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修改過的分離餘弦變換

修改過的分離餘弦變換(MDCT) 是a 與傅立葉相關變換基於類型IV 分離餘弦變換 (DCT-IV)，與另外的物產是舔: 它在更大的數據集的連貫塊被設計執行，隨後塊被重疊，以便後半局一個塊與下個塊的前半相符。因為它幫助避免，這重疊，除DCT的能量擊實質量之外，使MDCT特別有吸引力為信號壓縮應用人工製品源於區界。因此， MDCT被使用 MP3, AC-3, Ogg Vorbis和 AAC 為音頻壓縮法例如。

MDCT由Princen、約翰遜和布雷得里提議 1987跟隨的更加早期的(開發MDCT的根本準則的1986)工作在Princen旁邊和布雷得里 時間領域混淆現象取消 (TDAC)，下述。 (那裡也存在近似根據變換， MDST，分離正弦變換以及其他，很少使用，根據DCT或DCT/DST組合的不同的類型的形成MDCT。)

在MP3， MDCT沒有直接地，而是寧可被申請於音頻信號於32帶的產品多相的求積分法過濾器 (PQF)銀行。這MDCT產品由別名減少慣例後加工減少PQF濾波器組的典型的混淆現象。濾波器組的這樣組合與MDCT稱a 雜種濾波器組或a 次能帶 MDCT. AAC，另一方面，通常使用純淨的MDCT; 只(很少使用) MPEG-4 AAC-SSR 變形(由索尼)使用MDCT跟隨的一家四條鬆緊帶的PQF銀行。 ATRAC 被堆積的用途求積分法鏡子過濾器 (QMF)由MDCT跟隨。

內容

1 定義
- 1.1 反面變換
- 1.2 計算
2 窗口作用
3 關係到TDAC的DCT-IV和起源
- 3.1 TDAC的起源
- 3.2 TDAC為windowed MDCT
4 參考

定義

因為舔的變換， MDCT有點兒異常與與傅立葉相關的其他比較變換因為它有一半許多產品作為輸入(而不是同一個數字)。特別是，它是a 線性作用 F : R^2N -> R^N (的地方 R 表示套實數). 2N 實數 x₀, ..., x_2N-1 被變換成 N 實數 x₀, ..., x_N-1 根據慣例：

$X_k = \ sum_ {n=0} ^ {2N-1} x_n \ COS \離開[\ frac {\ pi} {N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} + \ frac {N} {2} \正確) \被留下(k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確]$

(正常化系數在此前面變換，這裡團結，是一次任意大會并且不同在治療之間。 MDCT和IMDCT的正常化的仅產品，下面，被壓抑。)

反面變換

相反MDCT通認作為 IMDCT. 由於有輸入和輸出的不同的數字，乍一看也許看起來MDCT不應該是可轉位的。然而，完善的invertibility達到增加隨後重疊的塊被重疊的IMDCTs，導致錯誤取消并且將被檢索的原始的數據; 這個技術通認 時間領域混淆現象取消 (TDAC).

IMDCT變換 N 實數 x₀, ..., x_N-1 入2N 實數 y₀, ..., y_2N-1 根據慣例：

$y_n = \ frac {1} {N} \ sum_ {k=0} ^ {N-1} X_k \ COS \離開[\ frac {\ pi} {N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} + \ frac {N} {2} \正確) \被留下(k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確]$

(像為DCT-IV，正交變換，反面安排形式和向前一樣變換。)

在a情況下windowed MDCT以(如下所示)通常窗口正常化，正常化系數在IMDCT前面應該乘以2 (即，成為的2N).

計算

雖然MDCT慣例的直接應用將要求O (N²)操作，計算同一件事與仅O (是可能的N 日誌 N)複雜通過遞歸分解計算，和在快速的傅立葉變換 (FFT)。你可能通過其他也計算MDCTs變換，典型地DFT (FFT)或DCT，結合與O (N)前和後加工步。並且，如下所述，所有算法為DCT-IV立刻提供一個方法計算均勻大小MDCT和IMDCT。

窗口作用

在典型的信號壓縮應用，使用a進一步改進變換物產窗口作用 w_n (n = 0，…， 2N-1)倍增 x_n 并且 y_n 在MDCT和IMDCT慣例，上述，為了避免間斷性在 n = 0和2N 界限通過做作用順利地去到零在那些點。 (即我們窗口數據以前 MDCT和以後 IMDCT。)原則上， x 并且 y 可能有不同的窗口作用，并且窗口作用可能從一個塊也改變到下(特別是為案件，不同的大小數據塊被結合)，但我們簡而言之考慮相同窗口作用共同的事例為相等大小的塊。

變換依然是可轉位(即TDAC工作)，為一個相稱窗口 w_n = w_2N-1-n，只要 w 滿足Princen布雷得里條件：

$w_n^2 + w_ {n + N} ^2 = 1$ .

