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傅立葉系列

傅立葉變換
連續的傅立葉變換
傅立葉系列
分離傅立葉變換
離散時間傅立葉變換
相關變換

在數學 a 傅立葉系列 分解一個週期性作用入簡單的擺動的作用的一個總和，即正弦和餘弦. 傅立葉系列的研究是分支傅立葉分析. 介紹了傅立葉系列約瑟夫・傅立葉 (1768-1830)為解決的目的熱等式在金屬片，它在數學導致了一次革命，迫使數學家再檢查數學基礎和導致許多現代理論例如 Lebesgue綜合化.

熱等式是a 偏微分方程. 在傅立葉的工作之前，沒有知道的解答到熱等式在一個一般情況。雖然特殊解答特別是知道熱源是否表現了用一個簡單的方式，如果熱源是a 正弦或餘弦波浪。這些簡單溶體有時現在稱eigensolutions。傅立葉的想法是塑造一個複雜的熱源作為疊置(或線性組合)簡單的正弦和餘弦波浪和寫解答作為對應的eigensolutions的疊置。這個疊置或線性組合稱傅立葉系列。

雖然原始的刺激是解決熱等式它以後變得明顯同樣技術可能被申請於大多數學和物理問題。基本的結果是非常容易使用現代理論瞭解。

傅立葉系列有許多應用電機工程, 振動分析，聲學, 光學, 信號處理, 圖像處理等等。

歷史發展

傅立葉系列被命名以紀念約瑟夫・傅立葉 (1768-1830)，做對三角級數的研究的重要貢獻，在初步調查以後 Madhava, Nilakantha Somayaji, Jyesthadeva, Leonhard Euler, 吉恩・ le Rond d'Alembert和丹尼爾Bernoulli. 他申請這個技術發現解答熱等式出版他的最初結果 1807 并且1811年和出版他的 Théorie analytique de la chaleur 1822年。

從一個現代觀點，傅立葉的結果是有些不拘形式的，由於缺乏一個精確概念作用并且 缺一不可 在19世紀初(例如，想知道的一个^{[需要的引證]}如果在二間隔時間定義的作用以二個不同慣例仍然是作用)。以後， Dirichlet 并且 Riemann 表達的傅立葉的結果以更加巨大的精確度和形式。

一篇革命文章

“

$\ varphi (y) =a \ COS \ frac {\ pi y} {2} +a'\ COS 3 \ frac {\ pi y} {2} +a$

倍增雙方 $\ COS (2i+1) \ frac {\ pi y} {2}$ 然後集成從 $y = - 1$ $y = + 1$ 出產量：

$a_i= \ int_ {- 1} ^1 \ varphi (y) \ COS (2i+1) \ frac {\ pi y} {2} \， dy。$

”

-約瑟夫・傅立葉， Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les軍團solides，頁。 218--219.^[1]

在這些少量線，驚奇地是緊挨現代形式主義在傅立葉系列，傅立葉使用了無心地革命化了數學和物理。雖然相似Euler早先使用三角級數， d'Alembert，丹尼爾Bernoulli和高斯傅立葉相信這樣三角級數可能代表任意作用。當這不是真實的時，嘗試在許多歲月期間澄清這個想法在理論上導致了重要發現匯合, 函數空間和調和分析.

1807年當傅立葉遞交了他的紙，委員會(組成沒有少許數學家比拉格朗日, Laplace, 羅盤星座并且 Legendre在)結束的其他中： …作者到達在這些等式的方式不是豁免困難和[...]他的分析集成他們仍然留下某事渴望在甚而普通性和嚴峻比分 .

調和分析誕生

從傅立葉的時間，對定義和瞭解傅立葉系列的概念的許多不同的方法被發現了，互相是一致的，但每哪個強調題目的不同方面。某些更加強有力和更加典雅的方法根據數學想法，并且當時不是可利用的工具傅立葉完成了他原始的工作。傅立葉最初定義了傅立葉系列為真正的論據和使用正弦和餘弦函數的real-valued作用成依據集合為分解。

許多其他與傅立葉相關變換從那以後被定義了，擴大最初的想法對其他應用。詢問這個一般區域有時現在叫調和分析.

