Top 10 artiklarna

Squier '51
Badoo
Fluid dynamik
/ma/enwiki/sv/nasza-klasa.pl
Fransk konjugation
Odnoklassniki.ru
Sora Aoi
Alnico
Kanokkorn Jaicheun
Aggregatibacter actinomycetemcomitans

News:

Den åtskilda cosinen omformar

A den åtskilda cosinen omformar (DCT) uttrycker en ordna av många data pekar finitely benämner in av en summa av cosine fungerar att svänga på olikt frekvenser. DCTs är viktig till talrika applikationer, i vetenskap och att iscensätta, från lossy-kompression av ljudsignal och avbildar (var litet, kan high-frequency delar kasseras), till spektral- metoder för den numeriska lösningen av partiska differentiella likställande. Bruket av cosinen i stället för sinus fungerar är kritiskt i dessa applikationer: för kompression vänder det ut att cosinen fungerar är mycket effektivare (som förklarat nedanfört, mer få var nödvändig att approximera ett typisk signalera) eftersom för differentiella likställande de uttryckliga cosinesna en detalj som är prima av gränsen villkorar.

I synnerhet är en DCT a Fourier-släkt omforma liknande till åtskilda Fourier omformar (DFT), men genom att använda endast verkligt numrerar. DCTs är likvärdigt till DFTs av ungefärligt två gånger längden som fungerar på verkliga data med jämnt symmetri (sedan Fourieren omformar av ett verkligt och fungerar även är verklig och jämn), var i några variants mata in och/eller de tillverkade datan skiftas av halva en ta prov. Det finns åtta standarda DCT-variants, som fyra är allmänningen av.

Den mest allmänningvarianten av den åtskilda cosinen omformar är skrivar-II DCT, som kallas ofta enkelt ”DCTEN”; dess omvändning, skrivar-III DCT, kallas i motsvarande grad ofta enkelt ”omvändningen DCT” eller ”IDCTEN”. Släkta två omformar är den åtskilda sinuset omformar (DST), som är likvärdigt till en DFT av verkligt och udda fungerar, och den ändrade åtskilda cosinen omformar (MDCT), som baseras på en DCT av överlappning data.

Tillfredsställer

Applikationer

DCTEN och i synnerhet DCTEN-II, används ofta in signalerar och avbildar att bearbeta, speciellt för lossy-datakompression, därför att den har en stark ”energicompaction” egenskap (Rao och Yip, 1990): mest av informationen om signalera ansar för att koncentreras i några low-frequency delar av DCTEN, att att närma sig Karhunen-Loève omformar (som är optimal i decorrelationavkänningen), för signalerar baserat på bestämt begränsar av Markov bearbetar. Som förklarat nedanfört stems detta från gränsen villkorar implicit i cosinen fungerar.

Ett släkt omformar, ändrat den åtskilda cosinen omformar, eller MDCT (som baseras på DCTEN-IV), används in AAC, Vorbis, WMA, och MP3 ljudsignalkompression.

DCTs också används brett, i lösning av partiska differentiella likställande av spektral- metoder, var de olika variantsna av DCTEN motsvarar till litet olikt även/den udda gränsen villkorar på tvåna avslutar av samlingen.

DCTs också förbinds nära till Chebyshev polynomials, och fasta (nedanföra) DCT-algoritmer används in Chebyshev närhet av godtyckligt fungerar vid serie av Chebyshev polynomials, till exempel in Clenshaw-Curtis quadrature.

JPEG

Huvudsaklig artikel: JPEG: Den åtskilda cosinen omformar

DCTEN används in JPEG avbilda kompression, MJPEG, MPEG, och DV video kompression. Där den tvådimensionella DCTEN-II av kvarter beräknas, och resultaten är quantized och entropi kodifierade. I detta fall, N är typisk 8, och DCT--IIformeln appliceras till varje ror och kolonnen av kvarteret. Resultatet är 8 som × 8 omformar samverka samling, i som (0,0) (denlämnade) beståndsdelen är den del- DCEN (nolla-frekvens) och tillträden med ökande lodlinje och horisontalindexet värderar föreställer högre lodlinje och horisontalrumsliga frekvenser.

Informell överblick

Gilla any Fourier-släkt omformar, omformar den åtskilda cosinen (DCTs) uttryckligt en fungera, eller en signalera benämner in av en summa av sinusoids med olikt frekvenser och amplituder. Gilla åtskilda Fourier omformar (DFT), fungerar en DCT på en fungera på ett finite numrerar av åtskilda data pekar. Den tydliga skillnaden mellan en DCT och en DFT är, att den tidigare cosinen för bruk endast fungerar, fördriver de sistnämndbruksbåde cosinesna och sinusen (i form av komplexa exponentials). Emellertid är denna synliga skillnad bara en följd av en djupare skillnad: en DCT antyder olikt gränsen villkorar än den släkta DFTEN eller annan omformar.

