首頁 › 多語言檔案 Index › 偏微分方程

頂10篇文章

土豆

烏龜

薑黃

Gmail

第二次世界大戰

DirectX

光合作用

菲律賓

第一次世界大戰

板岩

News:

偏微分方程

在數學, 偏微分方程 (PDE)是類型微分方程即， a 聯繫介入未知數作用 (或作用)數獨立變量并且它(resp。他們) 部份衍生物關於那些可變物。偏微分方程用於公式化和因而援助解答，介入幾可變物的作用問題; 例如傳播聲音或熱, 靜電學, 電動力學, 流體流動, 彈性. 有趣的是，表面上分明物理現象也許有相同數學公式化和通過同樣強調因而治理動態。

介紹

一個相對地簡單的偏微分方程是

$\ frac {\部份} {\部份x} u (x， y) =0 \。$

這聯繫暗示價值 u(x,y)是獨立 x. 因此這個等式的一般解答是

$u (x， y) = f (y)， \，$

那裡 f 是一個任意作用 y. 近似常微分方程是

$\ frac {du} {dx} =0 \，$

哪些有解答

$u (x) = c， \，$

那裡 c 是其中任一恆定價值(獨立 x). 這二個例子說明常微分方程的一般解答介入任意常數，但偏微分方程的解答介入任意作用。一個偏微分方程的解答一般不是獨特; 在必須一般指定另外的情況界限區域，解答被定義。例如，在簡單的中上面的例子，作用 $f (y)$ 可以是堅定的，如果 $u$ 在線指定 $x = 0$ .

存在和獨特

雖然常微分方程的解答的存在和獨特的問題有一非常令人滿意回答與 Picard-Lindelöf定理那是離論點很遠的地方為偏微分方程。有將軍定理( Cauchy-Kovalevskaya定理)那狀態 Cauchy問題為是的任何偏微分方程分析在未知函數和它的衍生物有一種獨特的分析解答。雖然這個結果也許看上去安定解答的存在和獨特，有然而系數有衍生物所有順序(是不分析的)，但根本不要有解答線性偏微分方程的例子：看見Lewy (1957)。即使一個偏微分方程的解答存在并且是獨特的，然而它也許有不受歡迎的物產。這些問題的數學研究通常就更加強有力的狀況微弱的解答.

病理性行為的例子是Cauchy問題序列(依靠 n)為 Laplace等式

$\ frac {\ part^2 u} {\部份x^2} + \ frac {\ part^2 u} {\部份y^2} =0， \，$

與最初的情況

$u (x， 0) = 0， \，$

$\ frac {\部份u} {\部份y} (x， 0) = \ frac {\罪孽n x} {n}， \，$

那裡 n 是整數。衍生物 u 關於 y 方法0 一致地在 x n 增量，但解答是

$u (x， y) = \ frac {(\ sinh ny) (\罪孽nx)}{n^2}。\，$

這種解答接近無限，如果 nx 不是π的整數倍數為任何非零值 y. Cauchy問題為Laplace等式叫 不適擺在 或 沒有被擺在的井，因為解答連續不取決於問題的數據。這樣不適被擺在的問題為物理應用通常不是令人滿意的。

記法和例子

在PDEs，它是共同的使用下標表示部份衍生物。那是：

$u_x = {\部份u \ \部份x}$

$u_ {X - Y} = {\ part^2 u \ \部份y \， \部份x} = {\部份\ \部份y} \被留下({\部份u \ \部份x} \正確)。$

特別是在(數學)物理，你經常更喜歡用途 del (在解析的座標被寫 $\ nabla= (\ part_x， \ part_y， \ part_z) \，$ )為空間衍生物和小點 $\小點u \，$ 為時間衍生物，即。寫波動方程 (如下所示)

$\ ddot u=c^2 \三角U. \，$ (算術記法)

$\ ddot u=c^2 \ nabla^2u。\，$ (物理記法)

熱等式在一個空間維度

等式為熱的傳導在一個維度為一個同類的身體有形式

$u_t = \阿爾法u_ {xx} \，$

那裡 u(t,x)是溫度，并且α是描述擴散的率的一個正面常數。 Cauchy問題為這個等式在指定包括 $u (0, x) = f (x)$ 的地方 f(x)是一個任意作用。

熱等式的一般解答可以由方法發現分離變量法. 有些例子出現於熱等式文章。他們是例子傅立葉系列為週期性 f 并且傅立葉變換為非週期 f. 使用傅立葉變換，熱等式的一種一般解答有形式

