首頁 › 多語言檔案 Index › 略計理論

頂10篇文章

土豆

烏龜

薑黃

Gmail

第二次世界大戰

DirectX

光合作用

菲律賓

第一次世界大戰

板岩

News:

略計理論

在數學, 略計理論 與怎樣有關作用罐頭最好是接近與更加簡單作用和與定量地描繪錯誤介紹從而。注意得是什麼意思最好并且 更加簡單 將取決於應用。

一個緊密地相關的題目是作用的略計廣義傅立葉系列即，略計根據基於的一系列的期限的總和正交多項式.

特別的好處的一個問題是那接近一個作用在a 計算機數學圖書館，使用在計算機或計算器可以進行的操作(即。加法和增殖)，這樣結果是儘可能與實際作用接近。這典型地做與多項或合理 (多項式比率)略計。

宗旨將做略計一樣緊密儘可能到實際作用，典型地以準確性緊挨那部下的計算機的浮動小數點算術。這通過使用高度多項式，並且/或者使多項式必須接近作用的領域狹窄完成。使領域狹窄可能經常做，雖然對各種各樣的加法或結垢慣例的用途為接近的作用。現代數學圖書館經常減少領域入許多微小的段并且為每段使用低度多項式。

多項式的一次領域和程度被選擇，多項式被選擇就像使最壞的錯誤減到最小。即目標是使最大價值減到最小 $\中間P (x) - f (x) \中間$ P (x)的地方是接近的多項式和f (x)是實際作用。為行為端正的作用，最宜N^th 程度多項式將導致反覆擺動之間的錯誤曲線 $+ ε$ 并且 $- ε$ 總共N+2時期，給一個最壞的錯誤 $ε$ . (它是可能的做f的被策劃的作用(x)這物產不舉行，但實踐上一般是真實的。)的它例子圖表，為N=4，顯示錯誤在接近的日誌(x)和exp (x)，如下所示。

錯誤在優選的多項式和exp (x) (紅色)之間和Chebyshev略計和exp (x) (藍色)在間隔時間[- 1， 1]。垂直的分裂是10^-4. 最大錯誤為優選的多項式是5.47 x 10^-4

注意，在每個案件，最大值的數量是N+2，即， 6。二最大值在末端點。紅色曲線，為優選的多項式，是水平即，他們擺動之間 $+ ε$ 并且 $- ε$ 確切地。

如果N^th 程度多項式導致擺動在最大值之間的誤差函數 $+ ε$ 并且 $- ε$ N+2時期，那個多項式是優選的。 (證明)

Chebyshev略計

你可能通過擴展特定作用獲得多項式非常緊挨優選一個根據 Chebyshev多項式然後切除擴展在期望程度。這於是相似的傅立葉分析作用，使用Chebyshev多項式而不是通常三角函數。

如果你在Chebyshev擴展計算系數為作用：

$f (x) \ sim \ sum_ {i=0} ^ \ infty c_i T_i (x)$

在以後然後切除系列 $T n$ 期限，你得到N^th 程度多項接近的f (x)。

這個多項式是幾乎優選的原因是，為作用以迅速地聚合的電源串聯，如果系列在某一期限以後被切除，出現從切除的總錯誤是緊挨第一個期限在切除以後。即第一個期限在切除以後控制所有最新期限。如果擴展是根據Chebyshev多項式，同樣是真實的。如果Chebyshev擴展以後被切除 $T n$ 錯誤將採取一個形式緊挨倍數 $T n + 1$ . Chebyshev多項式有物產他們是平實-他們擺動在+1和-1之間在間隔時間[- 1， 1]。 $T n + 1$ 有N+2水平最大值。這意味著錯誤在f (x)和它的Chebyshev擴展之間 $T n$ 是緊挨一個平實作用以N+2最大值，因此它是緊挨優選的N^th 程度多項式。

在上面圖表，注意藍色誤差函數比(裡面)紅色作用有時好，但有時更壞，意味它不相當是優選的多項式。也注意差誤為exp作用是相對地較不嚴肅的，有極端迅速地聚合的電源串聯，比對於日誌作用。

Chebyshev略計是依據為 Clenshaw-Curtis求積分法 a 數字綜合化技術。

Remez算法

Remez算法 (有時被拼寫的Remes)使用導致接近特定作用f (x)的一個優選的多項式P (x)特定間隔時間。它是聚合到多項式有一種誤差函數以N+2水平極值的一種重申算法。由上面定理，那個多項式是優選的。