定義

在這個部分， f(x)表示實變量的作用 x. 這個作用通常被採取是週期性，期間2π，是說那 f(x+2π) = f(x)，為所有實數 x. 我們將顯示如何寫這樣作用像一個無限總和或者系列. 我們將通過使用一個無限總和開始正弦并且餘弦間隔時間的作用[- π， π]，傅立葉(參見行情上面)和我們然後將談論不同的公式化和概念化。

傅立葉的慣例為2π週期性作用使用正弦和餘弦

為一個2π週期性作用 f(x)數字

$a_n = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ COS (nx) \， dx$

并且

$b_n = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \罪孽(nx) \， dx$

叫傅立葉系數 f. 無限總和

$f (x) = \ frac {a_0} {2} + \ sum_ {n=1} ^ {\ infty} [a_n \ COS (nx) + b_n \罪孽(nx)]$

是 傅立葉系列 為 f 在間隔時間[- π， π]。傅立葉系列在慣例總不聚合，那麼那裡可能不是平等上面。它是其中一個主要問題調和分析決定當平等舉行時。如果作用是正方形可結合在間隔時間[- π， π]，它在那間隔時間可以然後代表由早先慣例。

例子：一個簡單的傅立葉系列

我們現在使用慣例上面給一個非常單值函數的傅立葉級數展開。考慮鋸齒作用(如被描述在圖):

$f (x) = x， \方形字體\ mathrm {為} \方形字體- \ pi < x < \ pi，$

$f (x + 2 \ pi) = f (x)， \方形字體\ mathrm {為} \方形字體- \ infty < x < \ infty。$

在這種情況下，給傅立葉系數

$\開始{排列} a_n & {} = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} x \ COS (nx) \， dx = 0。 \ \ b_n & {} = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} x \罪孽(nx) \， dx = 2 \ frac {(- 1) ^ {n+1}} {n}。\末端{排列}$

並且 :

$\開始{排列} f (x) &= \ frac {a_0} {2} + \ sum_ {n=1} ^ {\ infty} \左[a_n \ COS \左(nx \正確) +b_n \罪孽\左(nx \正確) \正確] \ \ &=2 \ sum_ {n=1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n+1}} {n} \罪孽(nx)， \方形字體\ mathrm {為} \方形字體- \ infty < x < \ infty。 \末端{排列}$		(Eq.1)

你注意我們的作用傅立葉級數展開比慣例看較不簡單 f(x)=x和不如此它立刻是明顯的為什麼你將需要這個傅立葉系列。當有許多應用時，我們援引解決熱等式的傅立葉的刺激。例如，認為一金屬片以邊測量π米的一個正方形的形式，以座標 $(x， y) \在[0， \ pi] \時期[0， \ pi]$ . 如果沒有熱源在板材之內，并且，如果三四邊被拿著在0度攝氏，當第四邊給出時 y=π，被維護在溫度差 T(xπ) = x 攝氏度，為 x 在(0， π)，你可能然後表示，在一個長的時期流逝了)之後給固定式熱發行(或熱發行

$T (x， y) = 2 \ sum_ {n=1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n+1}} {n} \罪孽(nx) {\ sinh (ny) \ \ sinh (n \ pi)}。$

這裡， sinh是雙麴正弦作用。熱等式的這種解答通過乘每個期限獲得(Eq.1)以sinh (ny) /sinh (nπ)。當我們的例子作用時 f(x)似乎有一個多餘地複雜的傅立葉系列，熱發行 T(x,y)是重要的。作用 T 不能被寫作為a 封閉形狀表示. 解決熱問題這個方法由傅立葉的工作只使成為可能。

這個傅立葉系列的另一種應用是解決巴塞爾問題通過使用 Parseval的定理. 例子推斷，并且你也許計算 zeta(2n)，為任何正面整數n。

現代版本使用複雜exponentials

我們可以使用 Euler的慣例, $e i n x = COS (n x) + i 罪孽(n x)$ 的地方 $i$ 是虛數單位給一個更加簡明的慣例:

$f (x) = \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} c_n e^ {inx}。$

然後給傅立葉系數 :

$c_n = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e^ {- inx} \， dx。$

傅立葉系數 $a n, b n, c n$ 是相關的通過

a n = c n + c - n

為 $n=0,1,2， \小點，$

并且

b n = i (c n - c - n)

為 $n=1,2， \小點$

記法 $c n$ 為談論幾個不同的作用傅立葉系數是不充分的。所以它被一個修改過的形式習慣地替換 $f \，$ (在這種情況下)，例如 $F \，$ 或 $\帽子{f}，$ 并且功能記法經常替換帶下標。因而:

$\開始{排列} f (x) &= \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} \帽子{f} (n) \ cdot e^ {inx} \ \ &= \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} F [n] \ cdot e^ {inx} \方形字體\ mbox {(工程學)}。 \末端{排列}$

在各種各樣的科學領域，序列有其他名字，例如特徵函數 (概率論)。在工程學，特別當可變物 x 代表時間，序列叫a 頻域表示法。方括號是常用的強調這個作用領域是a 分離套頻率。

傅立葉系列在將軍間隔時間[a,b]

讓G [0]， G [±1]， G [±2]， … 是真正或複雜系數。傅立葉系列:

$g (x) = \ sum_ {n=- \ infty} ^ \ infty G [n] \ cdot e^ {i 2 \ pi \ frac {n} {\ tau} x} \，$

是一個週期性作用，期間是 $\ tau \，$ 在領域 $\ mathbb {R}。$ 如果作用是正方形可結合在間隔時間 $[a， \ a+ \ tau]，$ 它在那間隔時間可以代表由慣例上面。如果 g(x)是可結合的，然後給傅立葉系數 :

$G [n] = \ frac {1} {\ tau} \ int_a^ {a+ \ tau} g (x) \ cdot e^ {- i 2 \ pi \ frac {n} {\ tau} x} \， dx。$

如果將代表的作用也，是注意 $\ tau \，$ -週期性，然後 $a \，$ 是一個任意選擇。二個普遍的選擇是 $a=0 \，$ 并且 $a=- \ tau/2。\，$

另一個常用的頻域表示法使用傅立葉系列系數調整a Dirac梳子:

$G (f) \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} G [n] \ cdot \三角洲\離開(f- \ frac {n} {\ tau} \正確)$

那裡可變物 $f \，$ 代表a 連續頻域。當可變物 $x \，$ 有秒鐘單位， $f \，$ 有單位赫茲. 「牙」梳子被間隔在倍數(即。泛音) $1 \ tau， \，$ 哪些稱基頻. 原物 $g (x) \，$ 能從這個表示法恢復由相反傅立葉變換.^[2] 作用 $G (f) \，$ 因此共同地指a 傅立葉變換，即使一個週期性作用的傅立葉積分式不會聚。^[3]

傅立葉系列在正方形

我們可以也定義傅立葉系列為二可變物的作用 x 并且 y 在方形的[- π， π] × [- π， π]:

$f (x， y) = \ sum_ {j， k \在\ mathbb {Z}} c_ {j， k} e^ {ijx} e^ {iky}，$

$c_ {j， k} = {1 \ 4 \ pi^2} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x， y) e^ {- ijx} e^ {- iky} \， dx \， dy \。$

除是之外有用的為解決偏微分方程例如熱等式，正方形的傅立葉系列的一種著名的應用圖像壓縮. 特別是， jpeg 圖像壓縮標準使用二維分離餘弦變換是傅立葉變換使用餘弦依據作用。

希耳伯特空間解釋

主要文章：希耳伯特空間

在語言希耳伯特空間套作用 $\ {e_n = e^ {i n x}， n \在\ mathbb {Z} \}$ 是規格化正交的依據為空間 $L 2 ([- π， π])$ 正方形可結合的作用 $[- π， π]$ . 這空間實際上是a 希耳伯特空間與內積給出 :

$\ langle f， g \ rangle \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ overline {g (x)}\， dx。$