$u (t， x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} F (\ XI) e^ {- \阿爾法\ xi^2 t} e^ {i \ XI x} d \ XI， \，$

那裡 F 是一個任意作用。為了滿足最初的條件， F 由傅立葉變換給 f那是

$F (\ XI) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e^ {- i \ XI x} \， dx。 \，$

如果 f 代表熱的一個非常小，但強烈的來源，然後在先的積分式可以由接近三角洲發行乘以來源的力量。為力量正常化到1的來源，結果是

$F (\ XI) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}， \，$

并且熱等式的發生的解答是

$u (t， x) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} e^ {- \阿爾法\ xi^2 t} e^ {i \ XI x} d \ XI。 \，$

這是a 高斯積分式. 它也許被評估獲得

$u (t， x) = \ frac {1} {2 \ sqrt {\ pi \阿爾法t}} \ exp \離開(- \ frac {x^2} {4 \阿爾法t} \正確)。 \，$

這個結果對應於正常可能性密度為 x 以手段0和變化2αt. 熱等式和相似擴散等式是學習任意現象的有用的工具。

波動方程在一個空間維度

波動方程是一個等式為一個未知函數 u(t, x)形式

$u_ {tt} = c^2 u_ {xx}。 \，$

這裡 u 在氣壓或者一個電磁場的巨大在管在管也許描述被舒展的串的位移從平衡或者區別，和 c 是對應於波浪的速度的數字。 Cauchy問題為這個等式在規定包括串或其他媒介的最初的位移和速度：

$u (0， x) = f (x)， \，$

$u_t (0， x) = g (x)， \，$

那裡 f 并且 g 是任意特定作用。給這個問題的解答 d'Alembert的慣例:

$u (t， x) = \ frac {1} {2} \離開[f (xct) + f (x+ct) \正確] + \ frac {1} {2c} \ int_ {xct} ^ {x+ct} g (y) \， dy。 \，$

這個慣例暗示解答在(t,x)仅取決於數據由刪去初始行的段特徵曲線

$x - ct = \ hbox {常數，} \方形字體x + ct = \ hbox {恆定}， \，$

那從那點得出落後。這些曲線對應於繁殖以速度的信號 c 批轉和落後。相反地，數據的影響在任何特定點對初始行繁殖以有限速度 c: 沒有作用在三角之外通過邊是特徵曲線的那點。這行為是非常與解答不同為熱等式， a的作用點聲源在空間瞬間地出現(以小高度)於每點。指定的解答以上也是合法的，如果 t 是消極的，并且明確慣例表示，解答順利地取決於數據：向前和落後Cauchy問題為波動方程很好被擺在。

球面波

球面波是高度仅取決於徑向距離的波浪 r 從中央點聲源. 為這樣波浪，三維波動方程採取形式

$u_ {tt} = c^2 \離開[u_ {rr} + \ frac {2} {r} u_r \正確]。 \，$

這是等效的

$(ru) _ {tt} = c^2 \被留下的[(ru) _ {rr} \正確]， \，$

並且數量 ru 滿足一維波動方程。所以一種一般解答為球面波有形式

$u (t， r) = \ frac {1} {r} \被留下的[F (rct) + G (r+ct) \正確]， \，$

那裡 F 并且 G 是完全地任意作用。輻射從天線對應於案件， G 相同地零。因而從天線傳送的波形形式沒有畸變及時：唯一的distorting因素是1r. 如果有二個空間維度，波浪的未變形的傳播這個特點不存在。

Laplace等式在二個維度

Laplace等式為二可變物的一個未知函數φ有形式

$\ varphi_ {xx} + \ varphi_ {yy} = 0。$

Laplace的等式的解答叫調和函數.

與作用的連接

Laplace等式的解答在二個維度用一個複變量的分析作用親密地連接(亦稱。全形的作用) ：所有分析作用的真正和虛構部分是 共軛泛音 作用：他們滿足Laplace等式，并且他們的梯度是正交的。如果 f=u+iv然後 Cauchy-Riemann等式聲明那

$u_x = v_y， \方形字體v_x = - u_y， \，$

并且它跟隨那

$u_ {xx} + u_ {yy} = 0， \方形字體v_ {xx} + v_ {yy} =0。 \，$

相反地給出任何調和函數在二個維度，它至少當地是一個分析作用的真正的部分。提供細節 Laplace等式.

