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分離餘弦變換

A 分離餘弦變換(DCT) 表達有限地許多數據點序列根據總和餘弦擺動在不同的作用頻率. DCTs是重要對許多應用在科學和工程學，從有損壓縮音頻并且圖像 (哪裡小可以放棄高頻率組分)，鬼方法為數值解偏微分方程. 對餘弦的用途而不是正弦作用是重要的在這些應用：為壓縮，它結果餘弦函數是更多高效率的(如下所述，較少是需要的接近典型信號)，而為微分方程餘弦表達一個特殊選擇邊界條件.

特別是， DCT是a 與傅立葉相關變換相似於分離傅立葉變換 (DFT)，但只使用實數. DCTs與長度DFTs大致兩次是等效的，經營在真正的數據與均勻對稱(因為一個真正和偶函數的傅立葉變換是真正和均勻的)，在有些變形輸入和輸出數據由一半轉移樣品的地方。有八個標準DCT變形，其中四是共同的。

分離餘弦最共同的變形變換是類型II DCT，簡單地經常稱「DCT」; 它的反面，類型III DCT，簡單地經常相應地稱「相反DCT」或「IDCT」。相關的二變換是分離正弦變換 (DST)，與DFT是等效的真正和奇怪作用，和修改過的分離餘弦變換 (MDCT)，根據DCT 重疊數據。

應用

DCT和特別是DCT-II，特別是為lossy數據壓縮是常用在信號和圖像處理的，因為它有強的「能量擊實」物產(Rao和犬吠1990) ：大多數信號信息在DCT的幾個低頻率組分，接近傾向於被集中 Karhunen-Loève變換 (是優選的在decorrelation感覺)為信號根據某些極限 Markov過程. 如下所述，這源於邊界條件含蓄在餘弦函數。

相關變換，修改分離餘弦變換或者MDCT (根據DCT-IV)，得用於 AAC, Vorbis, WMA和 MP3 音頻壓縮法。

DCTs在解決廣泛也被使用偏微分方程由鬼方法， DCT不同的變形對應於輕微地不同的均勻或奇怪的邊界條件在列陣的二個結尾。

DCTs緊密地也相關 Chebyshev多項式和快速的DCT算法(下面)得用於 Chebyshev略計任意作用由Chebyshev多項式系列，例如 Clenshaw-Curtis求積分法.

JPEG

主要文章： JPEG ：分離餘弦變換

DCT得用於 JPEG 圖像壓縮， MJPEG, MPEG和 DV 視頻壓縮。那裡，二維DCT-II $N \時期N$ 塊被計算，并且結果是使量子化并且熵編碼了. 在這種情況下， $N$ 是典型地8，并且DCT-II慣例被申請於塊的每個列和專欄。結果是× 8變換系數列陣的8 $(0,0)$ 元素(上面左)是DC (零頻率)組分和詞條隨著垂直和水平的給定值的增加代表更高的垂直和水平的空間頻率。

不拘形式的概要

像其中任一與傅立葉相關變換，分離餘弦變換(DCTs)表達作用或信號根據總和 sinusoids 以不同頻率并且高度. 像分離傅立葉變換 (DFT)， DCT動手術在一個作用在離散信道點的一個有限數字。 DCT和DFT之間的明顯的分別是仅前用途餘弦函數，而後者用途餘弦和正弦(以的形式複雜exponentials). 然而，這個可看見的區別僅僅是更加深刻的分別的後果： DCT暗示不同邊界條件比相關的DFT或其他變換。

動手術在一個作用在有限的與傅立葉相關變換領域例如DFT或DCT或者a 傅立葉系列能被重視作為含蓄定義引伸那個作用在領域之外。即，一旦您寫一個作用 $f (x)$ 作為sinusoids的一個總和，您能評估那個總和在其中任一 $x$ 為 $x$ 那裡原物 $f (x)$ 未指定。 DFT，像傅立葉系列，暗示a 週期性原始的作用的引伸。 DCT，像a 餘弦變換暗示均勻原始的作用的引伸。

