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分离余弦变换
A 分离余弦变换(DCT) 表达有限地许多数据点序列根据总和 余弦 摆动在不同的作用 频率. DCTs是重要对许多应用在科学和工程学，从 有损压缩 音频 并且 图象 (哪里小可以放弃高频率组分)， 鬼方法 为数值解 偏微分方程. 对余弦的用途而不是 正弦 作用是重要的在这些应用： 为压缩，它结果余弦函数是更多高效率的(如下所述，较少是需要的接近典型 信号)，而为微分方程余弦表达一个特殊选择 边界条件.
特别是， DCT是a 与傅立叶相关变换 相似于 分离傅立叶变换 (DFT)，但只使用 实数. DCTs与长度DFTs大致两次是等效的，经营在真正的数据与 均匀 对称(因为一个真正和偶函数的傅立叶变换是真正和均匀的)，在有些变形输入和输出数据由一半转移样品的地方。 有八个标准DCT变形，其中四是共同的。
分离余弦最共同的变形变换是类型II DCT，简单地经常称“DCT”; 它的反面，类型III DCT，简单地经常相应地称“相反DCT”或“IDCT”。 相关的二变换是 分离正弦变换 (DST)，与DFT是等效的真正和 奇怪 作用，和 修改过的分离余弦变换 (MDCT)，根据DCT 重叠 数据。
内容 |
应用
DCT和特别是DCT-II，特别是为lossy数据压缩是常用在信号和图象处理的，因为它有强的“能量击实”物产(Rao和犬吠1990) ： 大多数信号信息在DCT的几个低频率组分，接近倾向于被集中 Karhunen-Loève变换 (是优选的在decorrelation感觉)为信号根据某些极限 Markov过程. 如下所述，这源于边界条件含蓄在余弦函数。
相关变换， 修改 分离余弦变换或者MDCT (根据DCT-IV)，得用于 AAC, Vorbis, WMA和 MP3 音频压缩法。
DCTs在解决广泛也被使用偏微分方程由鬼方法， DCT不同的变形对应于轻微地不同的均匀或奇怪的边界条件在列阵的二个结尾。
DCTs紧密地也相关 Chebyshev多项式和快速的DCT算法(下面)得用于 Chebyshev略计 任意作用由Chebyshev多项式系列，例如 Clenshaw-Curtis求积分法.
JPEG
DCT得用于 JPEG 图像压缩， MJPEG, MPEG和 DV 视频压缩。 那里，二维DCT-II 块被计算，并且结果是 使量子化 并且 被编码的熵. 在这种情况下， N 是典型地8，并且DCT-II惯例被申请于块的每个列和专栏。 结果是× 8变换系数列阵的8 (0,0) 元素(上面左)是DC (零频率)组分和词条随着垂直和水平的给定值的增加代表更高的垂直和水平的空间频率。
不拘形式的概要
象其中任一与傅立叶相关变换，分离余弦变换(DCTs)表达作用或信号根据总和 sinusoids 以不同 频率 并且 高度. 象 分离傅立叶变换 (DFT)， DCT动手术在一个作用在离散信道点的一个有限数字。 DCT和DFT之间的明显的分别是仅前用途余弦函数，而后者用途余弦和正弦(以的形式 复杂exponentials). 然而，这个可看见的区别仅仅是更加深刻的分别的后果： DCT暗示不同 边界条件 比相关的DFT或其他变换。
动手术在一个作用在有限的与傅立叶相关变换 领域例如DFT或DCT或者a 傅立叶系列能被重视作为含蓄定义 引伸 那个作用在领域之外。 即，一旦您写一个作用 f(x) 作为sinusoids的一个总和，您能评估那个总和在其中任一 x为 x 那里原物 f(x) 未指定。 DFT，象傅立叶系列，暗示a 周期性 原始的作用的引伸。 DCT，象a 余弦变换暗示 均匀 原始的作用的引伸。
然而，因为DCTs动手术得在 有限, 分离 序列，为连续的余弦不变换的二个问题出现。 首先，你必须指定作用是否是均匀或奇怪的在 两个 领域的左右界限(即。 分钟n 并且最大n 界限在各自定义如下)。 其次，你必须指定 什么点 作用是均匀或奇怪的。 特别是，考虑一个序列 abcd 四个等隔数据点，和说我们指定均匀 左 界限。 有二种易察觉的可能性： 任一数据是关于样品 a，在均匀引伸是情况下 dcbabcd或者数据是关于点 半路 在之间 a 并且早先点，在均匀引伸是情况下 dcbaabcd (a 被重覆)。