各種各樣的不同的窗口作用是共同的，即。

$w_n = \罪孽\離開[\ frac {\ pi} {2N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} \正確) \正確]$

為MP3和MPEG-2 AAC，和

$w_n = \罪孽\離開(\ frac {\ pi} {2} \ sin^2 \離開[\ frac {\ pi} {2N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} \正確) \正確] \正確)$

為Vorbis。 AC-3使用a 獲得的Kaiser貝賽爾 (KBD)窗口和MPEG-4 AAC可能也使用KBD窗口。

注意窗口被應用於MDCT是與用於信號分析的其他類型的窗口不同，因為他們必須實現Princen布雷得里條件。其中一個這個區別的原因是兩次應用得MDCT窗口，為MDCT (分析)和IMDCT (綜合)。

關係到TDAC的DCT-IV和起源

和能由定義的檢查看見，為均勻 N MDCT根本上是等值對DCT-IV，輸入被轉移 N/2和二 N-數據塊立即被變換。通過仔細審查這相等，重要物產像TDAC可以容易地獲得。

為了定義精確關係對DCT-IV，你必須意識到DCT-IV對應於交替均勻或奇怪的邊界條件：在它的左界限(在附近 n=-1/2)，奇怪在它正確的界限(在附近 n=N- 1/2)，等等(而不是週期性界限至於為a DFT). 這從身分跟隨 $\ COS \離開[\ frac {\ pi} {N} \被留下(- n-1+ \ frac {1} {2} \正確) \離開(k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確] = \ COS \離開[\ frac {\ pi} {N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} \正確) \被留下(k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確]$ 并且 $\ COS \離開[\ frac {\ pi} {N} \被留下(2N-n-1+ \ frac {1} {2} \正確) \離開(k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確] = - \ COS \離開[\ frac {\ pi} {N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} \正確) \被留下(k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確]$ . 因此，如果它的輸入是列陣 x 長度 N我們可以想像擴大這個列陣對(x, –x_R, –x, x_R…) 等等的地方 x_R 表示 x 在逆序。

考慮MDCT與2N 輸入和 N 產品，我們劃分輸入成四個塊(的地方a, b, c, d)每一大小 N/2. 如果我們轉移這些 N/2 (從+N/2期限在MDCT定義)，然後(b, c, d)延伸通過結尾的 N DCT-IV輸入，因此我們必須「根據被描述的邊界條件摺疊」他們上面。

因此， MDCT 2N 輸入(a, b, c, d)是 確切地 等值對DCT-IV N 輸入： (–c_R–d, a–b_R)的地方 R 表示逆轉如上所述。

(這樣，要計算DCT-IV的所有算法可以瑣細地被運用於MDCT。)

同樣，上面IMDCT慣例是它自己的反面)的精確地1/2 DCT-IV (產品被轉移的地方 N/2和對長度2延伸(通過邊界條件)N. 相反DCT-IV將簡單地給輸入(-c_R–d, a–b_R)從上述。當這通過邊界條件時被轉移并且被延伸，你獲得：

IMDCT (MDCT (a, b, c, d)) = (a–b_R, b–a_R, c+d_R, c_R+d) / 2.

(IMDCT產品的一半因而是重複的。)

你可能現在瞭解怎麼TDAC運作。假設一個計算MDCT隨後，被重疊的50%， 2N 塊(c, d, e, f). IMDCT然後將產生，類似於在上面： (c–d_R, d–c_R, e+f_R, e_R+f) / 2. 當這在重疊的一半時增加以早先IMDCT結果，被扭轉的期限取消和你簡單地獲得(c, d)，恢復原始的數據。

TDAC的起源

期限「時間領域混淆現象取消」的起源現在是清楚的。對在邏輯DCT-IV的界限之外延伸的輸入數據的用途造成數據是 aliased 用確切地同一個方式那個頻率在之外 Nyquist頻率是 aliased 要降低頻率，除了這個混淆現象在時間界域發生而不是頻域。因此組合 c–d_R 等等，精確地有正確的標誌為了組合能取消當他們增加時。