然而，因為DCTs動手術得在有限, 分離序列，為連續的餘弦不變換的二個問題出現。首先，你必須指定作用是否是均勻或奇怪的在兩個領域的左右界限(即。分鐘n 并且最大n 界限在各自定義如下)。其次，你必須指定 什麼點 作用是均勻或奇怪的。特別是，考慮一個序列 abcd 四個等隔數據點，和說我們指定均勻左界限。有二種易察覺的可能性：任一數據是關於樣品 a，在均勻引伸是情況下 dcbabcd或者數據是關於點半路在之間 a 并且早先點，在均勻引伸是情況下 dcbaabcd (a 被重覆)。

這些選擇導致DCTs的所有標準變異並且分離正弦變換 (DSTs)。每個界限是均勻或奇怪的(每個界限2個選擇)并且可以是相稱的關於半路數據點或點在二個數據點(每個界限2個選擇之間)，為共計 $2 \ times2 \ times2 \ times2=16$ 可能性。一半這些可能性，那些的地方左界限是均勻的，對應於DCT的8個類型; 另外一半是DST的8個類型。

這些不同的邊界條件強烈影響變換的應用，并且導致獨特地有用的物產為各種各樣的DCT類型。最直接地，當曾經與傅立葉相關變換解決偏微分方程由鬼方法邊界條件直接地指定，解決的問題的部分。或者，為 MDCT (基於類型IV DCT)，邊界條件在時間領域混淆現象取消MDCT的臨界性質親密地介入。在更加微妙的時尚，邊界條件負責對使DCTs有用為圖像和音頻壓縮法的「能量擊實」物產，因為界限影響其中任一的匯合的率傅立葉像系列。

特別是，它是知名的其中任一間斷性在作用減少匯合的率傅立葉系列，因此更多sinusoids是需要的代表作用特定準確性。同一項原則治理DFT的有用性，并且其他為信號壓縮變換：磨平者作用是，在它的DFT或DCT要求少數期限準確地代表它，并且越多它可以是壓縮的。 (這裡，我們認為DFT或DCT作為略計為傅立葉系列或餘弦系列作用，分別，為了談論它的「平滑性。然而」)， DFT手段的含蓄週期性間斷性通常發生在界限：信號的所有任意段是不太可能有同一價值在兩個左右界限。 (A相似的問題為DST出現，奇怪的左邊界條件暗示間斷性為所有作用不偶然是零在那個界限。)相反， DCT 兩個界限是均勻的總產生一連續延拓在界限(雖然傾斜一般是不連續的)。這就是為什麼類型DCTs和特別是DCTs I， II， v和VI (有甚而二個界限)的類型一般為信號壓縮更好執行比DFTs和DSTs。實踐上，類型II DCT為這樣應用通常更喜歡，一部分為計算便利的目的。

正式定義

正式，分離餘弦變換是a 線性可轉位作用 F : R^N -> R^N (的地方 R 表示套實數)，或者等效地可轉位 N × N 方矩陣. 有DCT的幾個變形以輕微地修改過的定義。 N 實數 x₀, ..., x_N-1 被變換成 N 實數 x₀, ..., x_N-1 根據其中一個慣例：

DCT-I

$X_k = \ frac {1} {2} (x_0 + (- 1) ^k x_ {N-1}) + \ sum_ {n=1} ^ {N-2} x_n \ COS \離開[\ frac {\ pi} {N-1} n k \正確] \方形字體\方形字體k = 0， \加點， N-1。$

有些作者更加進一步倍增 x₀ 并且 x_N-1 期限由√2，和相應地倍增 x₀ 并且 x_N-1 期限由1/√2。這做DCT-I矩陣正交，如果你更加進一步乘以一個整體換算系數 $\ sqrt {2 (N-1)}$ ，但打破直接書信與真正均勻DFT。

DCT-I確切地是等值(由一個整體換算系數2決定)，對DFT $2 N - 2$ 實數以均勻對稱。例如， DCT-I N=5實數 abcde 確切地是等值對八個實數DFT abcdedcb (甚而對稱)，除二。 (相反， DCT類型II-IV在等效DFT介入一個一半樣品轉移。)

然而，筆記DCT-I沒有被定義為 N 少於2。 (其他DCT類型為其中任一正面被定義 N.)

