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邊值問題

在 數學在領域 微分方程 a 邊值問題 是a 微分方程 與一套另外的克制一起，稱 邊界條件. 對邊值問題的一種解答是解答到也滿足邊界條件的微分方程。

因為所有物理微分方程將有他們，邊值問題在物理幾個分支出現。 問題介入 波動方程例如決心 正常振盪型經常陳述當邊值問題。 重要邊值問題大類是 Sturm-Liouville問題. 對這些問題的分析介入 特徵函數 a 微分算子.

要是有用的在應用，邊值問題應該 被擺在的井. 這意味著給輸入問題那裡存在一種獨特的解答，連續取決於輸入。 理論工作在領域 偏微分方程 致力於證明，出現從科學和工程的應用的邊值問題實際上很好被擺在。

在將被學習的最早的邊值問題之中是 Dirichlet問題發現 調和函數 (解答 Laplace的等式); 給解答 Dirichlet原則.

初值問題

主要文章： 初值問題

一個更加數學的方式生動描述在一個初值問題和邊值問題之間的區別是一個初值問題有所有情況指定在獨立變量的同一價值在等式(和價值在領域的更低的界限因而，期限「最初」價值)。 另一方面，邊值問題有情況指定在獨立變量的極端。 例如，如果獨立變量是時間在領域[0,1]，一個初值問題將指定價值 y(t) 并且 y'(t) 在時間 t = 0，而邊值問題將指定價值為 y(t) 在兩個 t = 0 并且 t = 1.

如果問題依靠空間和時間，則而不是指定問題的價值在特定點為所有時間數據可能為所有空間到時被給。 例如，一個鋼棍的溫度與一個末端保持了在 绝對零度 并且另一個末端在冰點水是邊值問題。 而在一個靜池中間，如果某人輕拍水用將創造波紋并且給我們一個最初的情況的知道的力量。

邊值問題的類型

如果界限給價值 正常衍生物 問題然後它是a Neumann邊界條件. 例如，如果有加熱器在鐵標尺的一個末端，然後能量將增加以恆定的率，但實際溫度不會被知道。

如果界限給價值問題那麼它是a Dirichlet邊界條件. 例如，如果鐵標尺的一個末端被拿著在绝對零度，然後問題的價值那時將被知道在空間。

如果界限有給價值正常衍生物和問題然後它曲線或表面的形式是a Cauchy邊界條件.

除邊界條件之外，邊值問題根據也被分類介入的微分算子的種類。 為 橢圓操作員你談論 橢圓邊值問題. 為 雙曲線操作員你談論雙曲線邊值問題。 這些類別進一步被細分入線性和各種各樣的非線性類型。

例子

為更多細節在Sturm-Liouville問題，為普通和偏微分方程，看見 邊值問題的例子.

考慮常微分方程

為未知函數將解決 y(x). 強加邊界條件

沒有邊界條件，對這個等式的一般解答是

從邊界條件 y(0) = 0 你獲得

哪些暗示那 B = 0. 從邊界條件 y(π/2) = 2 你發現

并且如此 A = 2. 你看見轟烈的邊界條件允許你確定一種獨特的解答，在這種情況下是

參見

參考

• A. D. Polyanin和V。 F. Zaitsev， 確切的解答手冊為常微分方程(第2編輯)沿街叫賣者& Hall/CRC新聞， Boca Raton 2003年。 國際標準書號1-58488-297-2.
• A. D. Polyanin， 線性偏微分方程手冊為工程師和科學家沿街叫賣者& Hall/CRC新聞， Boca Raton 2002年。 國際標準書號1-58488-299-9.

外部鏈接

• 線性偏微分方程： 確切的解答和邊值問題 在EqWorld ： 數學等式世界。
• 邊值問題 在 Scholarpedia.