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實數

在 數學 實數 可以不拘形式地被描述作為數字與無限 十進制表示法例如2.4871773339…. 實數包括 有理數例如42和−23/129，和 無理數例如 π 并且 方根2. 他們可能也形象化或者代表，作為點沿一無限地長 編號行.

實數的一個嚴謹定義是其中一19世紀數學的最重要的發展。 的確，幾個等效定義被開發了。 現今仍然使用的普遍的方法包括

名字 實數 升起與什麼區別他們然後叫 虛數 (和現在 複雜形勢).

內容

基本的物產

一個實數也許是二者之一 合理 或 不合理; 二者之一 代數 或 卓越; 并且二者之一 正面, 消極或者 零.

實數措施 連續 數量。 他們也許在理論上被表達 十進制表示法 那有數字一個無窮序列在小數點右邊; 這些經常代表以形式和324.823122147一樣… 省略號 (三個小點)表明更有更多數字來。

更加正式，實數有二基本的物產是 有序域和有 最少最高界面 物產。 一个認為實數包括a 領域以加法和增殖並且分裂由非零數字，可以是 完全命令 在編號行用方式與加法和增殖兼容。 如果非空的套實數有，秒鐘認為 最高界面它然後有a 最少最高界面. 這二完全地一起定義了實數，并且允許它的其他物產被推論。 例如，我們可以從這些物產證明奇怪的程度每個多項式以真正的系數有一個實際根，并且，如果您增加−1方根到實數，獲得 複雜形勢結果是 代數閉合.

用途

測量在 物理學 幾乎總是被設想作為略計到實數。 當為此半新的數字一般時是 十進分數 代表有理數，寫他們在小數期限建議他們是略計到一個理論部下的實數。

一個實數被認為 可計算 如果那裡存在 算法 那產生它的數字。 由於只有 可數地 許多算法，而是reals的一個無數數字，多數實數不是可計算的。 一些 構造論者 接受是可計算的仅那些reals的存在。 套 下定義的數字 只是更加寬廣，但仍然可數的。

計算機 仅罐頭近似實數。 通常，他們可以通過二者之一確切地代表有理數的某一子集， 浮動小數點 數字或 定點 數字和這些有理數使用作為略計為其他附近的真正的價值。 Arbitrary-precision算術 是代表任意有理數的方法，仅有限由可利用 記憶，但是通常你使用一個固定的數字 位 精確度大小取決於的 處理器記數器. 除這些合理的價值之外， 計算機代數 系統能通過存放一個代數描述對待確切許多(可數的)無理數(例如「sqrt (2)」)而不是他們合理的略計。 注意幾種編程語言使用「真正」描述他們的扼要數字 數據類型例如 AppleScript.

數學家使用標誌 R (或二者擇一地， \ Bbb {R} 信件「R「 黑板大膽)代表的Unicode ℝ 集合 所有實數。 記法 Rn 提到 n-尺寸 空間以真正的座標; 例如，價值從 R3 在三維的空間包括三個實數并且指定地點。

在數學，真正使用作為形容詞，意味部下的領域是實數的領域。 例如 真正 矩陣, 真正 多項 并且 真正 謊言代數. 作為實質，規定幾乎嚴密地使用關於實數，他們自己(即， 「設置所有reals」)。

歷史

粗俗分數 使用了 埃及人 大約1000年BC; Vedic "Sulba Sutras「(「弦規則」 Sanskrit)，約。 600 BC，包括什麼可以是第一個『用途』對 無理數[需要的引證].

大約500 BC， 希臘語 數學家帶領了 Pythagoras 體會需要為 無理數特別是荒謬 方根二.

在第18和19世紀有工作打開 不合理 并且 超越數. Lambert (1761)給出了第一破裂的證明π不可能是合理的， Legendre (1794)完成了證明，并且表示， π不是一個有理數的方根。 Ruffini (1799)和 亞伯 (1842)兩被修建的證明 亞伯Ruffini定理: 將軍 quintic 或更高的等式不可能由介入仅算術操作和根的一個一般慣例解決。

Évariste Galois (確定一個特定等式是否的1832)被開發的技術可能由提升領域的基礎解決 Galois理論. 約瑟夫Liouville (1840)顯示那 e 亦不 e2 可以是整數的根 二次方程超越數的然後建立的存在， Georg ・隨後被偏移的證明Cantor (1873)。 查爾斯Hermite (1873)首先證明那 e 是卓越的，和 ferdinand ・馮Lindemann (1882)，表示， π是卓越的。 Lindemann的證明由Weierstrass簡化(1885)，更遠 大衛Hilbert (1893)，和最後使基本 Hurwitz 并且 保羅・阿爾伯特Gordan.

