它是出版等式以它的當前形式的Euler 1748根據他的證明無窮級數雙方是相等的。两個人沒有看慣例的幾何解釋：複雜形勢看法作為點在複平面出現了仅不少50年後(參見 Caspar Wessel). Euler我們今天認為它自然介紹學生給複雜形勢早於。在他的初等代數學課本， 代數的元素他幾乎立即介紹這些數字始終然後使用他們用一個自然方式。

應用在複雜形勢理論上

Euler的慣例以後命名 Leonhard Euler是a 數學慣例在複雜分析那顯示之間的一個深刻的關係三角函數并且複合體指數函數. (Euler的身分是Euler慣例的一個特殊情況。)

這個慣例可以被解釋如說作用 e^IX 蹤影單位圓在複雜形勢飛機 x 範圍通過實數。這裡， x 是角度連接起源的線用點在單位圓牌子以正面真正的軸，被測量逆順時針和弧度.

原始的證明根據泰勒系列擴展指數函數 e^z (的地方 z 是一個複雜形勢)和的罪孽 x 并且COS x 為實數 x (如下所示)。實際上，同一證明表示， Euler的慣例為所有是甚而合法的複雜數字 z.

點在複平面能由書面的一個複雜形勢代表解析的座標. Euler的慣例提供轉換手段在解析的座標之間和極座標. 極性形式減少數字期限從二到一个，在複雜形勢時的增殖或力量簡化數學，當使用。任何複雜形勢 z = x + iy 能被寫

$z = x + iy = |z| (\ COS \ phi + i \罪孽\ phi) = |z| e^ {i \ phi} \，$

$\酒吧{z} = x - iy = |z| (\ COS \ phi - i \罪孽\ phi) = |z| e^ {- i \ phi} \，$

那裡

$x = \ mathrm {關於} \ {z \} \，$ 真正的部分

$y = \ mathrm {Im} \ {z \} \，$ 虛構部分

$|z| = \ sqrt {x^2+y^2}$ 巨大 z

$\ phi = \，$ atan2(y, x)

$\ phi \，$ 是論據 z-即，角度在之間 x 軸和傳染媒介 z 測量左轉和弧度-被定義由決定 2π的加法。

現在，採取這個獲得的慣例，我們可以使用Euler的慣例定義對數一個複雜形勢。要做此，我們也使用對數的定義(作為取冪的反算子)那

$a = e^ {\ ln (a)} \，$

并且那

$e^a e^b = e^ {a + b} \，$

兩合法為任何複雜形勢 a 并且 b.

所以，你可能寫道：

$z = |z| e^ {i \ phi} = e^ {\ ln |z|} e^ {i \ phi} = e^ {\ ln |z| + i \ phi} \，$

為其中任一 $z \ ne 0$ . 採取雙方對數顯示那：

$\ ln z= \ ln |z| + i \ phi。\，$

并且這可以實際上使用作為定義為複雜對數. 一個複雜形勢的對數因而是a 多值的作用由於這樣的事實那 $\ phi \，$ 多值。

終於，另一個指數定律

$(e^a) ^k = e^ {k}， \，$

哪些能被看見為所有整數舉行 k與Euler的慣例一起，暗示數三角身分並且 de Moivre的慣例.