因此， DCT-I對應於邊界條件： x_n 是均勻的 n=0和平衡 n=N-1; 相似地為 x_k.

DCT-II

$X_k = \ sum_ {n=0} ^ {N-1} x_n \ COS \被留下的[\ frac {\ pi} {N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} \正確) k \正確] \方形字體\方形字體k = 0， \加點， N-1。$

DCT-II大概是通常使用的形式和經常簡單地指「DCT」。

這變換確切地是等值(由一個整體換算系數2決定)對DFT $4 N$ 均勻對稱真正的輸入，均勻被標註的元素是零。即它是DFT的一半 $4 N$ 輸入 $y n$ 的地方 $y 2 n = 0$ , $y 2 n + 1 = x n$ 為 $0 \ leq n < N$ 和 $y 4 N - n = y n$ 為 $0 < n < 2 N$ .

有些作者更加進一步倍增 x₀ 期限由1/√2 (為在DCT-III上的對應的變化下面參見)。這做DCT-II矩陣正交，如果你更加進一步乘以一個整體換算系數 $\ sqrt {2/N}$ ，但打破直接書信與一半被轉移的輸入真正均勻DFT。

DCT-II暗示邊界條件： x_n 是均勻的 n=-1/2和平衡 n=N-1/2; x_k 是均勻的 k=0和奇怪 k=N.

DCT-III

$X_k = \ frac {1} {2} x_0 + \ sum_ {n=1} ^ {N-1} x_n \ COS \被留下的[\ frac {\ pi} {N} n \離開(k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確] \方形字體\方形字體k = 0， \加點， N-1。$

由於它是DCT-II反面(由換算系數決定，下面看見)，這個形式有時簡單地指「相反DCT」 (「IDCT」)。

有些作者更加進一步倍增 x₀ 期限由1/√2 (為在DCT-II上的對應的變化參見上述)，因此DCT-II和DCT-III是移置互相。這做DCT-III矩陣正交，如果你更加進一步乘以一個整體換算系數 $\ sqrt {2/N}$ ，但打破直接書信與一半被轉移的產品真正均勻DFT。

DCT-III暗示邊界條件： x_n 是均勻的 n=0和奇怪 n=N; x_k 是均勻的 k=-1/2和平衡 k=N-1/2.

DCT-IV

$X_k = \ sum_ {n=0} ^ {N-1} x_n \ COS \離開[\ frac {\ pi} {N} \被留下(n+ \ frac {1} {2} \正確\被留下的) (k+ \ frac {1} {2} \正確) \正確] \方形字體\方形字體k = 0， \加點， N-1。$

DCT-IV矩陣成為正交如果你更加進一步乘以一個整體換算系數 $\ sqrt {2/N}$ .

DCT-IV的變形，數據從不同變換重疊叫修改過的分離餘弦變換 (MDCT)。

DCT-IV暗示邊界條件： x_n 是均勻的 n=-1/2和奇怪 n=N-1/2; 相似地為 x_k.

DCT V-VIII

DCT類型I-IV與均勻秩序真正均勻DFTs是等效的(不管是否 N 是均勻或奇怪的)，因為對應的DFT是長度2 (N−1) (為DCT-I)或4N (為DCT-II/III)或8N (為DCT-VIII)。原則上，實際上有分離餘弦的四個另外的類型變換(Martucci 1994)，根本上對應邏輯上奇怪的秩序真正均勻DFTs，有因素 $N \ pm 1/2$ 在餘弦論據的分母。

等效地，類型I-IV DCTs暗示是均勻或奇怪的在一個數據點附近為兩個界限或半路在二個數據點之間為兩個界限的界限。類型V-VIII DCTs暗示平衡或奇怪在一個數據點附近為一個界限和半路在二個數據點之間為另一個界限的界限。

然而，似乎實踐上很少使用這些變形。一個原因，或許，是FFT算法為奇怪長度DFTs比FFT算法一般複雜為均勻長度DFTs (即。最簡單的根值2算法仅是為均勻長度)，并且這增加的複雜如下所述轉入對DCTs。

(瑣細的真正均勻列陣，長度一DFT (奇怪的長度)的一個唯一數字 a對應於長度DCT-V N=1.)