發展 微積分 在18世紀使用整個套實數，不用乾淨被定義他們。 給了第一個嚴謹定義 Georg領唱者 1871年。 1874年他表示，套所有實數是 uncountably無限 但所有的套 代數數 是 可數地無限. 相反到廣泛懷有的信仰，他的方法沒有是著名的他的 對角論據 1891年他出版。

定義

主要文章： 實數的建築

建築從有理數

實數可以被修建作為有理數的完成，在這種情況下小數或二進制擴展定義的序列喜歡{3， 3.1， 3.14， 3.141， 3.1415，…} 聚合 到一個獨特的實數。 為細節和實數的其他建築，看見 實數的建築.

公理方法

讓 R 表示 集合 所有實數。 然後：

最後物產是什麼區分reals從 有理數. 例如，套有理數與正方形少於2沒有一個合理的最高界面(即， 1.5)，但是合理最少最高界面，因為 方根 2不是合理的。

實數由上述物產獨特地指定。 更加精確地給出任何二Dedekind完全有序域 R1 并且 R2那裡存在一個獨特的領域 同構 從 R1 R2允許我們根本上認為他們作為同一個數學對象。

為另一公理化 R看見 reals的Tarski的公理化.

物產

完整性

介紹reals的主要原因是reals包含所有 極限. 更加技術上， reals是 完全 (在感覺 度量空間 或 一致的空間比命令Dedekind完整性是不同的感覺在前面的部分)。 這意味著以下：

A 序列 (xn)實數叫a Cauchy序列 如果為任何ε> 0那裡存在整數 N (可能根據ε)這樣 距離 |xn − xm| 比ε是較少為所有 n 并且 m 那兩個大於 N. 換句話說，序列是a Cauchy 序列，如果它的元素 xn 最終來并且任意地保持緊挨彼此。

一個序列(xn) 聚合到極限 x 如果為任何ε> 0那裡存在整數 N (可能根據ε)這樣距離 |xn − x| 比ε是較少，在條件下 n 大於 N. 換句話說，序列有極限 x 如果它的元素最終來并且任意地依然是緊挨 x.

看是容易的每個會聚序列是Cauchy序列。 關於實數的一個重要事實是逆也是真實的：

實數每個Cauchy序列會聚。

即reals是完全的。

注意有理數不是完全的。 例如，序列(1， 1.4， 1.41， 1.414， 1.4142， 1.41421，…) 是Cauchy，但它不聚合到一個有理數。 (在實數，相反，它聚合對 方根 2。)

Cauchy序列極限的存在是什麼做 微積分 工作和有用巨大實用。 標準數字測試確定序列是否有一個極限是測試，如果它是Cauchy序列，因為極限事先不典型地被知道。

例如，標準系列 指數函數

\ mathrm {e} ^x = \ sum_ {n=0} ^ {\ infty} \ frac {x^n} {n!}

聚合到一個實數，因為為每 x 總和

\ sum_ {n=N} ^ {M} \ frac {x^n} {n!}

能通過選擇任意地使小 N 充足地大。 這證明，序列是Cauchy，因此我們知道序列聚合，即使極限事先不被知道。

「完全有序域」

實數經常被描述作為「完全有序域」，可以被解釋用幾個方式的詞組。

首先，命令可以是 格子完全. 看是容易的有序域不可以是格子完全的，因為它不可能安排最大的元素(被給任何元素 z, z + 1是更大)，因此這不是意味的感覺。

另外，命令可以是 Dedekind完全如被定義在部分 公理. 獨特結果在那個部分的末端辯解使用詞「」在詞組「完成有序域」，當這是感覺「完成」時意味。 完整性這感覺與reals的建築最緊密地相關從Dedekind裁減，從那以後那建築開始從有序域(有理數)然後形成Dedekind完成它用一個標準方式。

完整性的這二個概念忽略領域結構。 然而， 被命令的小組 (在這種情況下，領域的疊加性小組)定義了a 制服 結構和一致結構有一個概念 完整性(拓撲結構); 描述在部分 完整性 上面一個特殊情況。 (我們在一致的空間提到完整性的概念而不是相關和更加著名的概念為 度量空間，因為度量空間的定義已經依靠有實數的描述特性。)它不是真實的 R 是 只 一致地完成有序域，但它是唯一的一致地完成 Archimedean領域和的確一經常聽見詞組「完成Archimedean領域」而不是「完成有序域」。 因為它可以證明，所有一致地完全Archimedean領域一定也是Dedekind完全的(當然和反之亦然)，這辯解使用「」在詞組「完全Archimedean領域」。 完整性這感覺與reals的建築最緊密地相關從Cauchy序列(在這篇文章上充分執行的建築)，因為它開始以一個Archimedean領域(有理數)和形式一致的完成它用一個標準方式。

