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矩陣(數學)

在數學 a 矩陣 (複數矩陣)是一張長方形桌元素 (或詞條)，也許是數字或者，更加一般，其中任一可以增加和被倍增的抽象數量. 矩陣用於描述線性方程記錄系數線性變革并且記錄取決於多個參量的數據。矩陣由領域描述矩陣理論. 矩陣可以增加，被倍增和被分解以各種各樣的方式，在領域也做他們一個關鍵概念的線性代數.

在這篇文章，矩陣的詞條真正或複雜數字除非另行通知。

定義和記法

水平線在矩陣叫列并且垂直線叫專欄. 一個矩陣與 m 列和 n 專欄稱 m- n 矩陣(書面 m × n)和 m 并且 n 叫它維度. 矩陣的維度首先總測量以行數，然後列數。它共同地說 m- n 矩陣有命令 m × n (「命令」意思大小)。對應的條目是等效的同一順序的二個矩陣被認為相等。

幾乎總大寫字母表示矩陣與對應的小寫字母以代表詞條的二個索引。例如，矩陣的詞條 A 那在 i- th列和 j- th專欄被寫 a_{i， j} 并且叫 i， j 詞條或 (i， j)- th詞條 A. 供選擇的記法為那個詞條是 A[i， j]或 A_{i， j}. 列首先總被注意，然後專欄。在本例中， A (沒有下標)將象徵整個矩陣。除使用大寫字目之外作為代表矩陣的標誌，許多作者使用特別印刷樣式，共同地黑體直立的東西(非斜體字)，與其他可變物進一步區別矩陣。在這次大會以後， A 是矩陣，區別從 A標量。例如，一次供選擇大會是附註矩陣以他們的維度在小類型在標誌之下 $\ underset {r \時期c} {A}$ 為 r- c 矩陣。

我們經常寫 $\ mathbf {A} ：= (a_ {i， j}) _ {i=1， \ ldots， m; \， \， j=1， \ ldots， n}$ 或 $\ mathbf {A} ：= (a_ {i， j}) _ {m \時期n}$ 定義 m × n 矩陣 A. 在這種情況下，詞條 a_{i， j} 為所有整數分開地被定義1 ≤ i ≤ m 并且1 ≤ j ≤ n. 在一些編程語言，列編號和專欄以零開始。廣泛地使用任何如此語言的文本頻繁地跟隨那次大會，因此我們有0 ≤ i ≤ m-1和0 ≤ j ≤ n-1.

矩陣，其中一個維度合計一經常稱a 傳染媒介和解釋作為元素真正的同等的空間. m × 1矩陣(一個專欄和 m 列)稱a 專欄傳染媒介并且一1 × n 矩陣(一列和 n 專欄)稱a 單行矩陣.

數學定義

$\， m \時期n \， \， (m， n \在\ mathbb {N})$ 矩陣 $\ mathbf {A} \，$ 是a 作用 $\ mathbf {A} \冒號\ {1， 2， \ ldots， m \} \時期\ {1， 2， \ ldots， n \} \ \ mathbf {S}， \， \，$ 那裡 $\ mathbf {S} \，$ 是其中任一非空集.

$(\ {1， 2， \ ldots， m \} \時期\ {1， 2， \ ldots， n \} \，$ 是笛卡爾積集合 $\ {1， 2， \ ldots， m \} \，$ 并且 $\ {1， 2， \ ldots， n \}。)\，$

我們說那個矩陣 $\ mathbf {A}$ 是矩陣集合 $\ mathbf {S}$ . 如果我們想要有，重要的事對筆記是那矩陣代數集合 $\ mathbf {S} \，$ 必須是a 圓環并且矩陣 $\ mathbf {A}$ 必須是一個方矩陣(參見方矩陣和相關定義在為進一步解釋之下)。因為套所有方矩陣在圓環也是圓環，矩陣代數通常叫矩陣圓環.

因為這篇文章主要考慮矩陣實數這裡顯示的矩陣實際上是作用 $\ mathbf {A} \冒號\ {1， 2， \ ldots， m \} \時期\ {1， 2， \ ldots， n \} \ \ mathbb {R}。\， \，$

例子

矩陣

$\ mathbf {A} = \開始{bmatrix} 9 & 8 & 6 \ \ 1 & 2 & 7 \ \ 4 & 9 & 2 \ \ 6 & 0 & 5 \末端{bmatrix}$ 或 $\ mathbf {A} = \開始{pmatrix} 9 & 8 & 6 \ \ 1 & 2 & 7 \ \ 4 & 9 & 2 \ \ 6 & 0 & 5 \末端{pmatrix}$

