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Chebyshev多項式

在數學 Chebyshev多項式以後命名 Pafnuty Chebyshev^[1]是a 序列正交多項式與哪些有關 de Moivre的慣例并且容易地被定義遞歸地像斐波那奇或盧卡斯數字. 你通常區別得之間 第一種類的Chebyshev多項式 哪些表示 T_n 并且 第二種類的Chebyshev多項式 哪些表示 U_n. 由於選擇，信件T使用意譯名字 Chebyshev Tchebyshef 或 Tschebyscheff.

Chebyshev多項式 T_n 或 U_n 是程度多項式 n 并且序列親切的二者之一的Chebyshev多項式組成a 多項序列.

Chebyshev多項式是重要的略計理論因為第一種類的Chebyshev多項式的根，也叫 Chebyshev結使用作為結多項插值法. 發生的插值法多項式使問題減到最小 Runge的現象并且提供是緊挨最佳的略計多項式對a的略計連續函數在之下最大準則. 這略計導致直接地方法 Clenshaw-Curtis求積分法.

在研究中微分方程他們升起作為解答對 Chebyshev微分方程

$(1-x^2) \， y$

并且

$(1-x^2) \， y$

為第一和第二種類的多項式，分別。這些等式是特殊情況 Sturm-Liouville微分方程.

定義

第一種類的Chebyshev多項式 是由定義的遞歸關係

$T_0 (x) = 1 \， \!$

$T_1 (x) = x \， \!$

$T_ {n+1} (x) = 2xT_n (x) - T_ {n-1} (x)。 \， \!$

a的一個例子母函數為T_n 是

$\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} T_n (x) t^n = \ frac {1-tx} {1-2tx+t^2}。 \， \!$

第二種類的Chebyshev多項式 是由定義的遞歸關係

$U_0 (x) = 1 \， \!$

$U_1 (x) = 2x \， \!$

$U_ {n+1} (x) = 2xU_n (x) - U_ {n-1} (x)。 \， \!$

a的一個例子母函數為U_n 是

$\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} U_n (x) t^n = \ frac {1} {1-2tx+t^2}。 \， \!$

三角定義

第一種類的Chebyshev多項式可以由定義三角身分:

$T_n (x) = \ COS (n \ arccos x) = \ cosh (n \， \ mathrm {arccosh} \， x) \， \!$

自何處：

$T_n (\ COS (\希臘字母的第八字))= \ COS (n \希臘字母的第八字) \， \!$

為 n = 0， 1， 2， 3，…，而第二種類的多項式滿意：

$U_n (\ COS (\希臘字母的第八字)) = \ frac {\罪孽((n+1) \希臘字母的第八字)}{\罪孽\希臘字母的第八字} \， \!$

哪些於結構地是相當相似的 Dirichlet仁.

那COS (nx)是 nth度多項式在COS (x)能通過觀察那COS看見(nx)是一邊的真正的部分 de Moivre的慣例和另一邊的真正的部分是一個多項式在COS (x)和罪孽(x)，罪孽的所有力量(x)甚而和因而是可替換通過身分COS²(x) +罪孽²(x) = 1.

由於它實現一個人單一地計算角度的所有整倍數餘弦根據底角的餘弦，這個身分與遞歸引起的慣例一道是極端有用的。評估前二個Chebyshev多項式：

$T_0 (x) = \ COS \ 0x \ =1 \， \!$

并且：

$T_1 (\ COS (x))= \ COS \ (x) \， \!$

你可能直接地確定那：

$\ COS (2 \希臘字母的第八字) =2 \ COS \希臘字母的第八字\ COS \希臘字母的第八字- \ COS (0 \希臘字母的第八字) = 2 \ cos^ {2} \， \希臘字母的第八字- 1 \， \!$

$\ COS (3 \希臘字母的第八字) =2 \ COS \希臘字母的第八字\ COS (2 \希臘字母的第八字) - \ COS \希臘字母的第八字= 4 \ cos^3 \， \希臘字母的第八字- 3 \ COS \希臘字母的第八字\， \!$

等等。瑣細地檢查結果是否似乎合理，求和系數在等號(即設置希臘字母的第八字的兩邊相等到零，餘弦是團結)，并且你看那1 = 2 − 1在前表示和1 = 4 − 3在後者。

一個直接推論是構成身分(或「嵌套物產」)

