且被修造; 他們之間的主要區別是鬼方法接近解答線性組合連續函數一般是非零的在解答領域(通常 sinusoids 或 Chebyshev多項式)，而有限元法接近解答，因為是非零的在小subdomains piecewise作用的一個線性組合。因此，鬼方法承擔a 全球性方法 當有限元法是a時 地方方法. 當解答是時，這是一部分的為什麼鬼方法工作最好光滑.

在有限元素社區、方法，元素程度非常高或增量，柵格參量h減退到零有時稱a 鬼元素方法.

鬼方法的實施通常被完成二者之一與搭配或a Galerkin 方法。

一個具體例子

我們這裡假定基本的理解對基本多維分佈微積分并且傅立葉系列. 如果g (x， y)是知道，二個實變量的複雜被重視的作用和g是週期性的在x和y (即g (x， y) =g (x+2π， y) =g (x， y+2π)) 然後我們是對發現作用感興趣f (x， y)，以便

$\被留下的(\ frac {\ partial^2} {\部份x^2} + \ frac {\ partial^2} {\部份y^2} \正確) f (x， y) =g (x， y) \方形字體\ mbox {為所有} x， y$

那裡表示在左邊在x和y表示f第二種部份衍生物，分別。這是泊松等式和能完全被解釋作為某一類熱量傳導問題。

如果我們在傅立葉系列寫f和g ：

$f= \總和a_ {j， k} e^ {ijx+iky}$

$g= \總和b_ {j， k} e^ {ijx+iky}$

并且替代入微分方程，我們得到這個等式：

$\總和- a_ {j， k} (j^2+k^2) e^ {ijx+iky} = \總和b_ {j， k} e^ {ijx+iky}$

我們交換了部份分化以一個無限總和，例如是合法的，如果我們假設那 f 有一種連續的第二種衍生物。由獨特定理為傅立葉擴展，我們必須由期限然後視同傅立葉系數期限，給

(*) $a_ {j， k} = \ frac {b_ {j， k}} {j^2+k^2}$

哪些是一個明確慣例為傅立葉系數 a_j,k.

要把此變成算法，有限地仅許多頻率解決為。這介紹能證明是比例的錯誤 $h n$ 的地方 $h = 1 / n$ 并且 $n$ 是被對待的最高的頻率。

算法

計算傅立葉變換(b_{j， k}) g.
計算傅立葉變換(a_{j， k}) f 通過慣例(*)和傅立葉變換 g.
估計 f 通過採取相反傅立葉變換(a_{j， k}).

因為我們只是對頻率感興趣一個有限窗口(大小 n言)這可以使用a完成快速的傅立葉變換算法。所以，算法及時全球性地跑 O(n 日誌 n).

與鬼元素方法的一個關係

你可能顯示那，如果 $g$ 是無限地能區分的，然後數字算法使用快速的傅立葉在柵格大小h.變換快速地將聚合比其中任一多項式。即為任何n> 0，有a $C< \ infty$ 這樣錯誤是較少比 $C h n$ 為所有充足地小價值 $h$ . 我們說鬼方法是秩序 $n$ 為每n> 0。

由於a 鬼元素方法是a 有限元法非常高位，有相似性在匯合物產。然而，而鬼方法根據特殊邊值問題的eigendecomposition，鬼元素方法不使用那信息并且不為任意運作橢圓邊值問題.

參見

參考

Chebyshev和傅立葉鬼方法由約翰・ P。 Boyd。
javier ・ de Frutos， Julia Novo ：一個鬼元素方法為Navier--昇火等式以被改進的準確性
Canuto C.， Hussaini M。 Y.、Quarteroni A.和Zang T.A。 (2006) 鬼方法。根本性在唯一領域。 Springer-Verlag，柏林海得爾堡

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