鬼方法

鬼方法 是技术类用于应用数学并且科学计算数字上解决确定偏微分方程经常介入用途对快速的傅立叶变换. 那里可适用，鬼方法有优秀错误物产，当所谓的“指数汇合”是最快速可能的。

偏微分方程(PDEs)描述大多物理过程例如热量传导、流体流动和音响传输。在许多这样等式，有可以使用给高效率的算法为计算的解答这些PDEs的部下的“基本的波浪”。在典型的案件，鬼方法通过写解答利用这个事实作为它傅立叶系列替代这个系列入PDE得到系统抒情诗在三角期限的非定常系数在系列(写在复杂指数形式)和使用时间跨步方法解决那些抒情诗。

鬼方法和有限元法在同样想法严密被关系并且被修造; 他们之间的主要区别是鬼方法接近解答线性组合连续函数一般是非零的在解答领域(通常 sinusoids 或 Chebyshev多项式)，而有限元法接近解答，因为是非零的在小subdomains piecewise作用的一个线性组合。因此，鬼方法承担a 全球性方法 当有限元法是a时 地方方法. 当解答是时，这是一部分的为什么鬼方法工作最好光滑.

在有限元素社区、方法，元素程度非常高或增量，栅格参量h减退到零有时称a 鬼元素方法.

鬼方法的实施通常被完成二者之一与搭配或a Galerkin 方法。

一个具体例子

我们这里假定基本的理解对基本多维分布微积分并且傅立叶系列. 如果g (x， y)是知道，二个实变量的复杂被重视的作用和g是周期性的在x和y (即g (x， y) =g (x+2π， y) =g (x， y+2π)) 然后我们是对发现作用感兴趣f (x， y)，以便

那里表示在左边在x和y表示f第二种部份衍生物，分别。这是泊松等式和能完全被解释作为某一类热量传导问题。

如果我们在傅立叶系列写f和g ：

并且替代入微分方程，我们得到这个等式：

我们交换了部份分化以一个无限总和，例如是合法的，如果我们假设那 f 有一种连续的第二种衍生物。由独特定理为傅立叶扩展，我们必须由期限然后视同傅立叶系数期限，给

(*)

哪些是一个明确惯例为傅立叶系数 a_j,k.

要把此变成算法，有限地仅许多频率解决为。这介绍能证明是比例的错误 $h n$ 的地方 $h = 1 / n$ 并且 $n$ 是被对待的最高的频率。

算法

计算傅立叶变换(b_{j， k}) g.
计算傅立叶变换(a_{j， k}) f 通过惯例(*)和傅立叶变换 g.
估计 f 通过采取相反傅立叶变换(a_{j， k}).

因为我们只是对频率感兴趣一个有限窗口(大小 n言)这可以使用a完成快速的傅立叶变换算法。所以，算法及时全球性地跑 O(n 日志 n).

与鬼元素方法的一个关系

你可能显示那，如果 $g$ 是无限地能区分的，然后数字算法使用快速的傅立叶在栅格大小h.变换快速地将聚合比其中任一多项式。即为任何n> 0，有a 这样错误是较少比 $C h n$ 为所有充足地小价值 $h$ . 我们说鬼方法是秩序 $n$ 为每n> 0。

由于a 鬼元素方法是a 有限元法非常高位，有相似性在汇合物产。然而，而鬼方法根据特殊边值问题的eigendecomposition，鬼元素方法不使用那信息并且不为任意运作椭圆边值问题.

参见

参考

Chebyshev和傅立叶鬼方法由约翰・ P。 Boyd。
javier ・ de Frutos， Julia Novo ：一个鬼元素方法为Navier--升火等式以被改进的准确性
Canuto C.， Hussaini M。 Y.、Quarteroni A.和Zang T.A。 (2006) 鬼方法。根本性在唯一领域。 Springer-Verlag，柏林海得尔堡

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