希耳伯特空間的基本的傅立葉系列結果可以被寫

$f= \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} \ langle f， e_n \ rangle e_n。$

這確切地對應於指定的複雜指數公式化以上。版本以正弦和餘弦也辯解以希耳伯特空間解釋。清楚地，正弦和餘弦形成規格化正交的集合:

$\ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} \ COS (mx) \， \ COS (nx) \， dx = \ pi \ delta_ {mn}，$

$\ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} \罪孽(mx) \， \罪孽(nx) \， dx = \ pi \ delta_ {mn}$

(的地方 $δ m n$ 是 Kronecker三角洲)，和

$\ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} \ COS (mx) \， \罪孽(nx) \， dx = 0。$

密度他們的間距是後果的石頭Weierstrass定理.

物產

我們說那 $f \在C^k (\ mathbb {T})$ 如果 $f$ 是作用 $\ mathbb {R}$ 哪些是 $k$ 計時能區分，它 kth衍生物是連續的，并且是 $2π$ -週期性。

如果 f 是a $2π$ -週期性奇函數然後 $a n = 0$ 為所有 $n$ .

如果 f 是a $2π$ -週期性偶函數然後 $b n = 0$ 為所有 $n$ .

如果 f 是可結合, $\ lim_ {|n|\ rightarrow \ infty} \帽子{f} (n)=0$ , $\ lim_ {n \ rightarrow + \ infty} a_n=0$ 并且 $\ lim_ {n \ rightarrow + \ infty} b_n=0。$ 這個結果通認作為 Riemann-Lebesgue題詞.

如果 $f \在C^1 (\ mathbb {T})$ 然後傅立葉系數 $\帽子{f'} (n)$ 衍生物 $f'(t)$ 能被表達根據傅立葉系數 $\帽子{f} (n)$ 作用 $f (t)$ 通過慣例 $\帽子{f'} (n) =在\帽子{f} (n)$ .

如果 $f \在C^k (\ mathbb {T})$ 然後 $\ widehat {f^ {(k)}} (n) = () ^k \帽子{f} (n)$ . 特別是，從那以後 $\ widehat {f^ {(k)}} (n)$ 趨向到零，我們有那 $|n|^k \帽子{f} (n)$ 趨向到零，因此它意味著傅立葉系數比聚合對零快速 kth力量 n.

定理(Parseval). 如果 $f \在L^2 ([- \ pi， \ pi])$ 然後 $\ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} |\帽子{f} (n)|^2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} |f (x)|^2 \， dx$ .

定理(Plancherel). 如果 $c_0， \， c_ {\ pm 1}， \， c_ {\ pm 2}， \ ldots$ 是系數和 $\ sum_ {n=- \ infty} ^ \ infty |c_n|^2 < \ infty$ 然後有一個獨特的作用 $f \在L^2 ([- \ pi， \ pi])$ 這樣 $\帽子{f} (n) = c_n$ 為每 $n$ .

捲積定理狀態，如果 f 并且 g $L 2 ([- π， π])$ 然後 $\ widehat {f*g} (n) = \帽子{f} (n) \帽子{g} (n)$ 的地方 $f * g$ 表示 $2π$ -週期性捲積 f 并且 g.

一般案件

有許多可能的大道為推斷傅立葉系列。傅立葉系列和它的概念化的研究叫調和分析.

廣義函數

主要文章：廣義函數并且發行(數學)

你可能對不是正方形可結合的作用擴大傅立葉系數的概念，和對不是作用的對象。因為我們經常需要採取a，傅立葉變換這是非常有用的在工程學和應用 Dirac函數. Dirac三角洲 $δ$ 實際上不是作用，它是措施，但它仍然有傅立葉變換，和 $\帽子{\三角洲} (n)= {1 \ 2 \ pi}$ 為每 $n$ . 這概念化擴大定義域傅立葉變換的從 $L 2 ([- π， π])$ 到超集 $L 2$ . 傅立葉系列聚合微弱地.