Remez算法使用事實一個可能修建N^th 那導致水平和交替的錯誤價值的程度多項式給出N+2測試點。

特定N+2測試點 $x 1$ , $x 2$ ... $x n + 2$ (的地方 $x 1$ 并且 $x n + 2$ 據推測是間隔時間的末端點略計)，這些等式需要解決：

$P (x_1) - f (x_1) = + \ ε \，$

$P (x_2) - f (x_2) = - \ ε \，$

$P (x_3) - f (x_3) = + \ ε \，$

$\ vdots$

$P (x_ {n+2}) - f (x_ {n+2}) = \ pm \ ε。\，$

正確手邊代替在標誌。

即

$P_0 + P_1 x_1 + P_2 x_1^2 + P_3 x_1^3… P_n x_1^n-f (x_1) = + \ ε \，$

$P_0 + P_1 x_2 + P_2 x_2^2 + P_3 x_2^3… P_n x_2^n-f (x_2) = - \ ε \，$

$\ vdots$

從那以後 $x 1$ ... $x n + 2$ 給了，所有他們的力量被知道，和 $f (x 1)$ ... $f (x n + 2)$ 也被知道。那意味著上述等式是正義n+2線性方程在n+2可變物 $P 0$ , $P 1$ ... $P n$ 和 $ε$ . 假使測試點 $x 1$ ... $x n + 2$ 你可能解決這個系統得到多項P和數字 $ε$ .

如下圖表顯示此的例子，生產4^th 程度多項式接近 $e x$ [- 1， 1]。測試點被設置了在-1， -0.7， -0.1， +0.4， +0.9和1。那些價值在綠色顯示。總值價值 $ε$ 是4.43 x 10^-4

多項式的錯誤由第一步Remez算法生產了，接近e^x 在間隔時間[- 1， 1]。垂直的分裂是10^-4.

注意錯誤圖表的確承擔價值 $\ pm \ ε$ 在6個測試點，包括末端指向，但那那些點不是極值。如果4個內部測試點是極值(即作用P (x) - f (x)有最大值或極小值那裡)，多項式是優選的。

第二步Remez算法包括移動測試點向近似地點，誤差函數有它的實際地方極小值或最大值。例如，你可能從看圖表告訴點在-0.1應該在大約-0.28。方式做此在算法將使用一個唯一圓牛頓的方法. 因為你知道第一和第二種衍生物P (x) - f (x)，你可能近似地計算多遠測試點必須被移動，以便衍生物將是零。

計算多項式的衍生物是直接的。你一定也能計算第一和第二種衍生物f (x)。 Remez算法要求能力計算 $f (x) \，$ , $f'(x) \，$ 和 $f$ 對極端高精密度。比結果的期望精確度必須執行整個算法到更高的精度。

在移動測試點以後，線性方程零件被重覆，得到一個新的多項式，并且牛頓的方法再用於再移動測試點。這個序列繼續，直到結果聚合到期望準確性。算法非常迅速地聚合。作用如果測試點內，匯合為行為端正是二次方的 $10 - 15$ 正確結果，他們近似地內 $10 - 30$ 正確結果在下一輪以後。

Remez算法通過選擇Chebyshev多項式的最大值典型地開始 $T n$ 作為起始點，因為最後的誤差函數於多項的那將是相似的。

主要學報

參見

鏈接

略計理論(帽子)的歷史

參考

N.I.Achiezer (Akhiezer)，略計的理論，由查爾斯・ J.翻譯了。 Hyman Frederick出版Co.，紐約的Ungar 1956 x+307頁。

A.F.Timan， 一個實變量的作用的略計的理論, 1963 國際標準書號048667830X

C. Hastings， Jr。 略計為數字計算機， 普林斯頓大學出版社1955年。

J. F. 牡鹿， E。 W. Cheney， C。 L. Lawson， H。 J. Maehly， C。 K. Mesztenyi， J。 R. 米， H。 C. Thacher Jr.， C。 Witzgall 計算機略計， 威里1968年，解放。 Cong。 67-23326.

L. 狐狸和I.B。 Parker。「Chebyshev多項式在數據分析」。牛津大學出版社倫敦1968年。

W. J. Cody Jr.， W。 Waite 軟件指南為初等函數， 學徒霍爾1980年，國際標準書號0-13-822064-6.

E. Remes [Remez] Sur le calcul effectif des polynomes d'approximation de Tschebyscheff 1934 C。 R. Acad。 Sci。，巴黎， 199 337-340，

K. - G。 Steffens 略計理論的歷史：從Euler到Bernstein Birkhauser，波士頓2006年國際標準書號0817643532

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
Creative Commons Licence

Custom Search