这些选择导致DCTs的所有标准变异并且 分离正弦变换 (DSTs)。 每个界限是均匀或奇怪的(每个界限2个选择)并且可以是相称的关于半路数据点或点在二个数据点(每个界限2个选择之间)，为共计 可能性。 一半这些可能性，那些的地方 左 界限是均匀的，对应于DCT的8个类型; 另外一半是DST的8个类型。
这些不同的边界条件强烈影响变换的应用，并且导致独特地有用的物产为各种各样的DCT类型。 最直接地，当曾经与傅立叶相关变换解决 偏微分方程 由 鬼方法边界条件直接地指定，解决的问题的部分。 或者，为 MDCT (基于类型IV DCT)，边界条件在时间领域混淆现象取消MDCT的临界性质亲密地介入。 在更加微妙的时尚，边界条件负责对使DCTs有用为图象和音频压缩法的“能量击实”物产，因为界限影响其中任一的汇合的率傅立叶象系列。
特别是，它是知名的其中任一 间断性 在作用减少 汇合的率 傅立叶系列，因此更多sinusoids是需要的代表作用特定准确性。 同一项原则治理DFT的有用性，并且其他为信号压缩变换： 磨平者作用是，在它的DFT或DCT要求少数期限准确地代表它，并且越多它可以是压缩的。 (这里，我们认为DFT或DCT作为略计为 傅立叶系列 或 余弦系列 作用，分别，为了谈论它的“平滑性。然而”)， DFT手段的含蓄周期性间断性通常发生在界限： 信号的所有任意段是不太可能有同一价值在两个左右界限。 (A相似的问题为DST出现，奇怪的左边界条件暗示间断性为所有作用不偶然是零在那个界限。)相反， DCT 两个 界限是均匀的 总 产生一连续延拓在界限(虽然 倾斜 一般是不连续的)。 这就是为什么类型DCTs和特别是DCTs I， II， v和VI (有甚而二个界限)的类型一般为信号压缩更好执行比DFTs和DSTs。 实践上，类型II DCT为这样应用通常更喜欢，一部分为计算便利的目的。
正式定义
正式，分离余弦变换是a 线性可转位 作用 F : RN -> RN (的地方 R 表示套 实数)，或者等效地可转位 N × N 方矩阵. 有DCT的几个变形以轻微地修改过的定义。 N 实数 x0, ..., xN-1 被变换成 N 实数 x0, ..., xN-1 根据其中一个惯例：
DCT-I
有些作者更加进一步倍增 x0 并且 xN-1 期限由√2，和相应地倍增 x0 并且 xN-1 期限由1/√2。 这做DCT-I矩阵 正交，如果你更加进一步乘以一个整体换算系数 ，但打破直接书信与真正均匀DFT。
DCT-I确切地是等值(由一个整体换算系数2决定)，对DFT 2N − 2 实数以均匀对称。 例如， DCT-I N=5实数 abcde 确切地是等值对八个实数DFT abcdedcb (甚而对称)，除二。 (相反， DCT类型II-IV在等效DFT介入一个一半样品转移。)
然而，笔记DCT-I没有被定义为 N 少于2。 (其他DCT类型为其中任一正面被定义 N.)
因此， DCT-I对应于边界条件： xn 是均匀的 n=0和平衡 n=N-1; 相似地为 xk.
DCT-II
DCT-II大概是通常使用的形式和经常简单地指“DCT”。
这变换确切地是等值(由一个整体换算系数2决定)对DFT 4N 均匀对称真正的输入，均匀被标注的元素是零。 即它是DFT的一半 4N 输入 yn的地方 y2n = 0, y2n + 1 = xn 为 和 y4N − n = yn 为 0 < n < 2N.
有些作者更加进一步倍增 x0 期限由1/√2 (为在DCT-III上的对应的变化下面参见)。 这做DCT-II矩阵 正交，如果你更加进一步乘以一个整体换算系数 ，但打破直接书信与一半被转移的输入真正均匀DFT。
DCT-II暗示边界条件： xn 是均匀的 n=-1/2和平衡 n=N-1/2; xk 是均匀的 k=0和奇怪 k=N.
DCT-III
由于它是DCT-II反面(由换算系数决定，下面看见)，这个形式有时简单地指“相反DCT” (“IDCT”)。
有些作者更加进一步倍增 x0 期限由1/√2 (为在DCT-II上的对应的变化参见上述)，因此DCT-II和DCT-III是移置互相。 这做DCT-III矩阵 正交，如果你更加进一步乘以一个整体换算系数 ，但打破直接书信与一半被转移的产品真正均匀DFT。
DCT-III暗示边界条件： xn 是均匀的 n=0和奇怪 n=N; xk 是均匀的 k=-1/2和平衡 k=N-1/2.