是a $4 \時期3$ 矩陣。元素 $a 2,3$ 或 $\ mathbf {A} [2,3]$ 是7。根據指定的數學定義以上，這個矩陣是一個作用 $\ mathbf {A} \冒號\ {1， 2， 3， 4 \} \時期\ {1， 2， 3 \} \ \ mathbb {R} \，$ 例如，并且 $\ mathbf {A} ((2， 3)) = 7 \，$ 并且 $\ mathbf {A} ((3， 1)) = 4。\，$

矩陣

$\ mathbf {R} = \開始{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \末端{bmatrix}$

是a $1 \時期9$ 矩陣或者9元素單行矩陣。

基本操作

總和

主要文章：矩陣加法

相同維度兩個或多個矩陣 m 并且 n 能增加。給出 m- n 矩陣 A 并且 B他們 求和A+B 是 m- n 增加計算的矩陣對應的元素：

$\開始{排列} \ mathbf {A} + \ mathbf {B} &= (a_ {i， j}) _ {1 \ le i \ le m; \， 1 \ le j \ le n} + (b_ {i， j}) _ {1 \ le i \ le m; \， 1 \ le j \ le n} \ \ &= (a_ {i， j} +b_ {i， j}) _ {1 \ le i \ le m; 1 \ le j \ le n}。\ \ \末端{排列}$

例如：

$\開始{bmatrix} 1 & 3 & 1 \ \ 1 & 0 & 0 \ \ 1 & 2 & 2 \末端{bmatrix} + \開始{bmatrix} 0 & 0 & 5 \ \ 7 & 5 & 0 \ \ 2 & 1 & 1 \末端{bmatrix} = \開始{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 1+5 \ \ 1+7 & 0+5 & 0+0 \ \ 1+2 & 2+1 & 2+1 \末端{bmatrix} = \開始{bmatrix} 1 & 3 & 6 \ \ 8 & 5 & 0 \ \ 3 & 3 & 3 \末端{bmatrix}。$

另，較不矩陣加法的常用的概念是直和.

標量增殖

主要文章：標量增殖

給出矩陣 A 并且數字 c 標量增殖 cA 是通過倍增每個元素計算的 A 由標量 c (即。 $(c \ mathbf {A}) _ {i， j} = c \ cdot a_ {i， j}$ ). 例如：

$2 \ cdot \開始{bmatrix} 1 & 8 & -3 \ \ 4 & -2 & 5 \末端{bmatrix} = \開始{bmatrix} 2 \ cdot 1 & 2 \ cdot 8 & 2 \ cdot -3 \ \ 2 \ cdot 4 & 2 \ cdot -2 & 2 \ cdot 5 \末端{bmatrix} = \開始{bmatrix} 2 & 16 & -6 \ \ 8 & -4 & 10 \末端{bmatrix}。$

矩陣加法和標量增殖轉動集合 $\文本{M} (m， n， \ mathbb {R})$ 所有 $m$ - $n$ 矩陣與真正詞條到真正裡向量空間維度 $m \ cdot n$ .

矩陣增殖

主要文章：矩陣增殖

增殖二個矩陣，只有当列數左矩陣的是相同像行數正確的矩陣的，是明確定義的。如果 A 是 m- n 矩陣和 B 是 n- p 矩陣，然後他們 矩陣積AB 是 m- p 指定的矩陣：

$(\ mathbf {AB}) _ {i， j} = a_ {i， 1} b_ {1， j} + a_ {i， 2} b_ {2， j} + \ ldots + a_ {i， n} b_ {n， j}$

為每個對 $(i, j)$ . 例如：

$\開始{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ \ -1 & 3 & 1 \ \ \末端{bmatrix} \時期 \開始{bmatrix} 3 & 1 \ \ 2 & 1 \ \ 1 & 0 \ \ \末端{bmatrix} = \開始{bmatrix} (1 \時期3 + 0 \時期2 + 2 \時期1) & (1 \時期1 + 0 \時期1 + 2 \時期0) \ \ (- 1 \時期3 + 3 \時期2 + 1 \時期1) & (- 1 \時期1 + 3 \時期 1 + 1 \時期0) \ \ \末端{bmatrix}$

$= \開始{bmatrix} 5 & 1 \ \ 4 & 2 \ \ \末端{bmatrix}。$

矩陣增殖有以下物產：

(AB)C = A(BC)為所有 k- m 矩陣 A, m- n 矩陣 B 并且 n- p 矩陣 C (「associativity」)。
(A+B)C = AC+BC 為所有 m- n 矩陣 A 并且 B 并且 n- k 矩陣 C (「正確的distributivity」)。
C(A+B) = 加州+鈳為所有 m- n 矩陣 A 并且 B 并且 k- m 矩陣 C (「被留下的distributivity」)。

矩陣增殖不是可交換; 即特定矩陣 A 并且 B 并且他們的一般被定義的產品，然後 AB $\ ne$ BA. 它也許也發生那 AB 被定義，但 BA 沒有被定義。

除被描述的普通的矩陣增殖以外，那裡在可以被認為增殖的形式的矩陣存在其他操作，例如 Hadamard產品并且 Kronecker產品.