$T_n (T_m (x)) = T_ {n \ cdot m} (x)。\， \!$

Pell等式定義

Chebyshev多項式可能也被定義作為對的解答 Pell等式

$T_i^2 - (x^2-1) U_ {i-1} ^2 = 1 \， \!$

在圓環R [x].^[2] 因此，他們可以由採取一種根本解答的力量的Pell等式的標準技術引起：

$T_i + U_ {i-1} \ sqrt {x^2-1} = (x + \ sqrt {x^2-1}) ^i. \， \!$

聯繫在第一和第二種類的Chebyshev多項式之間

第一和第二種類的Chebyshev多項式由以下等式緊密地相關

$\ frac {d} {dx} \， T_n (x) = n U_ {n-1} (x) \ mbox {，} n=1， \ ldots$

$T_n (x) = \ frac {1} {2} (U_n (x) - \， U_ {n-2} (x))。$

$T_ {n+1} (x) = xT_n (x) - (1 - x^2) U_ {n-1} (x) \，$

$T_n (x) = U_n (x) - x \， U_ {n-1} (x)。$

Chebyshev多項式衍生物的再現關係可以從這些聯繫獲得

$2 T_n (x) = \ frac {1} {n+1} \; \ frac {d} {dx} T_ {n+1} (x) - \ frac {1} {n-1} \; \ frac {d} {dx} T_ {n-1} (x) \ mbox {，} \方形字體n=1， \ ldots$

這個關係用於 Chebyshev鬼方法解決微分方程。

等效地，二個序列可能從一個對也被定義 相互再現 等式：

$T_0 (x) = 1 \， \!$

$U_ {- 1} (x) = 0 \， \!$

$T_ {n+1} (x) = xT_n (x) - (1 - x^2) U_ {n-1} (x) \，$

$U_n (x) = xU_ {n-1} (x) + T_n (x) \，$

這些可以從三角慣例獲得; 例如，如果 $\ scriptstyle x = \ COS \ vartheta$ 然後

$\開始{排列} T_ {n+1} (x) &= T_ {n+1} (\ COS (\ vartheta)) \ \ &= \ COS ((n + 1) \ vartheta) \ \ &= \ COS (n \ vartheta) \ COS (\ vartheta) - \罪孽(n \ vartheta) \罪孽(\ vartheta) \ \ &= T_n (\ COS (\ vartheta))\ COS (\ vartheta) - U_ {n-1} (\ COS (\ vartheta))\ sin^2 (\ vartheta) \ \ &= xT_n (x) - (1 - x^2) U_ {n-1} (x)。 \ \ \末端{排列}$

注意這兩個等式和三角等式採取一個簡單形式，如果我們，像一些工作，跟隨表示的供選擇大會我們 U_n (多項式程度n)與 U_n+1 反而。

明確慣例

對定義Chebyshev多項式的不同的方法導致不同的明確慣例例如：

$T_n (x) = \開始{案件} \ COS (n \ arccos (x))& \ x \在[- 1,1] \ \ \ cosh (n \， \ mathrm {arccosh} (x))， & \ x \ ge 1 \ \ (- 1) ^n \ cosh (n \， \ mathrm {arccosh} (- x))& \ x \ le -1 \ \ \結束{案件} \， \!$

$T_n (x) = \ frac {(x+ \ sqrt {x^2-1}) ^n+ (x- \ sqrt {x^2-1}) ^n} {2} = \ sum_ {k=0} ^ {\ lfloor n/2 \ rfloor} \ binom {n} {2k} (x^2-1) ^k x^ {n-2k}$

$U_n (x) = \ frac {(x+ \ sqrt {x^2-1}) ^ {n+1} - (x- \ sqrt {x^2-1}) ^ {n+1}} {2 \ sqrt {x^2-1}} = \ sum_ {k=0} ^ {\ lfloor n/2 \ rfloor} \ binom {n+1} {2k+1} (x^2-1) ^k x^ {n-2k}$

$T_n (x) = 1+n^2 {(x-1)} \ prod_ {k=1} ^ {n-1} \離開({1+ {{{x-1}} \ 2 \ sin^2 \離開({k \ pi \ n} \正確)}} \正確)$ (由於M。 Hovdan)

物產

正交性

兩 T_n 并且 U_n 形成序列正交多項式. 第一種類的多項式是正交的關於重量

$\ frac {1} {\ sqrt {1-x^2}}， \， \!$

在間隔時間[−1,1]，即。我們有：

$\ int_ {- 1} ^1 T_n (x) T_m (x) \， \ frac {dx} {\ sqrt {1-x^2}} = \離開\ { \開始{矩陣} 0 & ： n \ ne m~~~~~ \ \ \ pi & ： n=m=0 \ \ \ pi/2 & ： n=m \ ne 0 \末端{矩陣} \正確。 \， \!$

這可以通過讓證明 x= COS (θ)和使用身分 T_n (COS (θ))=cos (nθ)。同樣，第二種類的多項式是正交的關於重量

$\ sqrt {1-x^2} \， \!$

在間隔時間[−1,1]，即。我們有：

$\ int_ {- 1} ^1 U_n (x) U_m (x) \ sqrt {1-x^2} \， dx = \開始{案件} 0 & ： n \ ne m， \ \ \ pi/2 & ： n=m. \結束{案件} \， \!$

(筆記重量 $\ sqrt {1-x^2} \， \!$ 是，到內正常化的常數，密度 Wigner半圓發行).