DCT-IV
DCT-IV矩阵成为 正交 如果你更加进一步乘以一个整体换算系数 .
DCT-IV的变形，数据从不同变换 重叠叫 修改过的分离余弦变换 (MDCT)。
DCT-IV暗示边界条件： xn 是均匀的 n=-1/2和奇怪 n=N-1/2; 相似地为 xk.
DCT V-VIII
DCT类型I-IV与均匀秩序真正均匀DFTs是等效的(不管是否 N 是均匀或奇怪的)，因为对应的DFT是长度2 (N−1) (为DCT-I)或4N (为DCT-II/III)或8N (为DCT-VIII)。 原则上，实际上有分离余弦的四个另外的类型变换(Martucci 1994)，根本上对应逻辑上奇怪的秩序真正均匀DFTs，有因素 在余弦论据的分母。
等效地，类型I-IV DCTs暗示是均匀或奇怪的在一个数据点附近为两个界限或半路在二个数据点之间为两个界限的界限。 类型V-VIII DCTs暗示平衡或奇怪在一个数据点附近为一个界限和半路在二个数据点之间为另一个界限的界限。
然而，似乎实践上很少使用这些变形。 一个原因，或许，是FFT算法为奇怪长度DFTs比FFT算法一般复杂为均匀长度DFTs (即。 最简单的根值2算法仅是为均匀长度)，并且这增加的复杂如下所述转入对DCTs。
(琐细的真正均匀列阵，长度一DFT (奇怪的长度)的一个唯一数字 a对应于长度DCT-V N=1.)
反面变换
DCT-I反面是2乘的DCT-I (N-1). DCT-IV反面是2乘的DCT-IVN. DCT-II反面是2乘的DCT-IIIN (和反之亦然)。
象为 DFT正常化因素在这些前面变换定义仅仅是大会并且不同在治疗之间。 例如，有些作者倍增变换 因此反面不要求任何另外乘析因。 与√2适当的因素结合(参见上述)，这可以用于做变换矩阵 正交.
多维DCTs
各种各样的DCT类型的多维变形从一维定义跟随直接地： 他们简单地是一个可分开的产品(等效地，构成) DCTs沿每个维度。
例如，图象或矩阵的二维DCT-II简单地是一维DCT-II，从上述，执行沿列然后沿专栏(或反之亦然)。 即惯例给第2 DCT-II (省去正常化和其他换算系数，如上所述) ：
技术上，计算二(或多)尺寸DCT由一维DCTs序列沿每个维度通认作为a 列专栏 算法(在二维案件以后)。 和与 多维FFT算法然而，那里存在要计算同一件事的其他方法，当执行计算按不同的顺序时(即。 插页或结合算法为不同的维度)。“
图象在右边显示水平和垂直的频率的组合为8 x 8 (N1 = N2 = 8)二维DCT。 每步从左到右和由上至下是在频率的增量根据1/2周期。 例如，移动的权利一从上面左正方形产生在水平频率的一半周期增量(从白色去黑色)。 另一移动在右边产生二个一半周期(白色到黑色到白色)。 移动下来垂直水平地产生二个一半周期和一半周期。 源数据(8x8)被变换对a 线性组合 这64个频率正方形。
计算
虽然这些惯例的直接应用将要求O (N2)操作，计算同一件事与仅O (是可能的N 日志 N)复杂通过相似分解计算于 快速的傅立叶变换 (FFT)。 你可能通过与O结合的FFTs也计算DCTs (N)前和后加工步。
最高效率的算法，原则上，通常是直接地为DCT被专门研究的那些，与使用普通的FFT相对加上O (N)额外操作(为例外下面参见)。 然而， “甚而专门了研究” DCT算法(达到最低已知的算术计数的包括所有那些，至少为 力量二 大小)与FFT典型地紧密地相关，算法自从DCTs根本上是真正均匀数据DFTs，你可能通过采取FFT和消灭重复操作设计一种快速的DCT算法由于这个对称。 这可能自动地甚而做(Frigo &约翰逊2005)。 根据的算法 Cooley-Tukey FFT算法 是最共同的，但其他FFT算法也是可适用的。 例如， Winograd FFT算法导致最小增殖算法为DFT，虽然一般在更多加法的费用和一种相似的算法由Feig提议& Winograd (1992)为DCT。 由于算法为DFTs， DCTs和相似变换是那么紧密地相关的全部，在算法的所有改善为一个变换将理论上导致直接获取为其他变换(Duhamel & Vetterli 1990)。