反面變換

DCT-I反面是2乘的DCT-I (N-1). DCT-IV反面是2乘的DCT-IVN. DCT-II反面是2乘的DCT-IIIN (和反之亦然)。

像為 DFT正常化因素在這些前面變換定義僅僅是大會并且不同在治療之間。例如，有些作者倍增變換 $\ sqrt {2/N}$ 因此反面不要求任何另外乘析因。與√2適當的因素結合(參見上述)，這可以用於做變換矩陣正交.

多維DCTs

各種各樣的DCT類型的多維變形從一維定義跟隨直接地：他們簡單地是一個可分開的產品(等效地，構成) DCTs沿每個維度。

例如，圖像或矩陣的二維DCT-II簡單地是一維DCT-II，從上述，執行沿列然後沿專欄(或反之亦然)。即慣例給第2 DCT-II (省去正常化和其他換算系數，如上所述) ：

$X_ {k_1， k_2} = \ sum_ {n_1=0} ^ {N_1-1} \ sum_ {n_2=0} ^ {N_2-1} x_ {n_1， n_2} \ COS \被留下的[\ frac {\ pi} {N_1} \被留下(n_1+ \ frac {1} {2} \正確) k_1 \正確] \ COS \被留下的[\ frac {\ pi} {N_2} \被留下(n_2+ \ frac {1} {2} \正確) k_2 \正確]。$

技術上，計算二(或多)尺寸DCT由一維DCTs序列沿每個維度通認作為a 列專欄 算法(在二維案件以後)。和與多維FFT算法然而，那裡存在要計算同一件事的其他方法，當執行計算按不同的順序時(即。插頁或結合算法為不同的維度)。「

圖像在右邊顯示水平和垂直的頻率的組合為8 x 8 ( $N 1 = N 2 = 8$ )二維DCT。每步從左到右和由上至下是在頻率的增量根據1/2週期。例如，移動的權利一從上面左正方形產生在水平頻率的一半週期增量(從白色去黑色)。另一移動在右邊產生二個一半週期(白色到黑色到白色)。移動下來垂直水平地產生二個一半週期和一半週期。源數據(8x8)被變換對a 線性組合這64個頻率正方形。

計算

雖然這些慣例的直接應用將要求O (N²)操作，計算同一件事與仅O (是可能的N 日誌 N)複雜通過相似分解計算於快速的傅立葉變換 (FFT)。你可能通過與O結合的FFTs也計算DCTs (N)前和後加工步。

最高效率的算法，原則上，通常是直接地為DCT被專門研究的那些，與使用普通的FFT相對加上O (N)額外操作(為例外下面參見)。然而，「甚而專門了研究」 DCT算法(達到最低已知的算術計數的包括所有那些，至少為力量二大小)與FFT典型地緊密地相關，算法自從DCTs根本上是真正均勻數據DFTs，你可能通過採取FFT和消滅重複操作設計一種快速的DCT算法由於這個對稱。這可能自動地甚而做(Frigo &約翰遜2005)。根據的算法 Cooley-Tukey FFT算法是最共同的，但其他FFT算法也是可適用的。例如， Winograd FFT算法導致最小增殖算法為DFT，雖然一般在更多加法的費用和一種相似的算法由Feig提議& Winograd (1992)為DCT。由於算法為DFTs， DCTs和相似變換是那麼緊密地相關的全部，在算法的所有改善為一个變換將理論上導致直接獲取為其他變換(Duhamel & Vetterli 1990)。

當使用非限定的FFT時的DCT算法經常有一些理論天花板與最佳的專業DCT算法比較，前也有分明好處：高度優化FFT節目廣泛是可利用的。因此，實踐上，獲得高性能為一般長度經常是更加容易的 N 以基於FFT的算法。 (表現在現代硬件沒有由算術計數簡單地典型地控制，并且優化要求堅固工程計劃。)專業DCT算法，另一方面，看見普遍用途為變換小，固定的大小例如 $8 \時期8$ DCT-II用於 JPEG 壓縮或者小DCTs (或MDCTs)在音頻壓縮法典型地使用了。 (減少的編碼規格也許也是原因為埋置設備應用使用專業DCT。)