線性變革

主要文章：變革矩陣

矩陣可能方便地代表線性變革因為矩陣增殖整潔地對應於地圖的構成，和其次將被描述。這同樣物產在高級編程語言做他們強有力的數據結構。

這裡和在續集我們辨認 Rⁿ 與套「專欄」或 n-由1矩陣。為每張線性地圖 f : Rⁿ → R^m 那裡存在獨特 m- n 矩陣 A 這樣 f(x) = 軸為所有 x 在 Rⁿ. 我們說矩陣 A 「代表」線性地圖 f. 現在，如果 k- m 矩陣 B 代表另一張線性地圖 g : R^m → R^k然後線性地圖 g o f 代表 BA. 這從矩陣增殖上述的associativity跟隨。

更加一般，一張線性地圖從 n-尺寸向量空間對 m-尺寸向量空間由代表 m- n 矩陣，在條件下基地為其中每一被選擇了。

等級

主要文章：矩陣的等級

矩陣的等級 A 是維度圖像線性地圖代表的 A; 這是相同像列引起的空間的維度 A並且和一樣專欄引起的空間的維度 A. 它可能也被定義與線性代數無關如下：等級 m- n 矩陣 A 是最小的數字 k 這樣 A 能被寫作為產品 BC 那裡 B 是 m- k 矩陣和 C 是a k- n 矩陣(雖然這不是一個實用方式計算等級)。

移置

主要文章：移置

移置 m- n 矩陣 A 是 n- m 矩陣 A^tr (有時也寫 A^T 或 ^tA)通過轉動形成盪槳成專欄和專欄入列，即。 A^tr[i, j] = A[j, i]為所有索引 i 并且 j. 如果 A 描述一張線性地圖關於二個基地，然後矩陣 A^tr 描述線性地圖的移置關於雙重基地，看見對偶空間.

我們有(A + B)^tr = A^tr + B^tr 并且(AB)^tr = B^tr A^tr.

方根

主要文章：矩陣的方根

特定二跳起了矩陣 T 并且 B, B 是一個方根 T 如果 T = B*B.

方矩陣和相關定義

A 方矩陣 是有同一行數和專欄的矩陣。套所有正方形 n- n 矩陣，與矩陣加法和矩陣增殖一起是a 圓環. 除非 n = 1，這個圓環不是可交換.

M (n, R)，真正的方矩陣圓環，是一真正單一的結合代數. M (n, C)，複雜方矩陣圓環，是複雜結合代數。

單位矩陣 或 單位矩陣 I_n與元素在主要對角線集合到1和其他元素集到0，滿意 MI_n = M 并且 I_nN = N 為其中任一 m- n 矩陣 M 并且 n- k 矩陣 N. 例如，如果 n = 3:

$\ mathbf {I} _3 = \開始{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \末端{bmatrix} 。$

單位矩陣是單位元素在方矩陣圓環。

可轉位元素在這個圓環叫 可逆矩陣 或 非奇異矩陣. n 由 n 矩陣 A 是可轉位的，如果，并且，只有当那裡存在矩陣 B 這樣

AB = I_n ( = BA).

在這種情況下， B 是 反矩陣 A表示 A⁻¹. 套所有可轉位 n- n 矩陣形成a 小組 (具體地a 狀態群)在矩陣增殖之下，一般線性小組.

如果λ是數字和 v 是非零傳染媒介這樣 Av = λv我們然後叫 v 特徵向量 A 并且λ伴生本徵值. (Eigen 手段「擁有」德語并且荷蘭語.) 數字λ是本徵值 A 如果和，只有当 A−λI_n 不是可轉位的，發生，如果，并且，只有当 p_A(λ) = 0。這裡 p_A(x)是典型多項式 A. 這是a 多項程度 n 因此并且有 n 複雜根(計數多重根根據他們的多樣性)。這樣，每個方矩陣有 n 複雜本徵值。

定列式一個方矩陣 A 是產品它 n 本徵值，但它可能由也定義 Leibniz慣例. 可逆矩陣精確地是那些矩陣以一個非零定列式。

高斯排除算法是中央重要：它可以用於計算定列式、矩陣等級和反面和解決線性方程系統 .