一個典型的邊值問題

一個典型的問題為Laplace的等式將發現在領域的界限滿足任意價值的解答。例如，我們也許尋找承擔價值的一個調和函數 u(θ)在圈子半徑一。給了解答泊松:

$\ varphi (r， \希臘字母的第八字) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_0^ {2 \ pi} \ frac {1-r^2} {1 +r^2 -2r \ COS (\希臘字母的第八字- \ theta')} u (\ theta') d \ theta'. \，$

petrovsky (1967年， p。 248) 顯示怎麼這個慣例可以通過求和傅立葉系列獲得為φ。如果 r<1， φ衍生物也許通過區分計算在缺一不可的標誌之下，并且你可能核實φ是分析的，即使 u 是連續，但不必要能區分的。這行為為解答是典型的橢圓偏微分方程: 解答比界限數據也許更多光滑的。這是與解答對比波動方程和更加一般雙曲線偏微分方程比數據沒典型地有沒有其他衍生物。

Euler-Tricomi等式

Euler-Tricomi等式用於調查超音速流程。它是

$u_ {xx} \， =xu_ {yy}。$

對流等式

對流等式描述被保存的標量的運輸 $ψ$ 在速度領域 ${\大膽的u} = (u、v， w)$ . 它是：

$\ psi_t+ (u \ psi) _x+ (v \ psi) _y+ (w \ psi) _z \， =0。$

如果速度領域是 solenoidal (即 $\ nabla \ cdot {\大膽的u} =0$ )，等式也許然後被簡化

$\ psi_t+u \ psi_x+v \ psi_y+w \ psi_z \， =0。$

这一個尺寸穩流對流等式 $ψ t + u .ψ x = 0$ (的地方 $u$ 是恆定的)共同地指豬圈問題。如果 $u$ 不是恆定和相等的 $ψ$ 等式被稱為起士漢堡的等式.

GinzburgLandau等式

GinzburgLandau等式用於塑造超導性. 它是

$iu_t+pu_ {xx} +q|u|^2u \， =i \伽瑪u$

那裡 $p， q \在\ mathbb {C}$ 并且 $\伽瑪\在\ mathbb {R}$ 是常數和 $i$ 是虛數單位。

Dym等式

Dym等式被命名對於哈里Dym 并且在研究中發生 solitons. 它是

$u_t \， = u^3u_ {xxx}。$

其他例子

Schrödinger等式是PDE在非相對論性中心量子力學. 在 WKB略計它是哈密爾頓Jacobi等式.

除了Dym等式和GinzburgLandau等式，上述等式是線性在感覺他們在形式可以被寫 Au = f 為指定的線性操作符 A 并且一個特定作用 f. 其他重要非線性等式包括 Navier昇火等式描述流體流程，和愛因斯坦的領域等式廣義相對論.

並且看見非線性偏微分方程名單.

解決PDEs的方法

方法分離變量法在非常簡單的領域將產生線性PDE的特殊解答例如也許滿足最初或邊界條件的長方形。由於其中任一疊置線性PDE的解答再是解答，特殊解答也許然後被結合獲得更加一般的解答。如果領域是有限或週期性的，解答的一個無限總和例如a 傅立葉系列是適當，但解答積分式例如a 傅立葉積分式為無限領域一般需要。解答為一個點聲源為指定的熱等式以上是一個例子為對傅立葉積分式的使用。

最初界限價值問題

許多問題數理物理學被公式化作為最初界限價值問題。

振動的串

如果串被舒展在二點之間， x=0和 x=L 并且 u 表示串的位移的高度，然後 u 在這個區域滿足一維波動方程， 0<x<L 并且 t 是無限的。因為串被栓下來在末端， u 必需也滿足邊界條件

$u (t， 0) =0， \方形字體u (t， L) =0， \，$

並且最初的條件

$u (0， x) =f (x)， \方形字體u_t (0， x) =g (x)。 \，$

分離變量法方法為波動方程

$u_ {tt} = c^2 u_ {xx}， \，$

導致形式的解答

$u (t， x) = T (t) X (x)， \，$

那裡

$T$

那裡常數 k 一定是堅定的。邊界條件然後暗示那 x 是罪孽的倍數 kx和 k 必須有形式

$k= \ frac {n \ pi} {L}， \，$

那裡 n 是整數。每個期限在總和對應於振動方式串的。方式與 n=1稱根本方式，并且其他方式的頻率是這個頻率的所有倍數。他們形成言外之意系列串和他們是為音樂聲學的依據。最初的條件也許通過代表然後滿意 f 并且 g 作為這些方式的無限總和。管樂器典型地對應於空氣專欄的振動與一個末端開放和被關閉的一個末端。對應的邊界條件是

$x (0) =0， \方形字體X'(L) = 0。\，$

可能在這種情況下也運用分離變量法方法，并且它導致一系列的奇怪的言外之意。

這個類型的一般問題解決 Sturm-Liouville理論.

