Hem › Flersprålkigt arkiv Index › Vektorutrymme

 Top 10 artiklarna Squier '51 Badoo Fluid dynamik /ma/enwiki/sv/nasza-klasa.pl Fransk konjugation Odnoklassniki.ru Sora Aoi Alnico Kanokkorn Jaicheun Aggregatibacter actinomycetemcomitans

News:

Vektorutrymme

I matematik, a vektorutrymme (eller linjärt utrymme) är en samling av anmärker (kallat vektorer) kan det och informellt att tala, skalas och tillfogas. Formellare, är ett vektorutrymme a uppsättning på vilket två funktioner som kallas tillägget (för vektorn) och multiplikation (för scalar), definieras och tillfredsställer bestämt naturligt axioms vilka är listat nedanfört. Vektorutrymmen är det grundläggande anmärker av studie in linjär algebra, och är använt alltigenommatematik, vetenskap och iscensätta.

De mest förtrogen vänvektorutrymmena är två och tredimensionellt Euclidean utrymmen. Vektorer i dessa utrymmen kan föreställas, av beställt, parar eller tredubblar av verkligt numrerar, och var isomorphic till geometriska vektorer- antal med en storlek och en riktning som visas vanligt som pilar. Dessa vektorer kan vara tillfogat använda tillsammans parallellogramen härskar (vektortillägg) eller multiplicerat av verkligt numrerar (scalar multiplikation). Uppförandet av geometriska vektorer under dessa funktioner ger ett bra intuitivt modellerar för uppförandet av vektorer i mer abstrakt vektorutrymmen, som inte behöver att ha en geometrisk tolkning. Till exempel uppsättningen av (verkligt) polynomials bildar ett vektorutrymme.

Tillfredsställer 1 Formell definition 2 Elementär rekvisita 3 Exempel 4 Subspaces och baser 5 Linjärt kartlägger 6 Generalizations 7 Extra strukturerar 8 Noterar 9 Hänvisar till 10 Se också

Formell definition

Låtet F var a sätta in (liksom verkligt numrerar eller komplex numrerar), vars beståndsdelar ska kallas scalars. A vektorutrymme över sätta in F är a uppsättning V samman med två binära funktioner,

• vektortillägg: V × V → V betecknat v + w, var v, w ∈ V, och
• scalar multiplikation: F × V → V betecknat av, var a ∈ F och v ∈ V,

tillfredsställa axioms nedanfört. Fyra av axiomsna kräver vektorer under tillägg att bilda abelian grupp, och två är distributive lagar.

1. Vektortillägget är förena:

   För alla u, v, w ∈ V, har vi u + (v + w) = (u + v) + w.

2. Vektortillägget är kommutativt:

   För alla v, w ∈ V, har vi v + w = w + v.

3. Vektortillägget har identitetsbeståndsdel:

   Det finns en beståndsdel 0 ∈ V, kallat nollvektor, sådan att v + 0 = v för alla v ∈ V.

4. Vektortillägget har omvändningbeståndsdelar:

   För alla v ∈ V, finns där en beståndsdel w ∈ V, kallat tillsatsomvändning av v, sådan att v + w = 0.

5. Distributivity rymmer för scalar multiplikation över vektortillägg:

   För alla a ∈ F och v, w ∈ V, har vi a (v + w) = a v + a w.

6. Distributivity rymmer för scalar multiplikation över sätter in tillägg:

   För alla a, b ∈ F och v ∈ V, har vi (a + b) v = a v + b v.

7. Scalar multiplikation är kompatibel med multiplikation i sätta in av scalars:

   För alla a, b ∈ F och v ∈ V, har vi a (b v) = (ab) v.

8. Scalar multiplikation har identitetsbeståndsdel:

   För alla v ∈ V, har vi 1 v = v, var 1 betecknar multiplicative identitet i F.

Formellt är dessa axiomsna för a enhet, så ett vektorutrymme kan concisely beskrivas som en enhet över en sätta in.

Notera att den sjunde axiomen över och att påstå a (b v) = (ab) v, inte är att påstå associativity av en funktion sedan det finns, ifrågasätter två funktioner in, scalar multiplikation: b v; och sätta in multiplikation: ab.

Några källor väljer också att inkludera två axioms av stängning:

1. V är stängt under vektortillägg:

   Om u, v ∈ V, därefter u + v ∈ V.