最小的∞準則

為其中任一給 $1 \ le n$ 在程度之中多項式 $n$ 以主導的系數1，

$f (x) = \ frac1 {2^ {n-1}} T_n (x)$

是其中之一最大的绝對值在間隔時間 $[ - 1,1]$ 是最小的。

這個最大的绝對值是

$\ frac1 {2^ {n-1}}$

并且 $| f (x) |$ 確切地到達這個最大值 $n + 1$ 時期：在 $- 1$ 并且 $1$ 并且其他 $n - 1$ 極值的點 $f$ .

分化和綜合化

多項式的衍生物比直接可以是。通過區分多項式以他們的三角形式，顯示那是容易的：

$\ frac {d T_n} {d x} = n U_ {n - 1} \，$

$\ frac {d U_n} {d x} = \ frac {(n + 1) T_ {n + 1} - x U_n} {x^2 - 1} \，$

$\ frac {d^2 T_n} {d x^2} = n \ frac {n T_n - x U_ {n - 1}} {x^2 - 1} = n \ frac {(n + 1) T_n - U_n} {x^2 - 1}。\，$

前二個慣例可以數字上麻煩歸結於被零除(0/0 不確定的形式具體地)在 x = 1和 x = −1. 它可以顯示(參見證明)那：

$\ frac {d^2 T_n} {d x^2} \四列穗大麥|_ {x = 1} \! \! = \ frac {n^4 - n^2} {3}，$

$\ frac {d^2 T_n} {d x^2} \四列穗大麥|_ {x = -1} \! \! = (- 1) ^n \ frac {n^4 - n^2} {3};$

的確，以下，更加一般的慣例舉行：

$\ frac {d^p T_n} {d x^p} \四列穗大麥|_ {x = \ pm 1} \! \! = (\ pm 1) ^ {n+p} \ prod_ {k=0} ^ {p-1} \ frac {n^2-k^2} {2k+1}。$

這個後者結果有用巨大在本徵值問題的數值解。

關於綜合化，最初倒數 T_n 暗示那

$\ int U_n \， dx = \ frac {T_ {n + 1}} {n + 1} \，$

并且遞歸關係為介入衍生物的第一個親切的多項式建立那

$\ int T_n \， dx = \ frac {1} {2} \被留下(\ frac {T_ {n + 1}} {n + 1} - \ frac {T_ {n - 1}} {n - 1} \正確) = \ frac {n T_ {n + 1}} {n^2 - 1} - \ frac {x T_n} {n - 1}。\，$

根和極值

二者之一的Chebyshev多項式親切以程度 n 有 n 不同的單根，叫 Chebyshev根在間隔時間[−1,1]。根有時叫 Chebyshev結因為使用他們結在多項插值法。使用三角定義和事實那

$\ COS \離開(\ frac {\ pi} {2} \， (2k+1) \正確) =0$

你可能容易地證明，根 T_n 是

$x_k = \ COS \離開(\ frac {\ pi} {2} \， \ frac {2k-1} {n} \正確) \ mbox {，} k=1， \ ldots， n。$

同樣，根 U_n 是

$x_k = \ COS \離開(\ frac {k} {n+1} \ pi \正確) \ mbox {，} k=1， \ ldots， n。$

第一種類的Chebyshev多項式的一獨特的物產那在間隔時間−1 ≤ x ≤ 1所有極值有是−1或1的價值。因而這些多項式只有二有限臨界值定義的物產 Shabat多項式. 這种第一和第二Chebyshev多項式有極值在終點給出：

$T_n (1) = 1 \，$

$T_n (- 1) = (- 1) ^n \，$

$U_n (1) = n + 1 \，$

$U_n (- 1) = (n + 1) (- 1) ^n \，$

其他物產

Chebyshev多項式是一個特殊情況ultraspherical或 Gegenbauer多項式他們自己是一個特殊情況 Jacobi多項式.