Detsläkt omformar som fungerar på en fungera över ett finite område, liksom DFTEN eller DCTEN eller aet Fourier serie, kan tänkas av som implicitly definition f8orlängning av det fungera utanför området. Det är, när du skriver en fungera f(x) som en summa av sinusoids kan du utvärdera den summa på några xeven för, x var original f(x) specificerades inte. DFTNA, gillar den Fourier serien, antyder a periodiskt f8orlängningen av original fungerar. En DCT, gillar a cosinen omformar, antyder jämnt f8orlängningen av original fungerar.

Emellertid, därför att DCTs fungerar på finite, åtskild ordnar två utfärdar uppstår som för den fortlöpande cosinen inte omformar. Först måste man att specificera huruvida fungera är jämn eller udda på båda de lämnade och högra gränserna av området (dvs. minutenn och maximaln gränser i de nedanföra definitionerna, respektive). Understödja en måste att specificera omkring vad pekar fungera är jämn eller udda. Betrakta en ordna, i synnerhet abcd av fyra lika görade mellanslag data pekar, och något att säga att vi specificerar ett jämnt lämnat gräns. Det finns två förnuftiga möjligheter: antingen är datan jämna om ta prov a, i vilken fall den jämna f8orlängningen är dcbabcd, eller datan är jämna om peka halvvägs mellan a och de föregående pekar, i vilken fall den jämna f8orlängningen är dcbaabcd (a upprepas).

Dessa val som är bly- till alla standarda variationer av DCTs och också den åtskilda sinuset omformar (DSTs). Varje gräns kan vara endera jämn eller udda (2 val per gräns) och kan vara symmetrisk om data pekar, eller peka halvvägs mellan två data pekar (2 val per gräns), för en slutsumma av möjligheter. Halva av dessa möjligheter, de var lämnat gränsen är jämn, motsvarar till de 8 typerna av DCT; den annan halvan är de 8 typerna av DST.

Dessa villkorar leder den olika gränsen starkt affekt applikationerna av omformningen och till unikt användbar rekvisita för de olika DCT-typerna. Direktast, när att använda som Fourier-är släkt, omformar för att lösa partiska differentiella likställande vid spektral- metoder, villkorar gränsen specificeras direkt som en del av problemet som lös. Eller för MDCT (baserat på skriva-DROPPEN DCT), villkorar gränsen är intimt involverad i MDCT'SENS kritiska egenskap av tajma-området aliasingannulleringen. I ett mer subtil dana, villkorar gränsen är ansvariga för ”den energicompaction” rekvisitan som gör DCTs användbar att avbilda för och ljudsignalkompression, därför att gränserna påverkar klassa av konvergens av något, Fourier-gilla serier.

I synnerhet är det välkänt att några avbrott i en fungera förminska klassa av konvergens av den Fourier serien, så att mer sinusoids är nödvändiga att föreställa fungera med en given exakthet. Den samma principen reglerar usefulnessen av DFTEN, och annan omformar för signalerar kompression: smootheren en fungera är, benämner det mer få i dess DFT, eller DCT krävs för att föreställa den exakt, och, mer kan den vara komprimerad. (Här, oss funderare av DFTEN eller DCT som närhetar för Fourier serie eller cosineserie av en fungera respektive, för att att tala om dess ”smoothness. ”) Emellertid, den implicit periodiciteten av DFT-hjälpmedlet att avbrott uppstår vanligt på gränserna: any slumpmässigt segmentera av en signalera är osannolikt att ha samma att värdera på både de lämnade och högra gränserna. (Det liknande problemet för A uppstår för DSTEN, som den udda lämnade gränsen villkorar i antyder ett avbrott för något fungerar, som inte händer att vara noll på den gräns.), i kontrast, en DCT var båda gränser är jämna alltid avkastningar en fortlöpande f8orlängning på gränserna (även om slutta är allmänt avbrutet). Detta är varför DCTs och i synnerhet DCTs av typer I, II, V och VI (typerna som har två även gränser) allmänt att utföra bättre för signalerar kompression än DFTs och DSTs. I praktiken skriva-II DCT föredras vanligt för sådan applikationer, i delen för resonerar av computational bekvämlighet.

Formell definition

Formellt omformar den åtskilda cosinen är a linjärt, invertible fungera F : RN -> RN (var R betecknar uppsättningen av verkligt numrerar) eller ekvivalentt ett invertible N × N kvadrera matrisen. Det finns flera variants av DCTEN med litet ändrade definitioner. N verkligt numrerar x0, ..., xN-1 omformas in i N verkligt numrerar X0, ..., XN-1 enligt en av formlerna:

DCT-I

Några mer ytterligare författare multiplicerar x0 och xN-1 benämner vid √2 och multiplicerar i motsvarande grad X0 och XN-1 benämner vid 1/√2. Detta gör DCT--Imatrisen ortogonalt, om mer ytterligare en multiplicerar vid ett total- fjäll, dela upp i faktorer av , men bryter riktaöverensstämmelsen med enjämn DFT.

