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和奇函數

在 數學, 偶函數 并且 奇函數 是 作用 哪些滿足特殊性 對稱 聯繫，關於採取 疊加性反面. 他們是重要的在許多區域 數學分析特別是理論 電源串聯 并且 傅立葉系列. 他們被命名對於 同等 力量的 功率函數 哪些滿足每個條件： 作用 xⁿ 是一個偶函數，如果 n 是一個均勻整數，并且它是一個奇函數，如果 n 是一個奇怪的整數。

偶函數

讓 f(x)是a 真正-一個實變量的明度函數。 然後 f 是 均勻 如果以下等式為所有舉行 x 在領域 f:

.

幾何上，一個偶函數是 相稱 關於 y-軸，意味它 圖表 遺骸的未改變以後 反射 關於 y-軸。

偶函數的例子是 |x|, x², x⁴, COS(x)，和 cosh(x).

奇函數

再次，讓 f(x)是a 真正-一個實變量的明度函數。 然後 f 是 奇怪 如果以下等式為所有舉行 x 在領域 f:

.

幾何上，一個奇函數有旋轉的對稱關於 起源意味它 圖表 遺骸的未改變以後 自轉 180 程度 關於起源。

奇函數的例子是 x, x³, 罪孽(x), sinh(x)，和 erf (x).

有些事實

注： 作用的是奇怪的甚至不暗示differentiability，甚至連續性。 介入傅立葉系列，泰勒系列，衍生物的物產等等，當他們能被預測存在時，也許只使用。

基本的物產

• 是的唯一的作用 兩個 甚而和奇怪是 常值函數 哪些相同地零(即， f(x) = 0為所有 x).
• 總和 一個均勻和奇函數，除非其中一個作用相同地零，不是均勻和奇怪的。
• 二個偶函數的總和是均勻的，并且一個偶函數的所有恆定的倍數是均勻的。
• 二個奇函數的總和是奇怪的，并且一個奇函數的所有恆定的倍數是奇怪的。
• 產品 二個偶函數是一個偶函數。
• 二個奇函數產品是一個偶函數。
• 一個偶函數和一個奇函數的產品是一個奇函數。
• 商數 二個偶函數是一個偶函數。
• 二個奇函數商數是一個偶函數。
• 一個偶函數和一個奇函數的商數是一個奇函數。
• 衍生物 一個偶函數是奇怪的。
• 一個奇函數的衍生物是均勻的。
• 構成 二個偶函數是均勻的，并且二個奇函數的構成是奇怪的。
• 一個偶函數和一個奇函數的構成是均勻的。
• 所有作用的構成以一個偶函數甚而(但不反之亦然)是。
• 缺一不可 一個奇函數從- A +A零(A是有限的地方和作用有垂直的漸近線之間- A和A)。
• 一個偶函數的積分式從- A +A兩次是積分式從0到+A (A是有限的地方和作用有垂直的漸近線之間- A和A)。

系列

• Maclaurin系列 一個偶函數包括仅均勻力量。
• 一個奇函數的Maclaurin系列包括仅奇怪的力量。
• 傅立葉系列 a 週期性 偶函數只包括 餘弦 期限。
• 一個週期性奇函數的傅立葉系列只包括 正弦 期限。

代數結構

• 其中任一 線性組合 偶函數是均勻的，并且偶函數形成a 向量空間 在 reals. 同樣，奇函數的所有線性組合是奇怪的，并且奇函數也形成一個向量空間在reals。 實際上，向量空間 所有 real-valued作用是 直和 子空間 均勻和奇函數。 換句話說，每個作用可以獨特地被寫作為一個偶函數和一個奇函數的總和：

• 偶函數形成a 可交換的代數 在reals。 然而，奇函數 沒有 形成代數在reals。

泛音

在 信號處理, 諧波畸變 發生，當a 正弦波 信號乘以非線性 傳遞函數. 類型 泛音 生產取決於傳遞函數^[1]:

• 當傳遞函數是均勻的，發生的信號將包括輸入正弦波的仅均勻泛音;
  • 根本 也是奇怪的泛音，不會如此存在。
  • 一個簡單例子是a 全波整流器.
• 當它是奇怪的，發生的信號將包括輸入正弦波的仅奇怪的泛音;
  • 輸出信號半波 相稱.
  • 一個簡單例子是 剪報 在相稱 推挽式的放大器.
• 當它是不對稱的時，發生的信號也許包含均勻或奇怪的泛音;
  • 一個簡單例子在不對稱截去 類A放大器.

參考

1. ^ 要求醫生： 管對 固體泛音

參見

• 厄米的作用 為概念化在複雜形勢。
• 泰勒系列
• 傅立葉系列