Voronoi diagram

I matematik, a Voronoi diagram, namngett after Georgy Voronoi, också kallat a Voronoi tessellation, a Voronoi upplösning, eller a Dirichlet tessellation (after Lejeune Dirichlet) är en special sort av upplösning av a meterutrymme beslutsamt distanserar by till specificerad åtskild uppsättning av anmärker i utrymmet, e.g. vid en åtskild uppsättning av pekar.

I det enklast och mest allmänningfallet i det plant, ges vi en uppsättning av pekar S, och det Voronoi diagrammet för S är delningen av det plant som bundsförvanter en region V(p) med varje peka p från S i sådan långt det pekar allt in V(p) var närmare p än till någon annat peka in S.

Definition

För några (topologically) åtskild uppsättning S av pekar in Euclidean utrymme och för nästan några peka x, finns det en pekar av S mest nära till x. Uttrycka är ”nästan” van vid indikerar undantag var en peka x vara lika nästan kan två eller mer pekar av S.

Om S innehåller endast två pekar, a och b, därefter pekar uppsättningen allra equidistant från a och b är a hyperplane- affine subspace av codimension 1. Att hyperplanen är gränsen mellan uppsättningen allra, pekar närmare a än till b, och uppsättningen pekar allra närmare b än till a. Det är perpendicularen bisector av fodra segmentera från a och b.

I allmänhet pekar uppsättningen allra närmare en peka c av S än till någon annat peka av S är den konvexa inre av obegränsat a (i vissa fall) polytope kallade Dirichlet område eller Voronoi cell för c. Uppsättningen av sådan polytopes tessellates helhetsutrymmet, och är Voronoi tessellation motsvara till uppsättningen S. Om dimensionera av utrymmet är endast 2, därefter är det lätt att dra föreställer av Voronoi tessellations, och isåfall kallas de ibland Voronoi diagram.

Rekvisita

dubbelgraf för Voronoi motsvarar ett diagram till Delaunay triangulation för den samma uppsättningen av pekar S.

mest nära para av pekar motsvarar till två närgränsande celler i det Voronoi diagrammet.

Två pekar är närgränsande på konvext skrov om och, om endast deras Voronoi celler delar oändligt en långsida.

Historia

Informellt bruk av Voronoi diagram kan spåras tillbaka till Descartes i 1644. Dirichlet använt bildar 2 dimensionella och 3 dimensionella Voronoi diagram i hans studie av quadraticen i 1850. Brittisk läkare John Snow använde ett Voronoi diagram i 1854 för att illustrera hur majoriteten av folk som dog i Soho koleraepidemin bodde närmare den infekterade breda gatan pumpar, än till någon annat bevattna pumpar.

Voronoi diagram namnges efter rysk mathematician Georgy Fedoseevich Voronoi (eller Voronoy) vem definierade och utstuderat generalen n- dimensionellt fall i 1908. Voronoi diagram som används in geophysics och meteorology för att analysera rumsligt utdelade data (liksom nederbördmätningar) kallas Thiessen polygoner efter amerikanmeteorolog Alfred H. Thiessen. I förtätad materiafysik, är sådan tessellations också bekant som Wigner-Seitz enhetsceller. Voronoi tessellations av reciprocal galler av momenta kallas Brillouin zonplanerar. För allmänna galler in Liegrupper, kallas cellerna enkelt grundområden. I fallet av generalen meterutrymmen, kallas cellerna ofta meter grundpolygoner.

Exempel

Voronoi tessellations av stamgästen galler av pekar itu, eller tre dimensionerar givelöneförhöjning till många förtrogen väntessellations.

Ett 2D galler ger en ojämn honungskakatessellation, med jämbördiga sexhörningar med pekar symmetri; i fallet av ett triangulärt galler för stamgäst är det stamgästen; i fallet av ett rektangulärt galler som sexhörningarna förminskar till rektanglar ror in, och kolonner; a kvadrera galler ger stamgästtessellationen av kvadrerar.
En para av hyvlar med triangulära galler som arrangera i rak linje med varje andra, centrerar ger ordningen av rhombus-capped sexhörniga prismor som ses i honungskaka
A vända mot-centrerat kubik galler ger en tessellation av utrymme med rhombic dodecahedra
A förkroppsliga-centrerat kubik galler ger en tessellation av utrymme med avkortade octahedra

För uppsättningen av pekar (x, y) med x i en åtskild uppsättning X och y i en åtskild uppsättning Y, får vi rektangulära belägger med tegel med pekar inte nödvändigtvis på deras centrerar.

