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匯合的率

在數據分析 (分支數學)，速度a 會聚序列接近它的極限叫 匯合的率. 嚴格上講雖然，極限不提供關於序列的任何有限第一個部分的信息，這個概念是實用重要，如果我們應付連續的學習步驟序列為重申方法，因為然後典型地少量疊代是需要的產生有用的略計，如果匯合的率更高。這也許甚而產生需要十或百萬疊代之間的變化。

系列加速度是技術的一件收藏品改進系列的匯合的率的。這樣加速度共同地完成與序列變革.

內容

1 基本的定義
2 延長的定義
3 匯合的加速度
4 例子
5 參考

基本的定義

假設序列{x_k}聚合對數字ξ。

我們說這個序列 線性地聚合 對ξ，如果那裡存在數字μ ∈ (0， 1)這樣

$\ lim_ {k \ \ infty} \ frac {|x_ {k+1} - \ XI|} {|x_k- \ XI|} = \ mu。$

數字μ稱 匯合的率.

如果上述舉行與μ = 0，序列然後說 聚合superlinearly. 你認為序列 聚合sublinearly 如果它聚合，但是(1)不為任何μ舉行 < 1.

下個定義用於區別匯合的superlinear率。我們說序列 聚合以命令 q 為 q > 1對ξ，如果

$\ lim_ {k \ \ infty} \ frac {|x_ {k+1} - \ XI|} {|x_k- \ XI|^q} = \ mu \ mbox {與} \ mu > 0。$

特別是，匯合以順序2叫 二次方匯合和匯合以順序3叫 立方體匯合.

這有時叫 Q線性匯合,Q二次方匯合等等，與定義區別它如下。 Q代表「商數」，因為定義使用商數在二個連續期限之間…

延長的定義

上述定義的缺點(1)和(2)是這些不捉住仍然聚合合理地快速，但「速度」是易變的，例如序列{的有些序列b_k}下面。所以，匯合的率的定義如下有時被擴大。

在新的定義之下，序列{x_k}聚合以至少命令 q 如果那裡存在序列{ε_k}這樣

$|x_k - \ XI| \ le \ varepsilon_k \方形字體\ mbox {為所有} k，$

并且序列{ε_k}聚合到零以命令 q 根據上述「簡單的」定義。與那個定義要區別它，這有時叫 R線性匯合, R二次方匯合等等。 (当R站立為「根」)。

匯合的加速度

許多方法存在增加一個特定序列的匯合的率，即。變換一個特定序列入快速地聚合到同一個極限的你。這樣技術一般以著名「系列加速度". 被變換的序列的目標比原始的序列是「昂貴」計算。系列加速度的一個例子是 Aitken的三角洲被擺正的過程.

例子

考慮以下序列：

$a_0 = 1， \， a_1 = \ frac12， \， a_2 = \ frac14， \， a_3 = \ frac18， \， a_4 = \ frac1 {16}， \， a_5 = \ frac1 {32}， \， \ ldots， \， a_k = \ frac1 {2^k}， \， \ ldots$

$b_0 = 1， \， b_1 = 1， \， b_2 = \ frac14， \， b_3 = \ frac14， \， b_4 = \ frac1 {16}， \， b_5 = \ frac1 {16}， \， \ ldots， \， b_k = \ frac1 {4^ {\ operatorname {地板} (k/2)}}， \， \ ldots$

$c_0 = \ frac12， \， c_1 = \ frac14， \， c_2 = \ frac1 {16}， \， c_3 = \ frac1 {256}， \， c_4 = \ frac1 {65536}， \， \ ldots， \， c_k = \ frac1 {2^ {2^k}}， \， \ ldots$

$d_0 = 1， \， d_1 = \ frac12， \， d_2 = \ frac13， \， d_3 = \ frac14， \， d_4 = \ frac15， \， d_5 = \ frac16， \， \ ldots， \， d_k = \ frac1 {k+1}， \， \ ldots$

序列{a_k}線性地聚合到0以率1/2。更加一般，序列 Cμ^k 線性地聚合與率μ，如果 |μ| < 1. 序列{b_k}線性地也聚合到0以率1/2在延長的定義之下，但不在簡單的定義之下。序列{c_k}聚合superlinearly。實際上，它二次方地是會聚。終於，序列{d_k}聚合sublinearly。

參考

簡單的定義用於：

Michelle Schatzman (2002)， 數據分析：數學介紹Clarendon新聞，牛津。國際標準書號0-19-850279-6.

延長的定義得用於

Kendell A。 atkinson (1988)， 數據分析介紹 (第2編輯。)，約翰・威里和兒子。國際標準書號0-471-50023-2.
Walter Gautschi (1997)， 數據分析：介紹， Birkhäuser，波士頓。
Endre Süli和大衛Mayers (2003)， 數據分析介紹， 劍橋大學Press。國際標準書號0-521-00794-1.

期限 Q線性 并且 R線性 得用於

Nocedal、Jorge &懷特，斯蒂芬J。 (2006), 數字優化 (第2編輯。)，柏林，紐約： Springer-Verlag頁。 619+620，國際標準書號978-0-387-30303-1 .

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