為每個非負整數 n, T_n(x)和 U_n(x)是程度兩個多項式 n. 他們是均勻或奇函數 x n 是均勻或奇怪的，如此，當寫作為多項式時 x它只有各自均勻或奇怪的程度期限。

主導的系數 T_n 是2^n − 1 如果1 ≤ n，但是1，如果0 = n.

T_n 是一個特殊情況 Lissajous曲線以頻率比率到均等 n.

例子

第一種類的最初的少數Chebyshev多項式是

$T_0 (x) = 1 \，$

$T_1 (x) = x \，$

$T_2 (x) = 2x^2 - 1 \，$

$T_3 (x) = 4x^3 - 3x \，$

$T_4 (x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \，$

$T_5 (x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \，$

$T_6 (x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \，$

$T_7 (x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \，$

$T_8 (x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \，$

$T_9 (x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x。 \，$

第二種類的最初的少數Chebyshev多項式是

$U_0 (x) = 1 \，$

$U_1 (x) = 2x \，$

$U_2 (x) = 4x^2 - 1 \，$

$U_3 (x) = 8x^3 - 4x \，$

$U_4 (x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \，$

$U_5 (x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \，$

$U_6 (x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \，$

$U_7 (x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \，$

$U_8 (x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \，$

$U_9 (x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \，$

为据設置

在適當 Sobolev空間套Chebyshev多項式形成a 完全依據集合，因此一個作用在同一個空間罐頭，在−1 ≤ x ≤ 1通過擴展被表達：^[3]

$f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n T_n (x)。$

此外，如早先被提及， Chebyshev多項式形成正交的依據(尤其)暗示系數 a_n 能通過應用容易地被確定內積. 這個總和稱a Chebyshev系列 或a Chebyshev擴展.

因為Chebyshev系列與a有關傅立葉餘弦系列通過可變物的變動，所有定理、身分等等適用傅立葉系列有Chebyshev相對物。^[3] 這些屬性包括：

Chebyshev多項式形成a 完全正交系。

Chebyshev系列聚合 f(x)，如果作用是 piecewise 光滑并且連續. -，只要有間斷性的一個有限數字，平滑性要求可以在許多情況下放鬆 f(x)和它的衍生物。

在間斷性，系列將聚合到正確和左極限的平均。

定理和身分的豐盈繼承從傅立葉系列做Chebyshev多項式重要工具數字分析; 例如他們是用於的最普遍的通用依據作用鬼方法^[3]經常傾向於三角級數由於一般更加快速的匯合為連續函數(Gibbs的現象仍然是問題)。

部分和

$f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n T_n (x)$

是非常有用的在略計各種各樣的作用和在解答微分方程 (參見鬼方法). 二個共同的方法為確定系數 a_n 是通過用途對內積作為 Galerkin的方法并且通過用途搭配與哪些有關插值法.

作為interpolant， N 系數(N − 1)^th 部分和在Chebyshev高斯Lobatto通常得到^[4] 點(或Lobatto柵格)，導致極小的錯誤并且避免 Runge的現象與一個一致的柵格相關。點的這彙集在總和對應於最高位的多項式的極值，加上終點和被測量：

$x_i = - \ COS \離開(\ frac {i \ pi} {N - 1} \正確); \ qquad \ i = 0， 1， \加點， N - 1。$

多項式以Chebyshev形式

程度一個任意多項式 N 能被寫根據第一種類的Chebyshev多項式。這樣多項式 p(x)是形式

$p (x) = \ sum_ {n=0} ^ {N} a_n T_n (x)$

多項式以Chebyshev形式可以使用被評估 Clenshaw算法.

傳播多項式

傳播多項式實際上是等值到第一種類的Chebyshev多項式，但實現一個人避免方根和常規三角函數在某些上下文，著名地合理的三角學.

參見

參考

Abramowitz、米爾頓& Stegun，艾琳A.， eds。 (1965), 「第22章」, 數學函數手冊與慣例、圖表和數學表紐約：多弗，國際標準書號0-486-61272-4 .

^ Chebyshev多項式首先被提出了在： P. L. Chebyshev (1854) 「Théorie des mécanismes connus sous le nom parallelogrammes」， Mémoires des專家étrangers présentes à l'Academie de聖徒Pétersbourg捲。 7，頁539-586。
^ Jeroen Demeyer Diophantine集合多項式環和Hilbert的第十個問題為作用調遣 Ph.D。論文(2007)， p.70。
^ ^a ^b ^c Chebyshev和傅立葉鬼方法由約翰・ P。 Boyd。
^ Chebyshev插值法：一次交互式遊覽

外部鏈接

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
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