蹤影 a 方矩陣是它的對角詞條的總和，合計總和的它 n 本徵值。

矩陣指數為方矩陣被定義，使用電源串聯.

矩陣的特殊類型

在許多區域在數學，矩陣與某一結構出現。幾個重要例子是

對稱矩陣是這樣元素相稱關於 主要對角線 (從左上部在更低的右邊)是相等的，即， $a_ {i， j} =a_ {j， i} \ Leftrightarrow \ mathbf {A} ^ \ mathrm {T} = \ mathbf {A}$ .
歪曲相稱矩陣是這樣元素相稱關於 主要對角線 是陰性彼此，即， $a_ {i， j} =-a_ {j， i} \ Leftrightarrow \ mathbf {A} ^ \ mathrm {T} = \ mathbf {A}$ . 在一個歪曲相稱矩陣，所有對角元素是零，即， $a_ {i， i} =-a_ {i， i} \ Rightarrow a_ {i， i} =0$ .
厄米 (或自已adjoint)矩陣是這樣元素相稱關於對角線是每其他複雜共軛即， $a_ {i， j} = \ overline {a} _ {j， i} \ Leftrightarrow \ mathbf {A} ^ \ mathrm {H} = \ mathbf {A}$ 的地方 $\ overline {z}$ 符號化一個複雜形勢的複雜共軛 $z$ 并且 $\， \! \ mathbf {A} ^ \ mathrm {H}$ 共軛移置 A.
Toeplitz矩陣有共同的元素在他們的對角線，即， $\， \! a_ {i， j} =a_ {i+1， j+1}$ .
隨機矩陣是列是的方矩陣可能性傳染媒介; 他們用於定義馬爾可夫鏈.
一個方矩陣 A 叫冪等如果 $\ mathbf {A} ^2= \ mathbf {AA} = \ mathbf {A}$ .

為一張更加廣泛的名單看見矩陣名單.

矩陣在抽象代數

如果我們開始以a 圓環 R我們可以考慮集合M (m,n, R)所有 m 由 n 矩陣與詞條 R. 這些矩陣的加法和增殖可以被定義和在真正或複雜矩陣情況下(參見上面). 集合M (n, R)所有正方形 n 由 n 矩陣 R 因本身之能力是圓環，同構對 endomorphism圓環左邊 R-模塊 Rⁿ.

同樣，如果詞條從a被採取 semiring S矩陣加法和增殖可能照常仍然被定義。套所有正方形 n×n 矩陣 S 是本身semiring。注意快速的矩陣增殖算法例如 Strassen算法一般只適用於矩陣在圓環，并且不會為矩陣工作在不是圓環的semirings。

如果 R 是a 交換環然後M (n, R)是單一結合代數 R. 它也是然後意味深長的定義定列式方矩陣使用 Leibniz慣例; 矩陣是可轉位的，如果，并且，只有当它的定列式是可轉位的 R.

在這篇文章上提及的所有聲明為真正或複雜矩陣依然是正確為矩陣在任意領域.

矩陣在a 多項式環是重要的在研究中控制論.

沒有詞條的矩陣

幾乎不被提出的一個微妙的問題是否有這樣事像a 3由0矩陣。那是一個矩陣以3列，但沒有任何專欄，似乎荒謬。然而，如果你想要能有矩陣為所有線性地圖在有限尺寸向量空間之間，你需要這樣矩陣，因為線性地圖沒有錯從0尺寸空間到三維的空間(實際上，如果空間被修理有一張這樣地圖，零的地圖)。那麼你被帶領承認確切地有一个3由0有3×0=0詞條的矩陣(; 不空詞條，而是根本沒有)。同樣有矩陣以正面列數，但沒有列。

在缺乏詞條，你必須仍然記錄行數和專欄，從產品 BC 那裡 B 是3由0矩陣和 C 是a 0由4矩陣3由4矩陣是一完全正常的，所有12個詞條是0 (因為測量他們空的總和). 注意這計算 BC 辯解為矩陣的等級給的以上標準根據可能的表示作為產品： 3由4矩陣與零的詞條一定有等級0，因此它應該是a 3由0矩陣和a產品0由4矩陣。^[1]

要允許和區別在矩陣之間，不用詞條，在有些賣弄學問電腦科學樣式應該正式定義矩陣，和變成四倍(A, r, c, M)的地方 A 是詞條居住的集合， r 并且 c 是(自然)行數和專欄，和 M 是長方形收藏 rc 元素 A (矩陣在通常感覺)。

歷史

矩陣的研究是相當老。 A 3由3 幻方出現於中國文學 BC建於早在650。^[2]

矩陣有應用的一個悠久的歷史在解決線性方程. 一重要漢語文本從之間300 BC和廣告200， 九個章節在數學藝術 (Jiu張Suan Shu)，是對矩陣方法的用途的第一個例子解決同時等式.^[3] 在第七個章節，「太多而不是足够」， a的概念定列式首先在它的出版物之前出現差不多2000年由日語數學家 Seki Kowa 1683年和德國數學家 Gottfried Leibniz 在 1693.