2. V är stängt under scalar multiplikation:

   Om a ∈ F, v ∈ V, därefter a v ∈ V.

Emellertid den moderna formella överenskommelsen av funktionerna som kartlägger med codomain V antyder dessa meddelanden vid definition och obviates thus behovet att lista dem som oberoende axioms. Giltigheten av stängningsaxioms är nyckel- till att bestämma huruvida en underdel av ett vektorutrymme är a subspace.

Notera att uttryck av bilda ”,v a” var v ∈ V och a ∈ F, strängt är att tala som inte definieras. På grund av commutativityen av det bakomliggande sätta in, emellertid, ”,a v” och ”,v a” behandlas ofta synonymously. Dessutom om v ∈ V, w ∈ V, och a ∈ F var vektorutrymme V är dessutom algebra över sätta in F därefter a v w = v a w, som gör det lämpligt att betrakta ”,a v” och ”,v a” att föreställa den samma vektorn.

Elementär rekvisita

Det finns ett nummer av rekvisita som följer lätt från vektorutrymmeaxiomsna.

• Nollvektorn 0 ∈ V är unikt:

  Om 0₁ och 0₂ är nollvektorer in V, sådan att 0₁ + v = v och 0₂ + v = v för alla v ∈ V, därefter 0₁ = 0₂ = 0.

• Scalar multiplikation med nollvektoravkastningarna nollvektorn:

  För alla a ∈ F, har vi a 0 = 0.

• Scalar multiplikation vid nollavkastningar nollvektorn:

  För alla v ∈ V, har vi 0 v = 0, var 0 betecknar tillsatsidentiteten in F.

• Inga andra scalar multiplikationsavkastningar nollvektorn:

  Vi har a v = 0 om och om endast a = 0 eller v = 0.

• Tillsatsomvändning−env av en vektor v är unikt:

  Om w₁ och w₂ är tillsatsomvändningar av v ∈ V, sådan att v + w₁ = 0 och v + w₂ = 0, därefter w₁ = w₂. Oss appell omvändning−env och definiera w − v ≡ w + (−v).

• Scalar multiplikation vid negationenhetavkastningar tillsatsomvändningen av vektorn:

  För alla v ∈ V, har vi (−1) v = −v, var 1 betecknar den multiplicative identiteten in F.

• Negationpendlingssträckor fritt:

  För alla a ∈ F och v ∈ V, har vi (−a) v = a (−v) = − (a v).

Exempel

Huvudsaklig artikel: Exempel av vektorutrymmen

Subspaces och baser

Huvudsakliga artiklar: Linjär subspace, Bas

Givet ett vektorutrymme V, ett nonempty underdel W av V det är stängd under tillägg, och scalar multiplikation kallas a subspace av V. Subspaces av V är vektorutrymmen (över samma sätta in), i deras egna rätt. Subspacesna för genomskärningen som innehåller en given uppsättning av vektorer, kallas allra dess spänna över; om ingen vektor kan tas bort, utan att ändra spänna över, sägs uppsättningen för att vara linjärt vilde. En linjärt oberoende uppsättning vars spänner över, är V kallas a bas för V.

Använda Zorns Lemma (som är likvärdigt till axiom av primat) kan det bevisas att varje vektorutrymme har en bas. Det följer från ultrafilterlemma, som är svagare än axiomen av primat, som alla baser av ett givet vektorutrymme har samma cardinality. Således sätter in vektorutrymmen över given fixas upp till isomorphism vid en singel kardinalen numrerar (kallat dimensionera av vektorutrymmet) som föreställer storleksanpassa av basen. För anföra som exempel, de verkliga finite-dimensionella vektorutrymmena är rättvist R⁰, R¹, R², R³, …. Dimensionera av det verkliga vektorutrymmet R³ är tre.

Det var F. Hausdorff som bevisade först att varje vektorutrymme har en bas. Andreas Blass^[1] visade detta theoremblytak till axiom av primat.

En bas gör det möjlighet till uttryckligt varje vektor av utrymmet som en unik tuple av sätta inbeståndsdelarna, även om varna måste övas, när ett vektorutrymme inte har a finite bas. Vektorutrymmen introduceras ibland från detta coordinatised Viewpoint.