当使用非限定的FFT时的DCT算法经常有一些理论天花板与最佳的专业DCT算法比较，前也有分明好处： 高度优化FFT节目广泛是可利用的。 因此，实践上，获得高性能为一般长度经常是更加容易的 N 以基于FFT的算法。 (表现在现代硬件没有由算术计数简单地典型地控制，并且优化要求坚固工程计划。)专业DCT算法，另一方面，看见普遍用途为变换小，固定的大小例如 DCT-II用于 JPEG 压缩或者小DCTs (或MDCTs)在音频压缩法典型地使用了。 (减少的编码规格也许也是原因为埋置设备应用使用专业DCT。)
实际上，甚而DCT算法使用普通的FFT有时是等值到修剪重复操作从真正相称数据更大的FFT，并且他们可以甚而是优选的从算术计数透视。 例如，类型II DCT与大小DFT是等效的 4N 以均匀标注的真正均匀对称元素是零。 其中一个最共同的方法为计算此通过FFT (即。 在FFTPACK的使用的方法和 FFTW)归结于Makhoul (1980)，并且这个方法后见之明能看作为根值4消灭在时间Cooley-Tukey算法的一步被运用于对应于DCT II.的“逻辑”真正均匀DFT。 (根值4步减少大小 4N DFT到四大小N 真正的数据DFTs，二，其中是零和二，其中与互相是相等的由均匀对称，因此给唯一大小N 真正的数据FFT加上 O(N) 蝴蝶.) 由于均匀被标注的元素是零，这根值4步确切地是相同象分裂根值步; 如果随后大小N 真正数据FFT由真正数据也执行 分裂根值算法 (和在等Sorensen， 1987)，发生的算法实际上然后匹配最低出版算术计数为力量二DCT-II (2N日志2N − N + 2 真正算术操作[1]). 如此，没什么内在地坏关于计算DCT通过FFT从透视它有时仅仅是问题的算术对应的FFT算法是否是优选的。 (作为当务之急，作用叫天花板在祈求一个分开的FFT惯例也许是重大的为小 N，但是这是实施而不是一个算法问题，因为它可以通过展开或inlining解决。)
笔记
- ^ 精确计数真正的算术运算和特别是计数真正的增殖，取决于有些变换定义的结垢。 2N日志2N − N + 2 计数是为这里显示的DCT-II定义; 如果变换由总体，称二增殖可以被保存 因素。 另外的增殖可以被保存，如果你允许变换的产品单独地被重新调节，象由新井等显示。 (1988)为用于JPEG的大小8事例。
参考
- N. Ahmed， T。 Natarajan和K。 R. Rao， “分离余弦变换”， IEEE Trans。 计算机 90-93， 1974年1月。
- Y. 新井， T。 Agui和M。 Nakajima， “一份快速的DCT-SQ计划为图象”， Trans. IEICE 71 (11) 1095-1097 (1988)。
- P. Duhamel和M。 Vetterli， “快速的傅立叶变换： 讲解回顾和科技目前进步水平， “ 信号处理 19 259-299 (1990)。
- E. Feig， S。 Winograd。 “快速的算法为分离余弦变换”， IEEE交易在信号处理 40 (9)， 2174-2193 (1992)。
- Matteo Frigo和史蒂文G。 约翰逊： FFTW, http://www.fftw.org/. 一自由(GPL)可能计算快速的DCTs的C程序库(类型I-IV)在一个或更多维度，任意大小。 并且M。 Frigo和S。 G. 约翰逊， “FFTW3的设计和实施," IEEE的行动 93 (2)， 216-231 (2005)。
- 约翰Makhoul， “快速的余弦在一个和二个维度变换”， IEEE Trans。 Acoust。 讲话信号。 Proc。 28 (1)， 27-34 (1980)。
- S. A. Martucci， “相称卷积和分离正弦和余弦变换”， IEEE Trans。 信号。 处理 SP-42 1038-1051 (1994)。
- A. v. Oppenheim， R。 W. Schafer和J。 R. 大型装配架， 离散时间信号处理再版(学徒霍尔，新泽西1999)。
- K. R. Rao 并且P。 犬吠， 分离余弦变换： 算法，好处，应用 (学术出版社，波士顿1990)。
- H. v. Sorensen， D。 L. 琼斯， M。 T. Heideman和C。 S. Burrus， “Real-valued快速的傅立叶变换算法”， IEEE Trans。 Acoust。 讲话信号。 处理 ASSP-35 849-863 (1987)。
参见
- JPEG -包含一更加容易了解DCT变革的例子
外部链接
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