Generalizations

Voronoi celler kan definieras för metrik annan än Euclidean (liksom Mahalanobis eller Manhattan distanserar). However i dessa fall den Voronoi tessellationen inte garanteras för att finnas (eller att vara ”en riktig” tessellation), sedan den equidistant locusen för två pekar kan missa för att vara subspacen av codimension 1, även i det dimensionella fallet 2.

Voronoi celler kan också definieras, genom att mäta, distanserar anmärker som inte är pekar. Det Voronoi diagrammet med dessa celler kallas också medial axel. Även om anmärker är fodrar segmenterar, de Voronoi cellerna inte begränsas av raksträcka fodrar. Den medial axeln används in avbildar segmentation, optisk teckenläsning och andra computational applikationer. I materialvetenskap legerar polycrystalline microstructures i metalliskt föreställs gemensamt genom att använda Voronoi tessellations. En förenklad version av det Voronoi diagrammet av fodrar segmenterar är rakt skelett.

Det Voronoi diagrammet av n pekar in D- dimensionellt utrymme kräver lagringsutrymme. Därför är Voronoi diagram ofta inte görliga för D>2. Ett alternativ är att använda ungefärliga Voronoi diagram, var de Voronoi cellerna har en luddig gräns, som kan approximeras.^[1]

Applikation

A peka läge data strukturerar kan byggas överst av det Voronoi diagrammet för att svara mest nearest grann queries var du önskar att finna anmärka, som är mest nära till en given query, pekar. Mest nearest gränsa till queries har talrika applikationer. Till exempel, när du önskar att finna det mest nearest sjukhuset, eller det mest liknande anmärka i a databas.

Det Voronoi diagrammet är användbart i polymerfysik. Det kan vara van vid föreställer fri volym av polymern.

Det används också i avledningar av kapaciteten av a radion knyter kontakt.

I climatology är Voronoi diagram van vid beräknar nederbörden av ett område som baseras på en serie av, pekar mätningar. I denna användning ses de allmänt till som Thiessen polygoner.

Voronoi diagram används också i datordiagram procedurally för att frambringa några sorter av organiskt se texturerar.

Se också

Förmögenhet algoritm -- Nolla(n logga (n)) algoritmen för utveckling av ett Voronoi diagram från en uppsättning av pekar i ett plant.
Bowyer-Watson algoritm -- en algoritm för utveckling av en Voronoi diagram i några numrerar av dimensionerar.
Computational geometri
Mest nearest gränsa till sökande
Nearest-grann interpolation
Centroidal Voronoi tessellation
Lloyds algoritm
Delaunay triangulation

Hänvisar till

Gustav Lejeune Dirichlet (1850). Über matrisReduktion der positiven quadratischen Formen mit-drei unbestimmten ganzen Zahlen. Föra journal över fürmatrisReine und Angewandte Mathematik, 40:209-227.
Georgy Voronoi (1907). Quadratiques för formes för des för théorie för la för à för continus för paramètres för Nouvelles applikationdes. Föra journal över fürmatrisReine und Angewandte Mathematik, 133: 97-178 1907
Atsuyuki Okabe, Barry kängor, Kokichi Sugihara & sjöng Nok Chiu (2000). Rumsliga Tessellations - begrepp och applikationer av Voronoi diagram. 2nd upplaga. John Wiley, 2000, 671 sidor ISBN 0-471-98635-6
Franz Aurenhammer (1991). Voronoi diagram - en granskning av geometriska data för grund strukturerar. Beräknande granskningar för ACM, 23 (3): 345-405 1991.

^ S. Arya T. Malamatos och D. M. Montering, Göra mellanslag-Effektiva ungefärliga Voronoi diagram, Proc. 34th ACM Symp. på teori av beräkning (STOC 2002), pp. 721-730.

Adrian Bowyer (1981). Beräknande Dirichlet tessellations, Datoren förar journal över 1981 24 (2): 162-166.
David F. Watson (1981). Beräkning av den dimensionella tessellationen för n med applikation till Voronoi polytopes, Datoren förar journal över, Heyden & Sons Ltd., Vol 2, numerisk 24, pp.167-172.
Markera de Berg, Marc skåpbil Kreveld, Markera Overmars, och Otfried Schwarzkopf (2000). Computational geometri, reviderade 2nd upplagan, Springer-Verlag. ISBN 3-540-65620-0. Kapitel 7: Voronoi diagram: pp.147-163. Inkluderar en beskrivning av förmögenhet algoritm.

Utsidan anknyter

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
Creative Commons Licence

Custom Search