幻方知道阿拉伯數學家可能早在第7個世紀，當阿拉伯人被征服的西北部分的印第安次大陸并且學會印第安數學并且天文包括其他方面組合數學. 它也被建議想法通過中國來了。第一幻方秩序5和6出現於一本百科全書從巴格達大約 983 廣告， 純淨的教友的百科全書 (Rasa'il Ihkwan AlSafa); 更加簡單的幻方為幾位更加早期的阿拉伯數學家所知。^[2]

在定列式的理論的發展以後由Seki Kowa和Leibniz在17世紀末期， Cramer 開發了理論進一步在18世紀，提出 Cramer的規則在 1750. Carl Friedrich Gauss 并且 Wilhelm喬丹開發高斯喬丹排除在19世紀。

術語「矩陣」被形成了 1848 由 J. J. Sylvester. Cayley, 哈密爾頓, Grassmann, Frobenius 并且馮Neumann 是在研究矩陣理論的著名數學家之中。

Olga Taussky托德 (對矩陣理論的1906-1995)做的重要貢獻，使用它調查叫的一種飛行動力學的現象振翼或氣動彈性力學在期間 WWII. 她告訴了「一個領導人」為矩陣理論。^[4]

教育

作為線性代數一部分在學院，或者以微積分，矩陣傳統上被教了。以收養聯合數學文本用於高中在美國在90年代，他們由許多這樣文本包括例如核心加上數學項目哪些經常被瞄準早在第九年級或者及早為榮譽學生。他們經常要求對註標計算器的用途例如 TI-83 哪些可能非常迅速進行複雜操作例如矩陣反向。

雖然多數計算機語言沒有設計與命令或圖書館為矩陣，早在70年代，一些工程學臺式計算機例如 HP 9830 有ROM彈藥筒增加基本指令為矩陣。某種計算機語言例如 APL被設計操作矩陣和數學節目例如 Mathematica和其他使用援助計算與矩陣。

應用

加密

參見：矩陣加密

矩陣可以用於加密數字數據。加密由倍增數據矩陣完成與一個關鍵矩陣。解密由倍增被加密的矩陣簡單地完成以鑰匙的反面。

計算機圖表

參見：變革矩陣

4×4變革矩陣是常用的在計算機圖表。變革矩陣的左上部3×3部分由新組成 x, Y和 Z 崗位變革同等的空間的軸。

深層讀取

一篇更加先進的文章在矩陣是 矩陣理論.

參見

參考

^ de Boor，卡爾 (1990), “一空的鍛煉”, ACM SIGNUM時事通訊 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273 <http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf> .
Nett， C.N。 & Haddad， W.M。 (1993)，「空的矩陣概念的系統理論適當的認識”, IEEE交易在自動控制 38 (5): 771-775， ISSN 0018-9286DOI 10.1109/9.277245 .
^ ^a ^b Swaney，標記。幻方的歷史.
^ 沈Kangshen等。 (編輯。) (1999)。 數學藝術、伴侶和評論的九個章節. 牛津大學Press。援引奧多Bretscher (2005)。 線性代數以應用第3編輯。，學徒霍爾， p。 1.
^ Ivars Peterson. 矩陣、圈子和Eigenthings.

外部鏈接

Wikibooks 線性代數在題目有頁

矩陣

資源
- 矩陣名字和歷史：非常簡要的概要 ualr.edu
- 矩陣代數介紹：定義和物產 xycoon.com
- 矩陣代數 sosmath.com
- 矩陣參考手冊, 皇家學院
- 一本網上課本在矩陣代數介紹在 全部數字方法學院
- 用於圖解遊戲編程的矩陣的應用的例子Riemer的DirectX講解

網上矩陣計算器
- easycalculation.com
- Matri三加州 -矩陣計算器
- bluebit.gr
- wims.unice.fr
- 矩陣計算器在 SolveMyMath -計算定列式，追蹤，移置和矩陣的反矩陣

免費軟件
- 矩陣2.1擅長擴展程序狐狸
- MacAnova, 明尼蘇達的大學統計學校

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