緊湊小組

主要文章：緊湊小組并且狀態群

其中一我們提及了傅立葉變換的有趣的物產，是它運載捲積對pointwise產品。如果那是我們尋求保存的物產，你在其中任一可能導致傅立葉系列緊湊小組. 典型的例子包括那些古典小組那是緊湊的。這推斷傅立葉變換對形式的所有空間 $L 2 (G)$ 的地方 $G$ 是一個緊湊小組，在這種情況下傅立葉變換運載捲積對pointwise產品。傅立葉系列存在并且聚合用相似的方式對 $[- π， π]$ 案件。

Riemannian多頭管

主要文章： Laplace操作員并且 Riemannian多頭管

如果領域不是小組，則沒有內在地被定義的捲積。然而，如果 $x$ 是a 協定 Riemannian多頭管它有一名Laplace-Beltrami操作員。因為Laplace-Beltrami操作員是對應的微分算子 Laplace操作員為Riemannian多頭管 $x$ . 然後，由比喻，你可能然後考慮熱等式 $x$ . 因為傅立葉到達了在他的依據通過試圖解決熱等式，自然概念化是使用Laplace-Beltrami操作員的eigensolutions为据。這推斷傅立葉系列對類型的空間 $L 2 (x)$ 的地方 $x$ 是一根Riemannian多頭管。傅立葉系列聚合用方式相似於 $[- π， π]$ 案件。在傅立葉依據包括情況下，一個典型的例子是採取X是球形與通常公尺球狀泛音.

當地緊湊能成立可換定律小組

主要文章： Pontryagin雙重性

變緊密小組的概念化被談論以上不推斷對noncompact， nonabelian小組。然而，有當地變緊密能成立可換定律(LCA)小組的straightfoward概念化。

這推斷傅立葉變換 $L 1 (G)$ 或 $L 2 (G)$ G是LCA小組的地方。如果 $G$ 是協定，一也得到傅立葉系列，相似地聚合於 $[- π， π]$ 案件，但，如果 $G$ noncompact，你改為獲得a 傅立葉積分式. 這概念化產生通常傅立葉變換當強調地方緊湊能成立可換定律小組是 $\ mathbb {R}$ .

傅立葉系列略計和匯合

一個重要問題為理論並且應用是那匯合。特別是，在應用替換無窮級數經常是必要的 $\ sum_ {- \ infty} ^ \ infty$ 由一有限一個，

$S_N (x) = \ sum_ {n=-N} ^N \帽子{f} (n) e^ {inx}。$

這稱a 部分和. 我們希望知道，感覺 S_N(x)聚合 f(x) N 趨向到無限。

最小平方的物產

我們說那 p 是a 三角多項式程度 N 當它是形式

$p (x) = \ sum_ {n=-N} ^N p_n e^ {inx}。$

注意， $S N (x)$ 是程度一個三角多項式 N. Parseval的定理暗示那

定理。 $S N (x)$ 是程度獨特的最佳的三角多項式 $N$ 接近 $f (x)$ 在感覺，為任何三角多項式 $p \ neq S_N$ 程度 $N$ 我們有 $\|S_N - f \| \ lneqq \|p - f \|$ .

這裡，希耳伯特空間準則是

$\| g \| = \ sqrt {{1 \ 2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ {\ pi} |g (x)|^2 \， dx}。$

匯合

主要文章：傅立葉系列匯合

由於最小平方的物產和由於傅立葉依據的完整性，我們得到一個基本的匯合結果。

定理。 如果 $f \在L^2 ([- \ pi， \ pi])$ 傅立葉系列然後聚合 $L 2 ([- π， π])$ 即， $\|S_N - f \|$ 聚合到0 $N$ 去無限。

我們已經提及了那，如果 f 兩次是連續能區分的，然後 $n^2 \帽子{f} (n)$ 聚合到零 n 去無限。這立刻給第二個匯合結果。

定理。 如果 $f \在C^2 (\ mathbb {T})$ 然後 $\ sup_x |f (x) - S_N (x)| \ leq \ sum_ {|n|>N} |\帽子{f} (n)|$ 聚合到零，即， $S N$ 聚合 $f$ 一致地.

