正弦和餘弦變換

內容

1 傅立葉正弦變換
2 傅立葉餘弦變換
3 參見
4 參考

傅立葉正弦變換

在數學 傅立葉正弦變換 是一個特殊情況連續的傅立葉變換自然地升起，當試圖變換時奇函數. 考慮將軍傅立葉變換:

$F (\ Ω) = \ mathcal {F} (f) (\ Ω) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (t) e^ {- i \ Ω t} \， dt。$

我們也許擴展被積函數通過 Euler的慣例:

$F (\ Ω) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (t) (\ COS \， {\ Ω t} - i \， \罪孽{\， \ Ω t}) \， dt，$

或者，寫作為總和二積分式:

$F (\ Ω) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (t) \ COS \， {\ Ω t} \， dt - \ frac {i} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (t) \罪孽\， {\ Ω t} \， dt。$

現在，如果我們假設，注意那 f (t) 是一個奇函數，產品 f (t)cosωt 也是奇怪的，產品 f (t) sinωt 是偶函數. 因為我們集成在間隔時間相稱關於起源(即。 - ∞對+∞)，第一個積分式必須消失到零，并且秒鐘也許被簡化給：

$F (\ Ω) = - i \， \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ \ infty f (t) \罪孽\， {\ Ω t} \， dt，$

哪些是傅立葉正弦為奇怪變換 f (t). 它確切被變換的作用 F (ω) 也是一個奇函數和對將軍的相似的分析相反傅立葉變換產生第二正弦變換，即：

$f (t) = i \， \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ \ infty F (\ Ω) \罪孽\， {\ Ω t} \， d \ Ω。$

注意數字因素在變換是由他們的產品仅定義的獨特地，如為將軍被談論連續的傅立葉變換. 為此虛數單位 i 并且 - i 能省去，與傅立葉正弦的通常看的形式變換是：

$F (\ Ω) = \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ \ infty f (t) \罪孽\， {\ Ω t} \， dt，$

并且

$f (t) = \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ \ infty F (\ Ω) \罪孽\， {\ Ω t} \， d \ Ω。$

傅立葉餘弦變換

在數學 傅立葉餘弦變換 是一個特殊情況連續的傅立葉變換自然地升起，當試圖變換時偶函數. 考慮將軍傅立葉變換:

$F (\ Ω) = \ mathcal {F} (f) (t) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (t) e^ {- i \ Ω t} \， dt。$

我們也許擴展被積函數通過 Euler的慣例:

$F (\ Ω) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ \ infty f (t) (\ COS \， {\ Ω t} - i \， \罪孽{\， \ Ω t}) \， dt，$

或者，寫作為總和二積分式:

現在，如果我們假設，注意那 f (t) 是一個偶函數，產品 f (t) cosωt 也是均勻的，產品 f (t) sinωt 是奇函數. 因為我們集成在間隔時間相稱關於起源(即。 - ∞對+∞)，第二個積分式必須消失到零，并且一个也許被簡化給：

$F (\ Ω) = \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ \ infty f (t) \ COS \， {\ Ω t} \， dt，$

哪些是傅立葉餘弦為均勻變換 f (t). 它確切被變換的作用 F (ω) 也是一個偶函數和對將軍的相似的分析相反傅立葉變換產生第二餘弦變換，即：

$f (t) = \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ \ infty F (\ Ω) \ COS \， {\ Ω t} \， d \ Ω。$

注意數字因素在變換是由他們的產品仅定義的獨特地，如為將軍被談論連續的傅立葉變換.

參見

參考

瑪麗L。蟒蛇， 數學方法在物理學第2個愛德、約翰・威里&兒子Inc 1983年。國際標準書號0-471-04409-1

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