分離正弦變換

在數學 分離正弦變換 (DST)是a 與傅立葉相關變換相似於分離傅立葉變換 (DFT)，但純粹使用a 真正矩陣. 它與長度DFT的虛構部分大致兩次是等效的，經營在真正的數據與奇怪對稱 (因為一個真正和奇函數的傅立葉變換是虛構和奇怪的)，在有些變形輸入和輸出數據由一半轉移樣品的地方。

相關變換是分離餘弦變換 (DCT)，與DFT是等效的真正和均勻作用。為概論關於怎樣看DCT文章邊界條件關係各種各樣的DCT和DST類型。

內容

1 應用
2 定義
3 參考

應用

DSTs在解決廣泛被使用偏微分方程由鬼方法， DST不同的變形對應於輕微地另外奇怪或甚而邊界條件在列陣的二個結尾。

定義

正式，分離正弦變換是a 線性可轉位作用 F : R^N -> R^N (的地方 R 表示套實數)，或者等效地 N × N 方矩陣. 有DST的幾個變形以輕微地修改過的定義。 N 實數 x₀, ...., x_N-1 被變換成 N 實數 x₀, ..., x_N-1 根據其中一個慣例：

DST-I

$X_k = \ sum_ {n=0} ^ {N-1} x_n \罪孽\離開[\ frac {\ pi} {N+1} (n+1) (k+1) \正確] \方形字體\方形字體k = 0， \加點， N-1$

DST-I矩陣是正交 (由換算系數決定)。

DST-I N=3實數 abc 確切地是等值對DFT八個實數0abc0(-c)(-b)(-a) (奇怪的對稱)，這裡除二。 (相反， DST類型II-IV在等效DFT介入一個一半樣品轉移。)

因此， DST-I對應於邊界條件： x_n 是奇怪的 n=-1和奇怪 n=N; 相似地為 x_k.

DST-II

$X_k = \ sum_ {n=0} ^ {N-1} x_n \罪孽\被留下的[\ frac {\ pi} {N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} \正確) (k+1) \正確] \方形字體\方形字體k = 0， \加點， N-1$

有些作者更加進一步倍增 x_N-1 期限由1/√2 (為在DST-III上的對應的變化下面參見)。這做DST-II矩陣正交 (由換算系數決定)，但打破直接書信與一半被轉移的輸入真正多的DFT。

DST-II暗示邊界條件： x_n 是奇怪的 n=-1/2和奇怪 n=N-1/2; x_k 是奇怪的 k=-1和平衡 k=N-1.

DST-III

$X_k = \ frac {(- 1) ^k} {2} x_ {N-1} + \ sum_ {n=0} ^ {N-2} x_n \罪孽\被留下的[\ frac {\ pi} {N} (n+1) \被留下(k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確] \方形字體\方形字體k = 0， \加點， N-1$

有些作者更加進一步倍增 x_N-1 期限由√2 (為在DST-II上的對應的變化參見上述)。這做DST-III矩陣正交 (由換算系數決定)，但打破直接書信與一半被轉移的產品真正多的DFT。

DST-III暗示邊界條件： x_n 是奇怪的 n=-1和平衡 n=N-1; x_k 是奇怪的 k=-1/2和奇怪 k=N-1/2.

DST-IV

$X_k = \ sum_ {n=0} ^ {N-1} x_n \罪孽\離開[\ frac {\ pi} {N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} \正確\被留下的) (k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確] \方形字體\方形字體k = 0， \加點， N-1$

DST-IV矩陣是正交 (由換算系數決定)。

DST-IV暗示邊界條件： x_n 是奇怪的 n=-1/2和平衡 n=N-1/2; 相似地為 x_k.

DST V-VIII

DST類型I-IV與均勻秩序真正多的DFTs是等效的。原則上，實際上有分離正弦的四個另外的類型變換(Martucci 1994)，對應於邏輯上奇怪的秩序真正多的DFTs，有因素 N+1/2在正弦論據的分母。然而，似乎實踐上很少使用這些變形。

反面變換

DST-I反面是2乘的DST-I (N+1). DST-IV反面是2乘的DST-IVN. DST-II反面是2乘的DST-IIIN (和反之亦然)。

像為 DFT正常化因素在這些前面變換定義僅僅是大會并且不同在治療之間。例如，有些作者倍增變換 $\ sqrt {2/N}$ 因此反面不要求任何另外乘析因。

計算

雖然這些慣例的直接應用將要求O (N²)操作，計算同一件事與仅O (是可能的N 日誌 N)複雜通過分解計算相似於快速的傅立葉變換 (FFT)。 (你可能通過與O結合的FFTs也計算DSTs (N)前和後加工步。)

DST-II或DST-IV可以從DCT-II或DCT-IV被計算(參見分離餘弦變換)，分別，通過扭轉輸入的定貨和翻轉其他產品的標誌和反之亦然為DST-III從DCT-III。這樣它跟隨DST的類型II-IV確切地要求算術運算的同一數量(加法和增殖)作為對應的DCT類型。

參考

S. A. Martucci，「相稱捲積和分離正弦和餘弦變換」， IEEE Trans。信號。處理 SP-42 1038-1051 (1994)。
Matteo Frigo和史蒂文G。約翰遜： FFTW, http://www.fftw.org/. 一自由(GPL)可能計算快速的DSTs的C程序庫(類型I-IV)在一個或更多維度，任意大小。並且M。 Frigo和S。 G. 約翰遜，「FFTW3的設計和實施," IEEE的行動 93 (2)， 216-231 (2005)。

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
Creative Commons Licence

Custom Search