實際上，甚而DCT算法使用普通的FFT有時是等值到修剪重複操作從真正相稱數據更大的FFT，并且他們可以甚而是優選的從算術計數透視。例如，類型II DCT與大小DFT是等效的 $4 N$ 以均勻標註的真正均勻對稱元素是零。其中一個最共同的方法為計算此通過FFT (即。在FFTPACK的使用的方法和 FFTW)歸結於Makhoul (1980)，并且這個方法後見之明能看作為根值4消滅在時間Cooley-Tukey算法的一步被運用於對應於DCT II.的「邏輯」真正均勻DFT。 (根值4步減少大小 $4 N$ DFT到四大小 $N$ 真正的數據DFTs，二，其中是零和二，其中與互相是相等的由均勻對稱，因此給唯一大小 $N$ 真正的數據FFT加上 $O (N)$ 蝴蝶.) 由於均勻被標註的元素是零，這根值4步確切地是相同像分裂根值步; 如果隨後大小 $N$ 真正數據FFT由真正數據也執行分裂根值算法 (和在等Sorensen， 1987)，發生的算法實際上然後匹配最低出版算術計數為力量二DCT-II ( $2 N 日誌 2 N - N + 2$ 真正算術操作^[1]). 如此，沒什麼內在地壞關於計算DCT通過FFT從透視它有時僅僅是問題的算術對應的FFT算法是否是優選的。 (作為當務之急，作用叫天花板在祈求一個分開的FFT慣例也許是重大的為小 $N$ ，但是這是實施而不是一個算法問題，因為它可以通過展開或inlining解決。)

筆記

^ 精確計數真正的算術運算和特別是計數真正的增殖，取決於有些變換定義的結垢。 $2 N 日誌 2 N - N + 2$ 計數是為這裡顯示的DCT-II定義; 如果變換由總體，稱二增殖可以被保存 $\ sqrt2$ 因素。另外的增殖可以被保存，如果你允許變換的產品單獨地被重新調節，像由新井等顯示。 (1988)為用於JPEG的大小8事例。

參考

N. Ahmed， T。 Natarajan和K。 R. Rao，「分離餘弦變換」， IEEE Trans。計算機 90-93， 1974年1月。
Y. 新井， T。 Agui和M。 Nakajima，「一份快速的DCT-SQ計劃為圖像」， Trans. IEICE 71 (11) 1095-1097 (1988)。
P. Duhamel和M。 Vetterli，「快速的傅立葉變換：講解回顧和科技目前進步水平，「 信號處理 19 259-299 (1990)。
E. Feig， S。 Winograd。「快速的算法為分離餘弦變換」， IEEE交易在信號處理 40 (9)， 2174-2193 (1992)。
Matteo Frigo和史蒂文G。約翰遜： FFTW, http://www.fftw.org/. 一自由(GPL)可能計算快速的DCTs的C程序庫(類型I-IV)在一個或更多維度，任意大小。並且M。 Frigo和S。 G. 約翰遜，「FFTW3的設計和實施," IEEE的行動 93 (2)， 216-231 (2005)。
約翰Makhoul，「快速的餘弦在一個和二個維度變換」， IEEE Trans。 Acoust。講話信號。 Proc。 28 (1)， 27-34 (1980)。
S. A. Martucci，「相稱捲積和分離正弦和餘弦變換」， IEEE Trans。信號。處理 SP-42 1038-1051 (1994)。
A. v. Oppenheim， R。 W. Schafer和J。 R. 大型裝配架， 離散時間信號處理再版(學徒霍爾，新澤西1999)。
K. R. Rao 并且P。犬吠， 分離餘弦變換：算法，好處，應用 (學術出版社，波士頓1990)。
H. v. Sorensen， D。 L. 瓊斯， M。 T. Heideman和C。 S. Burrus，「Real-valued快速的傅立葉變換算法」， IEEE Trans。 Acoust。講話信號。處理 ASSP-35 849-863 (1987)。

參見

JPEG -包含一更加容易瞭解DCT變革的例子

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