為奇怪 N (實踐上很少使用)， N/2不是整數，因此MDCT不簡單地是DCT-IV的轉移變更。在這種情況下，另外的轉移由一半樣品平均MDCT/IMDCT變得等效與DCT-III/II和分析是類似於在上面。

TDAC為windowed MDCT

上面， TDAC物產為普通的MDCT被證明了，顯示那增加隨後塊IMDCTs在他們重疊的一半恢復原始的數據。這相反物產的派生為windowed MDCT是少許更加複雜的。

回憶從上述，當 $(a, b, c, d)$ 并且 $(c, d, e, f)$ 是MDCTed， IMDCTed，并且增加在他們重疊的一半，我們獲得 $(c + d R, c R + d) / 2 + (c - d R, d - c R) / 2 = (c, d)$ 原始的數據。

現在我們假設我們倍增兩個 MDCT輸入并且 IMDCT產品由長度2的窗口作用N. 以上，我們假設一個相稱窗口作用，因此是形式 $(w, z, z R, w R)$ 那裡 w 并且 z 是長度N/2傳染媒介和 R 表示逆轉作為以前。然後Princen布雷得里情況可以寫道： $w^2 + z_R^2 = (1,1， \ ldots)$ 與增殖和加法執行的elementwise或者等效地 $w_R^2 + z^2 = (1,1， \ ldots)$ (扭轉 w 并且 z).

所以，而不是MDCTing $(a, b, c, d)$ 現在我們MDCT $(w a, z b, z R c, w R d)$ (與所有增殖執行的elementwise)。當這是IMDCTed和再乘(elementwise)時以窗口作用，持續N 一半成為：

$(z_R， w_R) \ cdot (z_R c+w d_R、z c_R + w_R d) = (z_R^2 c+wz_R d_R、w_R z c_R + w_R^2d)$ .

(筆記我們不再有增殖1/2，因為IMDCT正常化由因素2不同在windowed案件。)

同樣， windowed MDCT和IMDCT $(c, d, e, f)$ 出產量，在它第一N 半：

$(w， z) \ cdot (w c - z_R d_R， z d - w_R c_R) = (w^2 c - w z_R d_R， z^2d - w_R z c_R)$ .

當我們把這二個一半加起來時，我們獲得：

$(z_R^2 c+wz_R d_R、w_R z c_R + w_R^2d) + (w^2 c - w z_R d_R， z^2d - w_R z c_R)$

$= \離開([z_R^2 + w^2] c + [wz_R - wz_R] d_R， [w_R^2 + z^2] d + [w_R z - w_R z] c_R \正確) = (c， d)$

恢復原始的數據。

參考

Henrique S。 Malvar， 信號處理與舔變換 (Artech議院： Norwood MA 1992)。

約翰P。 Princen和阿倫B。布雷得里，「分析或綜合根據時間界域混淆現象取消的濾波器組設計」， IEEE Trans。 Acoust。講話信號。 Proc。 ASSP-34 (5) 1153-1161 (1986)。 (描述前體對MDCT使用分離餘弦和正弦的組合變換。)

J. P. Princen和A。 W. 約翰遜和A。 B. 布雷得里，「次能帶或使用根據時間界域混淆現象取消的濾波器組設計變換編制程序」， IEEE Proc。 Intl。 Conf。在聲學，講話和信號處理(ICASSP) 12 2161-2164 (1987)。 (什麼的最初的描述現在稱MDCT。)

A. W. 約翰遜和A。 B. 布雷得里，「能適應變換編制程序合併的時間界域混淆現象取消」， 講話Comm。 6 299-308 (1987)。

為算法，看見即：
- 希臘字母x分鐘劉和Wen-Chieh李，「一種統一的快速的算法為餘弦在當前音頻標準調整了filterbanks", J. 音頻工程學 47 (12) 1061-1075 (1999)。
- v. Britanak和K。 R. Rao，「一種新的快速的算法為統一的向前和相反MDCT/MDST計算」， 信號處理 82 433-459 (2002)
- Vladimir Nikolajevic和Gerhard Fettweis，「向前和相反MDCT的計算使用Clenshaw的循環公式」， IEEE Trans。信號。 Proc。 51 (5) 1439-1444 (2003)
- Che洪陳、容器Da劉和瓶子Ferr楊，「遞歸建築學為體會修改過的分離餘弦變換和它的反面」， IEEE Trans。電路Syst。 II ：模式開掘。信號。 Proc。 50 (1)， 38-45 (2003)
- 因此…和參考。

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