關係到三角學

Euler的慣例提供強有力的連接之間分析并且三角學和提供正弦和餘弦函數的解釋被衡量的總和指數函數：

$\ COS x = \ mathrm {關於} \ {e^ {IX} \} = {e^ {IX} + e^ {- IX} \ 2}$

$\罪孽x = \ mathrm {Im} \ {e^ {IX} \} = {e^ {IX} - e^ {- IX} \ 2i}$

上面二個等式可以通過增加或減去Euler的慣例獲得：

$e^ {IX} = \ COS x + i \罪孽x \;$

$e^ {- IX} = \ COS (- x) + i \罪孽(- x) = \ COS x - i \罪孽x \;$

并且解決為餘弦或正弦。

這些慣例可能甚而擔當三角函數的定義為複雜論據 x. 例如，讓 x = iy我們有：

$\ COS (iy) = {e^ {- y} + e^ {y} \ 2} = \ cosh (y)$

$\罪孽(iy) = {e^ {- y} - e^ {y} \ 2i} = i \ cdot \ sinh (y)。$

因為他們比他們的正弦組分，是容易操作複雜exponentials可能簡化三角學。一個技術簡單地是轉換sinusoids成等效表示根據exponentials。在操作以後，被簡化的結果是real-valued。例如:

$\開始{排列} \ COS (x) \ cdot \ COS (y) & = \ frac {(e^ {IX} +e^ {- IX})}{2} \ cdot \ frac {(e^ {iy} +e^ {- iy})}{2} \ \ & = \ frac {e^ {i (x+y)}+e^ {i (X - Y)}+e^ {i (- x+y)}+e^ {i (- X - Y)}} {4} \ \ & = \ frac {e^ {i (x+y)}+e^ {i (- X - Y)}} {4} + \ frac {e^ {i (X - Y)}+e^ {i (- x+y)}} {4} \ \ & = \ frac {\ COS (x+y)}{2} + \ frac {\ COS (X - Y)}{2}。 \末端{排列}$

另一個技術是代表sinusoids根據真正的部分一個更加複雜的表示，和進行操作在複雜表示。例如:

$\開始{排列} \ COS (x \ cdot n) + \ COS (x \ cdot (n-2)) & = \ mathrm {關於} \ {\方形字體e^ {IX n} +e^ {IX (n-2)}\方形字體\} \ \ & = \ mathrm {關於} \ {\方形字體e^ {IX (n-1)}\ cdot (e^ {IX} +e^ {- IX}) \方形字體\} \ \ & = \ mathrm {關於} \ {\方形字體e^ {IX (n-1)}\ cdot 2 \ COS (x) \方形字體\} \ \ & = \ COS (x \ cdot (n-1))\ cdot 2 \ COS (x)。 \末端{排列}$

這個慣例為sinusoid的遞歸世代使用在間隔時間 x 弧度。

其他應用

在微分方程作用 e^IX 是常用的簡化派生，即使最後的答復是介入正弦和餘弦的一個實函數。 Euler的身分是Euler的慣例的容易的後果。

在電機工程并且其他領域，週期性地隨著時間的過去變化的信號經常被描述作為正弦和餘弦函數的組合(參見傅立葉分析)和這些更加方便地被表達作為指數函數的真正的部分與虛構方次數，使用Euler的慣例。並且， phasor分析電路能包括Euler的慣例代表電容器或感應器的阻抗。

複雜取冪的定義

主要文章：取冪并且指數函數

一般來說，上升 e 對a 正面整數方次數有一個簡單的解釋根據重覆的增殖 e. 上升 e 到零或陰性整數方次數可以被瞭解作為重覆的分裂。 A 有理數方次數可以被定義基礎 e和無理數方次數可以通過發現任意地是緊挨不合理數字方次數的合理數字方次數定義，在a 極限過程. 然而，定義和瞭解a 複雜形勢方次數 e概念化的一個不同的類型為取冪的概念需要。

實際上，幾個定義是可能的。所有可以被證明是明確定義和等效的，雖然證明在這篇文章沒有包括。

泰勒系列定義

它為其中任一真正是知名的， x以下系列是相等的 e^x:

$e^x = 1 + \ frac {x} {1!} + \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^3} {3!} + \ cdots$

(換句話說，這是泰勒系列為真正的指數函數和它有一無限收斂半徑). 這邀請以下定義 e^z 為複合體 z:

$e^z = 1 + \ frac {z} {1!} + \ frac {z^2} {2!} + \ frac {z^3} {3!} + \ cdots$

這可以被證明是明確定義的; 特別是，系列聚合為其中任一 z.