振動的膜

如果膜被舒展在曲線 C 那形成領域的界限 D 在飛機，它的振動由波動方程治理

$\ frac {1} {c^2} u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy}， \，$

如果 t>0和(x,y) D. 邊界條件是 $u (t, x, y) = 0$ 如果 $(x, y)$ 是 $C$ . 分離變量法方法導致形式

$u (t、x， y) = T (t) v (x， y)， \，$

哪些必須反過來滿意

$\ frac {1} {c^2} T$

$v_ {xx} + v_ {yy} + k^2 v =0。\，$

後者等式稱 Helmholtz等式. 常數 k 一定是堅定的為了允許重要 v 滿足邊界條件 C. 這樣價值 k² 叫Laplacian的本徵值 D和伴生的解答是Laplacian的特徵函數 D. Sturm-Liouville理論也許延伸到這個橢圓本徵值問題(Jost 2002)。

沒有解決非線性PDEs的一般可適用的方法。但是，存在和獨特發生(例如 Cauchy-Kovalevskaya定理)是經常可能的，像解答重要定性和定量物產證明(取得這些結果是大部分分析). 對非線性PDEs的計算解答，分裂步方法為具體等式存在像非線性Schrodinger等式。

然而，有些技術可以為等式的幾個類型使用。 h原則是解決的最強有力的方法 underdetermined 等式。 Riquier珍妮特理論是一個有效的方法為得到關於分析的許多的信息 overdetermined 系統。

特徵方法 (相似性變革方法)能用於一些特殊情況解決偏微分方程。

在某些情況下， PDE可以通過解答認為更正到一個等式用一種知道的解答的擾動分析解決。選擇是數據分析技術從簡單有限差計劃對成熟多柵并且有限元法. 許多有趣的問題在科學和工程學解決這樣使用計算機有時高性能巨型計算機.

參考

R. Courant和D。 Hilbert， 數理物理學方法 第II.捲。威里Interscience，紐約1962年。
L.C. Evans， 偏微分方程美國數學協會，上帝1998年。國際標準書號0-8218-0772-2
F. 約翰, 偏微分方程 Springer-Verlag 1982年。
J. Jost，偏微分方程， Springer-Verlag，紐約2002年。
Hans Lewy (1957)一個光滑的線性偏微分方程的例子沒有解答的。史冊數學，第2個系列， 66 (1)， 155-158。
I.G. Petrovskii, 偏微分方程 W。 B. 桑德斯・ Co.，費城1967年。
A. D. Polyanin， 線性偏微分方程手冊為工程師和科學家沿街叫賣者& Hall/CRC新聞， Boca Raton 2002年。國際標準書號1-58488-299-9
A. D. Polyanin和V。 F. Zaitsev， 非線性偏微分方程手冊 沿街叫賣者& Hall/CRC新聞， Boca Raton 2004年。國際標準書號1-58488-355-3
A. D. Polyanin， V。 F. Zaitsev和A。 Moussiaux，第一等級偏微分方程手冊 泰勒& Francis，倫敦2002年。國際標準書號0-415-27267-X
D. Zwillinger， 手冊微分方程(第3編輯)學術出版社，波士頓1997年。
Y. Pinchover和J。 Rubinstein， 偏微分方程介紹劍橋大學出版社，劍橋2005年。國際標準書號978-0-521-84886-2

外部鏈接

Wikimedia共同性有媒介與有關：

PDE的解答

Wikibooks 在題目有一本書

偏微分方程

偏微分方程：確切的解答在EqWorld ：數學等式世界。
偏微分方程：索引在EqWorld ：數學等式世界。
偏微分方程：方法在EqWorld ：數學等式世界。
例子問題用解答在exampleproblems.com
偏微分方程在mathworld.wolfram.com
分散性PDE Wiki

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
Creative Commons Licence

Custom Search