特別是， $S N$ 聚合 f pointwise.

許多進一步案件在主要文章被談論，傅立葉系列匯合範圍從系列聚合的適度地簡單的結果 x 如果 f 是能區分的在 x Lennart Carleson的 much more使結果複雜那傅立葉系列 $L 2$ 作用實際上聚合幾乎到處.

分歧

因為傅立葉系列有這樣好匯合物產，許多由某些消極結果經常驚奇。例如，傅立葉系列連續 T-週期性作用不需要聚合pointwise。

1922年， Andrey Kolmogorov 發表了題為「Une série de傅立葉Lebesgue divergente presque partout的」文章在哪些他給了傅立葉系列分流幾乎到處一個Lebesgue可結合的作用的例子。

參見

傅立葉變換
調和分析
Gibbs現象
Sturm-Liouville理論
Laurent系列 -代替 $q = e i x$ 變換相反傅立葉系列到Laurent系列裡或者。這用於 q-級數展開 j-不變式.

筆記

^ Gallica -傅立葉，吉恩Baptiste約瑟夫(1768-1830)。 oeuvres de傅立葉。 1888
^ 正式，反面變換被給 :

$\開始{排列} \ mathcal {F} ^ {- 1} \ {G (f) \} &= \ mathcal {F} ^ {- 1} \左\ {\ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} G [n] \ cdot \三角洲\左(f- \ frac {n} {\ tau} \正確) \正確\} \ \ &= \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} G [n] \ cdot \ mathcal {F} ^ {- 1} \左\ {\三角洲\左(f- \frac {n} {\ tau} \正確) \正確\} \ \ &= \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} G [n] \ cdot e^ {i2 \ pi \ frac {n} {\ tau} x} \ cdot \ mathcal {F} ^ {- 1} \ {\三角洲(f) \} \ \ &= \ sum_ {n=- \ infty} ^ {\ infty} G [n] \ cdot e^ {i2 \ pi \ frac {n} {\ tau} x} \方形字體= \ \ g (x) \末端{排列}$
^ 因為定義一個週期性作用的傅立葉變換的積分式不會聚，觀看週期性作用是必要的，并且它變換發行. 這樣 $\ mathcal {F} \ {e^ {i2 \ pi \ frac {n} {\ tau} x} \}$ 是a Dirac函數是a的例子發行.

參考

約瑟夫・傅立葉，翻譯由亞歷山大・ Freeman (出版1822年，翻譯了1878年，再發布2003)。 熱的分析理論. 多弗出版物。國際標準書號0-486-49531-0. 2003 1878英文譯文的未刪節的再版由傅立葉的工作的亞歷山大・ Freeman theoriee Analytique de la Chaleur 1822年最初出版。
Yitzhak Katznelson， 調和分析介紹第二訂正版。多弗Publications， Inc.，紐約1976年。國際標準書號0-486-63331-4
Felix Klein， 數學的發展在19世紀. Mathsci新聞Brookline， Mass 1979年。由M.翻譯。 Ackerman從 Vorlesungen über模子Entwicklung der Mathematik im 19 JahrhundertSpringer，柏林1928年。
Walter Rudin， 數學分析的原則第三版。 McGraw小山， Inc.，紐約1976年。國際標準書號0-07-054235-X
威廉E。 Boyce和理查C。 DiPrima， 基本的微分方程和邊值問題第八編輯。 john Wiley ・ & Sons， Inc.，新澤西2005年。國際標準書號0-471-43338-1

外部鏈接

Phasor Phactory 允許泛音高度的習慣控制為任意期限
java附屬程序展示傅立葉一個任意作用的級數展開
例子問題 -計算傅立葉系列的例子
傅立葉系列解釋 -一種簡單， non-mathematical方法
埃里克W。 Weisstein, 傅立葉系列 在 MathWorld.
傅立葉系列模塊由約翰・ H。 Mathews
約瑟夫・傅立葉 -一個站點在為這篇文章的歷史部分使用的傅立葉的生活

這篇文章合併材料從傅立葉系列的例子在 PlanetMath被准許在之下 GFDL.

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