分析繼續定義

簡單對狀態，等效定義是那 e^z為複合體 z是分析繼續作用 e^x 為真正 x. 這可以被證明是明確定義的; 特別是，它在複平面上產生一個唯一被重視的作用。

極限定義

它為其中任一真正是知名的， x以下極限是相等的 e^x:

$e^x = \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} \被留下的(1+ \ frac {x} {N} \正確) ^N$

這刺激以下定義 e^z 為複合體 z:

$e^z = \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} \被留下的(1+ \ frac {z} {N} \正確) ^N$

微分方程定義

為真正 x作用 f (x) =e^x 是知名的是滿足微分方程的獨特的實函數：

$f'(x) =f (x)， \; \; \; f (0) =1$

為所有 x. 這刺激定義 f (z) =e^z 為複合體 z 作為滿足微分方程的作用：

$f'(z) =f (z)， \; \; \; f (0) =1$

為所有複雜 z的地方衍生物 f(z)在a感覺被定義複雜衍生物. 這可以被證明產生一個獨特的作用哪些是明確定義的到處在複平面上。

乘物產定義

我們會期待作用 e^z 有以下物產：

$e^ {z_1} e^ {z_2} = e^ {z_1+z_2}$
$e 0 = 1$
$e 1 = e$
$e z$ 是連續

它結果這 獨特地 在複平面指定作用。

證明

這個慣例各種各樣的證明是可能的。初校樣在開始之下以「泰勒系列定義」 e^z，當另一二用途「微分方程定義」時 e^z (參見上述)。

使用泰勒系列

這Euler的慣例證明使用泰勒系列擴展並且關於力量的基本事實 i:

$\開始{排列} i^0 & {} = 1， \方形字體& i^1 & {} = i， \方形字體& i^2 & {} = -1， \方形字體& i^3 & {} = - i， \ \ i^4 &= {} 1， \方形字體& i^5 &= {} i， \方形字體& i^6 & {} = -1， \方形字體& i^7 & {} = - i， \ \ \末端{排列}$

等等。作用 e^xCOS (x)和罪孽(x) (假設 x 是真正)能使用他們的泰勒擴展被表達在零附近：

$\開始{排列} e^x & {} = 1 + x + \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^3} {3!} + \ cdots \ \ \ COS x & {} = 1 - \ frac {x^2} {2!} + \ frac {x^4} {4!} - \ frac {x^6} {6!} + \ cdots \ \ \罪孽x & {} = x - \ frac {x^3} {3!} + \ frac {x^5} {5!} - \ frac {x^7} {7!} + \ cdots \末端{排列}$

為複合體 z 我們定義每一個個這些個作用由上述系列，替換 x 與 z. 這是可能的，因為收斂半徑每個系列是無限的。我們然後發現那

$\開始{排列} e^ {iz} & {} = 1 + iz + \ frac {(iz) ^2} {2!} + \ frac {(iz) ^3} {3!} + \ frac {(iz) ^4} {4!} + \ frac {(iz) ^5} {5!} + \ frac {(iz) ^6} {6!} + \ frac {(iz) ^7} {7!} + \ frac {(iz) ^8} {8!} + \ cdots \ \ & {} = 1 + iz - \ frac {z^2} {2!} - \ frac {iz^3} {3!} + \ frac {z^4} {4!} + \ frac {iz^5} {5!} - \ frac {z^6} {6!} - \ frac {iz^7} {7!} + \ frac {z^8} {8!} + \ cdots \ \ & {} = \離開(1 - \ frac {z^2} {2!} + \ frac {z^4} {4!} - \ frac {z^6} {6!} + \ frac {z^8} {8!} - \ cdots \正確) + i \離開(z - \ frac {z^3} {3!} + \ frac {z^5} {5!} - \ frac {z^7} {7!} + \ cdots \正確) \ \ & {} = \ COS (z) + i \罪孽(z) \末端{排列}$

