Hem › Flersprålkigt arkiv Index › Spektral- metod

Spektral- metod

Spektral- metoder är en klassificera av tekniker som in används applied matematik och vetenskaplig beräkning numeriskt att lösa bestämt partiska differentiella likställandeoch ofta att gälla bruket av Fasta Fourier omformar. Var tillämpbara, har spektral- metoder utmärkt felrekvisita, med så - kallad ”exponential- konvergens” som är den snabbaste möjligheten.

Partiska differentiella likställande (PDEs) beskriver en bred samling av läkarundersökning bearbetar liksom värmer ledning, fluid flöde och låter förökning. I många sådan likställande finns det bakomliggande ”grundläggande vinkar” som kan vara van vid ger effektiva algoritmer för beräknande lösningar till dessa PDEs. I ett typisk fall tar spektral- metoder fördel av detta faktum vid handstil lösningen som dess Fourier serieoch att ersätta denna serie in i PDEN för att få ett system av ODEs i de time-dependent koefficienterna av det trigonometric benämner, i serien (som är skriftlig i komplext exponential- bilda) och att använda enkliva metod för att lösa de ODEs.

Den spektral- metoden och finite beståndsdelmetod var nära släkt och byggd på de samma idéerna; den huvudsakliga skillnaden är dem emellan att den spektral- metoden approximerar lösningen som linjär kombination av fortlöpande fungerar som är allmänt ickenollställda över området av lösningen (vanligt sinusoids eller Chebyshev polynomials) approximerar stunden den finite beståndsdelmetoden lösningen, som en linjär kombination av piecewise fungerar som är ickenollställd på lilla subdomains. På grund av denna tar den spektral- metoden på a globalt att närma sig fördriva den finite beståndsdelmetoden är a lokalen att närma sig. Denna är delen av varför spektral- det bäst metodarbetet, när lösningen är släta.

I den finite beståndsdelgemenskapen en metod var graden av beståndsdelarna är mycket kicken eller förhöjningar, som minskningarna för rasterparameterH till nolla kallas ibland a spektral- beståndsdelmetod.

Genomförandet av den spektral- metoden är normalt fulländat endera med kollokation eller a Galerkin att närma sig.

Ett hårdnaexempel

Här antar vi en grundläggande överenskommelse av grundläggande multivariats- calculus och Fourier serie. Om G (x, y) är ett bekant, komplex-värderat, fungera av två verkliga variabler, och G är periodiskt i x och y (som är, =g för =g för G (x, y) (x+2π, y) (x, y+2π)) därefter intresseras vi, i att finna en fungera f (x, y) så att

var uttryckt på lämnad betecknar understödja partiska derivata av f i x och y, respektive. Detta är Poisson likställande, och kan fysiskt tolkas, som några sorterar av värmer ledningsproblem.

Om vi skriver f och G i den Fourier serien:

och ersätta in i den differentiella likställanden, oss erhåller denna likställande:

Vi har utbytt partisk differentiering med en oändlig summa, som är legitim, om vi antar för anföra som exempel det f har ett fortlöpande att understödja derivatan. Vid unikhettheoremen för Fourier utvidgningar måste vi därefter likställa de Fourier koefficienterna benämner benämner by och att ge sig

(*)

vilken är en explicit formel för de Fourier koefficienterna a_j,K.

För att vända denna in i en algoritm, endast finitely lös många frekvenser för. Detta introducerar ett fel som kan visas för att vara proportionellt till Hⁿ, var H = 1 / n och n är den behandlade högsta frekvensen.

Algoritm

1. Beräkna Fourieren omformar (b_{j K}) av G.
2. Beräkna Fourieren omformar (a_{j K}) av f via formeln (*) och Fourieren omforma av G.
3. Compute f genom att ta en omvändning, omformar Fourier av (a_{j K}).

Storleksanpassa, sedan vi intresseras endast i ett finite fönster av frekvenser (av n, kan något att säga) detta göras genom att använda a Fasta Fourier omformar algoritm. Därför globalt kör algoritmen i tid Nolla(n logga n).

Ett förhållande med den spektral- beståndsdelmetoden

En kan visa det om G oändligt differentiable, därefter numeriskt är använda för algoritm fastar Fourier omformar ska konvergerar snabbare, polynomialen i rastret storleksanpassar än any H. Det är, för något n> 0, finns det a sådan att felet är mindre än CHⁿ för allt tillräckligt litet värderar av H. Vi något att säga, att den spektral- metoden är av, beställer n, för varje n> 0.

Därför att a spektral- beståndsdelmetod är a finite beståndsdelmetod av kick beställa, det finns mycket en likhet i konvergensrekvisitan. Emellertid eftersom den spektral- metoden baseras på eigendecompositionen av den särskilda gränsen, värdera problemet, den spektral- beståndsdelmetoden använder inte den information och fungerar för godtyckligt den elliptiska gränsen värderar problem.

Se också

• Åtskild beståndsdelmetod
• Finite beståndsdelmetod
• Finite volymmetod
• Gaussian raster
• Pseudo-spektral- metod
• Spektral- beståndsdelmetod
• Galerkin metod
• Kollokationmetod

Hänvisar till

• Chebyshev och Fourier spektral- metoder vid John P. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo: En spektral- beståndsdelmetod för Navieren--Fyller på med bränsle likställande med förbättrad exakthet
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A. och Zang T.A. (2006) Spektral- metoder. Grunder i singelområden. Springer-Verlag Berlin Heidelberg