但對詞組「完全Archimedean領域」的原始的用途 大衛Hilbert由它意味寂靜的其他。 他意味實數形成 最大 Archimedean領域在感覺其他Archimedean領域是子體 R. 因而 R 是「完成」在更加進一步的什么都不可以增加到它不不再做它一個Archimedean領域的感覺。 完整性這感覺與reals的建築最緊密地相關從 超現實的數字那建築從那以後開始以包含每有序域的適當的類(surreals)從它然後挑選最大的Archimedean子體。

先進的物產

reals是 無數; 即嚴密地有實數比 自然數，即使兩個集合是 無限. 實際上， reals的基數 均等套自然數的子集，和 領唱者的對角論據 闡明，後者集合的基數基數嚴密地大於 N. 因為仅可數的套實數可以是 代數, 幾乎所有 實數是 卓越. reals以嚴密基數在那整數之間和reals的一個子集的不存在的事通認作為 連續流假說. 連續流假說不裝於罐中被證明和被反駁; 它是 獨立 從 集合論公理 .

實數形成a 度量空間: 之間距離 x 并且 y 被定義是 绝對值 |x − y|. 由於是a 完全命令 設置，他們也運載 命令拓撲結構; 拓撲結構 出現從公尺和出現從命令的那個是相同的。 reals是a contractible (因此 連接 并且 簡單地連接), 可分開 度量空間 維度 1，和是 到處密集. 實數是 當地協定 但沒有 協定. 有獨特地指定他們的各種各樣的物產; 例如，所有無邊際，連接，和可分開 命令拓撲結構 必要是 homeomorphic 對reals。

每個nonnegative實數有a 方根 在 R和負數不。 這顯示那命令 R 取決於它的代數結構。 並且，奇怪的程度每個多項式承認至少一根： 這二物產做 R a的首要的例子 真正的閉合的領域. 證明此是前半一證明 代數根本定理 .

reals運載一標準 措施 Lebesgue措施是 Haar措施 在他們的結構作為a 拓撲學小組 正常化了這樣 單位信號間隔 [0,1]有措施1。

reals的因此supremum公理提到reals的子集并且是一個第二級次的邏輯聲明。 描繪reals與是不可能的 優先處理的邏輯 單獨： Löwenheim-Skolem定理 暗示那裡在第一命令邏輯的存在實數的一個可數的密集的子集確切地滿足同樣句子像實數。 套 hyperreal數字 滿足第一個命令句子和一樣 R. 滿足優先處理的句子和一樣的有序域 R 叫 非標準模型 R. 這是什麼做 非標準分析 工作; 通過在某一非標準模型證明一個賦值語句(哪些比證明它可以容易 R)，我們知道同一個聲明一定也是真實的 R.

概念化和引伸

實數在幾個不同的方向可以被推斷和被擴大：

  • 複雜形勢 包含解答對所有 多項 等式並且是 代數閉合的領域 不同於實數。 然而，複雜形勢不是 有序域.
  • affinely延長的實數系統 增加二個元素+∞和−∞。 它是a 緊湊空間. 它不再是領域，不平衡一個疊加性小組; 它仍然有a 總命令; 而且，它是a 完成格子.
  • 真正的投影線 只增加一價值∞。 它也是緊湊空間。 再次，它不再是領域，不平衡一個疊加性小組。 然而，它由零允許一個非零元素的分裂。 它不再被定購。
  • 長的真正的線 一起漿糊ℵ1* + ℵ1 真正的線的拷貝加上單點(這裡ℵ1*表示被扭轉的命令ℵ1)莫名其妙地長期創造與實數「當地」是相同的一個被命令的集合，但; 例如，有一秩序保存的埋置ℵ1 在長的真正的線，但不在實數。 長的真正的線是完全的和當地archimedean的最大的被命令的集合。 和以早先二個例子，這個集合不再是領域或添加劑小組。
  • 延伸reals的有序域是 hyperreal數字 并且 超現實的數字; 他們兩個包含 無窮小 并且無限地大數和因而不是 Archimedean.
  • 自已adjoint操作員 在a 希耳伯特空間 (例如，自已adjoint方形的複合體 矩陣)在眾多方面推斷reals ： 他們可以被命令(不完全雖則命令)，他們是完全的，所有他們 本徵值 是真正的，并且他們形成真正 結合代數. 正面確定 操作員對應於正面reals和 正常操作員 對應於複雜形勢。

「Reals」在集合論上

在 集合論具體地 描寫集合論 Baire空間 使用作為代理人為實數，因為後者有是技術不便的一些拓撲學物產(連通性)。 Baire空間的元素指「reals」。

參考

  • Georg領唱者1874年， 「Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen」， 學報für模子Reine und Angewandte Mathematik容量77，呼叫258-262。

參見

外部鏈接

v • d • e
數字系統
其他

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