Man betraktar ofta vektorutrymmen som bär också ett kompatibelt topologi. Kompatibelt här hjälpmedel som tillägget och scalar multiplikation bör vara fortlöpande funktioner. Detta krav ser till faktiskt att topologin ger löneförhöjning till a enhetligt strukturera. När dimensionera är oändlig, finns det allmänt mer än en inequivalent topologi, som gör studien av topologiska vektorutrymmen rikare än det av allmänna vektorutrymmen.

Endast in sådan topologiska vektorutrymmen can en betraktar oändligt summor av vektorer, dvs. serie, till och med aningen av konvergens. Detta är av betydelse i både pure-, och applied matematik, för anföra som exempel in quantummekaniker, var läkarundersökningsystem definieras som Hilbert utrymmen, eller var Fourier utvidgningar används.

Linjärt kartlägger

Huvudsaklig artikel: Linjärt kartlägga

Givet två vektorutrymmen V och W över samma sätta in F, kan man definiera linjärt kartlägger eller ”linjära omformningar” från V till W. Dessa är fungerar f:V → W det är kompatibel med det relevant strukturerar -, dem dvs. syltsummor och scalar produkter. Den linjära uppsättningen kartlägger allra från V till W, betecknade Hom_F (V, W) också är ett vektorutrymme över F. När baser för båda V och W ger sig, linjärt kartlägger kan uttryckas in benämner av delar som matriser.

isomorphism är ett linjärt kartlägga sådan att det finns omvändningen kartlägger sådan att och var identiteten kartlägger. Ett linjärt kartlägger som är båda one-to-one (injective) och på (surjective) nödvändigtvis är en isomorphism. Om det finns en isomorphism between V och W, sägs de två utrymmena för att vara isomorphic; de är därefter i grunden identiska som vektorutrymmen.

Vektorutrymmena över fixad sätter in F samman med det linjärt kartlägger är a kategori, sannerligen abelian kategori.

Generalizations

Från en abstrakt begrepp peka av beskådar, vektorutrymmen är enheter över en sätta in, F. Allmänningen övar av att identifiera a v och v a i makes för ett vektorutrymme det vektorutrymmet F-F bimodule. Enheter behöver i allmänhet inte att ha baser; de, som (inklusive alla vektorutrymmen) är bekant som fria enheter.

En familj av vektorutrymmen, parametrised fortlöpande vid något som var bakomliggande topologiskt utrymme, är a vektorpacke.

affine utrymme är en uppsättning med a transitive vektorutrymmehandling. Notera, att ett vektorutrymme är ett affineutrymme över honom, vid strukturera kartlägger

Extra strukturerar

Det är till studievektorutrymmen med bestämt extra strukturerar vanligt. Detta är ofta nödvändigt för att återställa det vanligaaningar från geometri.

• Ett verkligt eller komplext vektorutrymme med ett well-defined begrepp av längd, dvs., a norm, kallas a normed vektorutrymme.
• A normed vektorutrymme med det extra well-defined begreppet av meta kallas inre produktutrymme.
• Ett vektorutrymme med a topologi kompatibelt med de sådan funktionerna - att tillägget och scalar multiplikation är fortlöpande kartlägger - kallas a topologiskt vektorutrymme. Det topologiskt strukturerar är relevant, när det bakomliggande vektorutrymmet är oändligt dimensionellt.

• Ett vektorutrymme med ett extra bilinear operatör definition av multiplikationen av två vektorer är algebra över en sätta in.
• beställt vektorutrymme.

Noterar

1. ^ Blass Andreas (1984), ”antyder existens av baser axiomen av primat”, Axiomatic fastställd teori, Proc. AMS-IMS-SIAM Jt. Sommar Res. Conf., stenblock/Colo. 1983 Contemp. Math. 31 31-33., pp. 31–34 

Hänvisar till

• Howard Anton och Chris Rorres. Elementär linjär Algebra, Wiley, 9th upplaga, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann och stråle Kunze. Linjär Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz och Marc Lipson. Schaums skisserar av linjär Algebra, McGraw-Kull, 3rd upplaga, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. Axiomatizationen av linjär algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), nr.en. 3 262-303.
• Gilbert Strang. ”Inledning till linjär Algebra, tredje upplaga”, Wellesley-Cambridge press, ISBN 0-9614088-9-8

Se också

• (Rumslig) vektor,, för vektorer i fysik
• Vektorn sätter in
• Vektorutrymmen without sätter in