因為每個系列是，期限的重新整理被辯解绝對會聚. 採取 z = x 要是一個實數給原始的身分， Euler發現了它。

使用微積分

定義(可能複合體)作用 f(x)，實變量 x

$f (x) = \ frac {\ COS x + i \罪孽x} {e^ {IX}}。 \$

被零除從等式被阻止

$e^ {IX} \ cdot e^ {- IX} = e^ {IX \， + \， (- IX)} = e^0 = 1 \$

暗示那 $e^ {IX} \$ 從未零。

衍生物 f(x)，根據商數規則是：

$\開始{排列} \ frac {d} {dx} f (x) & {} = \ frac {e^ {IX} \ cdot \ frac {d} {dx} (\ COS x+i \罪孽x) - (\ COS x+i \罪孽x) \ cdot \ frac {d} {dx} (e^ {IX})}{(e^ {IX}) ^2} \ \ & {} = \ frac {e^ {IX} \ cdot (- \罪孽x + i \ COS x) - (\ COS x+i \罪孽x) \ cdot (i e^ {IX})}{(e^ {IX}) ^2} \ \ & {} = \ frac {- \罪孽x \ cdot e^ {IX} - i^2 \罪孽x \ cdot e^ {IX}} {(e^ {IX}) ^2} \方形字體\方形字體\方形字體(i^2=-1) \ \ & {} = \ frac {- \罪孽x \ cdot e^ {IX} + \罪孽x \ cdot e^ {IX}} {(e^ {IX}) ^2} \ \ & {} = 0。 \末端{排列}$

所以， f(x)必須是a 常值函數在 x. 由於 f(0)被知道，常數那 f(x)均等為所有真正 x 也被知道。因此，

$\ frac {\ COS x + i \罪孽x} {e^ {IX}} = f (x) = f (0) = \ frac {\ COS 0 + i \罪孽0} {e^0} = 1。$

重新整理，它跟隨那

$e^ {IX} = \ COS x + i \罪孽x \。$

Q.E.D.

使用常微分方程

定義作用 g(x)

$g (x) \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ e^ {IX}。\$

考慮那 i 是恆定，第一和第二種衍生物 g(x)是

$g'(x) = i e^ {IX} \$

$g$

因為 i ² = −1由定義。從此以下2^nd-命令線性常微分方程被修建：

$g$

或

$g$

是2^nd-命令微分方程，那裡是二線性獨立滿足它的解答：

$g_1 (x) = \ COS (x) \$

$g_2 (x) = \罪孽(x)。 \$

兩COS (x)和罪孽(x)是2的實函數^nd 衍生物與那個作用陰性是相同的。其中任一線性組合對a的解答同類微分方程也是解答。然後，總之對微分方程的解答是

$g (x) \，$	$= A g_1 (x) + B g_2 (x) \$
	$= A \ COS (x) + B \罪孽(x) \$

為任何常數 A 并且 B. 但不是這二個常數的所有的價值滿足已知的最初的情況為 g(x):

$g (0) = e^ {i0} = 1 \$

$g'(0) = i e^ {i0} = i \$ .

然而這些同樣最初的情況(被申請於一般解答)是

$g (0) = A \ COS (0) + B \罪孽(0) = A \$

$g'(0) = - A \罪孽(0) + B \ COS (0) = B \$

造成

$g (0) = A = 1 \$

$g'(0) = B = i \$

并且，終於，

$g (x) \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ e^ {IX} = \ COS (x) + i \罪孽(x)。 \$

Q.E.D.

參見

參考

^ Moskowitz，馬丁A。 (2002). 一條路線在複雜分析在一可變物. 世界科學出版的Co.， p。 7. 國際標準書號981-02-4780-X.
^ Feynman，理查P。 (1977). Feynman演講在物理，捲。 I. 阿狄森-維斯利， p。 22-10. 國際標準書號0-201-02010-6.
^ 約翰Stillwell (2002)。 數學和它的歷史. Springer。

外部鏈接

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