DCTEN-I är exakt motsvarigheten (ett total- fjäll dela upp i faktorer upp till av 2), till en DFT av 2N − 2 verkligt numrerar med jämn symmetri. Till exempel en DCT-I av Nverklig =5 numrerar abcde exakt är motsvarigheten till en DFT av verkliga åtta numrerar abcdedcb (även symmetri) som delas av två. (I kontrast, DCT-typer II-IV gäller enta prov förskjutning i motsvarigheten DFT.),

Notera emellertid, att DCTEN-I inte definieras för N mer mindre än 2. (Alla andra DCT-typer definieras för någon realitet N.)

Således motsvarar DCTEN-I till gränsen villkorar: xn är jämnt omkring n=0 och even omkring n=N-1; på motsvarande sätt för XK.

DCT-II

DCTEN-II är som används, bildar mest gemensam antagligen och ofta ses enkelt till som ”DCTEN”.

Detta omformar är exakt motsvarigheten (ett total- fjäll dela upp i faktorer upp till av 2), till en DFT av 4N verkligt matar in av jämn symmetri var deindexerade beståndsdelarna är nolla. Det är, det är halvan av DFTEN av 4N matar in yn, var y2n = 0, y2n + 1 = xn för , och y4N − n = yn för 0 < n < 2N.

Några mer ytterligare författare multiplicerar X0 benämna vid 1/√2 (se nedanfört för den motsvarande ändringen i DCT-III). Detta gör DCT--IImatrisen ortogonalt, om mer ytterligare en multiplicerar vid ett total- fjäll, dela upp i faktorer av , men bryter riktaöverensstämmelsen med enjämn DFT av halva-skiftat matar in.

DCTEN-II antyder gränsen villkorar: xn är jämnt omkring n=-1/2 och even omkring n=N-1/2; XK är jämnt omkring K=0 och udda omkring K=N.

DCT-III

Därför att det är omvändningen av DCT-II (ett fjäll dela upp i faktorer, ser upp till nedanfört), bildar detta ses ibland enkelt till som ”omvändningen DCT” (”IDCT”).

Några mer ytterligare författare multiplicerar x0 benämna vid 1/√2 (se över för den motsvarande ändringen i DCT-II), så att DCTEN-II, och DCT-III är transponerar av en another. Detta gör DCT--IIImatrisen ortogonalt, om mer ytterligare en multiplicerar vid ett total- fjäll, dela upp i faktorer av , men bryter riktaöverensstämmelsen med enjämn DFT av halva-skiftat tillverkat.

DCTEN-III antyder gränsen villkorar: xn är jämnt omkring n=0 och udda omkring n=N; XK är jämnt omkring K=-1/2 och even omkring K=N-1/2.

DCT-IV

DCT--IVmatrisen blir ortogonalt om mer ytterligare en multiplicerar vid ett total- fjäll, dela upp i faktorer av .

En variant av DCTEN-IV, var data från olikt omformar, är överlappat, kallas den ändrade åtskilda cosinen omformar (MDCT).

DCTEN-IV antyder gränsen villkorar: xn är jämnt omkring n=-1/2 och udda omkring n=N-1/2; på motsvarande sätt för XK.

DCT V-VIII

DCT-typer som I-IV är likvärdigt verklig-jämna DFTs av även, beställer (utan hänsyn till huruvida N är jämnt eller udda), sedan den motsvarande DFTEN är av längd 2 (N−1) (för DCT-I) eller 4N (för DCT-II/III) eller 8N (för DCT-VIII). I princip finns det faktiskt fyra extra typer av den åtskilda cosinen omformar (Martucci, 1994) och att motsvara i grunden till verklig-jämna DFTs av logiskt udda beställer, som ha dela upp i faktorer av i nämnarna av cosineargumenten.

Ekvivalentt antyder DCTs av typer I-IV gränser som är även/udda runt om endera data pekar för båda gränser, eller halvvägs mellan två data pekar för båda gränser. DCTs av typer V-VIII antyder gränser som även/udda runt om data peka för en gräns, och halvvägs mellan två data pekar för den annan gränsen.

Emellertid verkar dessa variants sällan för att användas i praktiken. Man resonerar, är kanske att FFT-algoritmer för udda-längden DFTs är allmänt mer försvårad än FFT-algoritmer för jämn-längden DFTs (e.g. de enklaste algoritmerna radix-2 är endast för jämna längder), och denna ökande förveckling bär över till DCTsen som beskriven nedanför.

(Den triviala verklig-jämna samlingen, en längd-en DFT (udda längd) av en singel numrerar a, motsvarar till en DCT-V av längden N=1.)

Omvändningen omformar

Omvändningen av DCT-I är DCT-I som multipliceras av 2 (N-1). Omvändningen av DCT-IV är DCT-IV som multipliceras av 2N. Omvändningen av DCT-II är DCT-III som multipliceras av 2N (och omvänt).

Något liknande för DFT, dela upp i faktorer normalizationen framme av dessa omformar definitioner är bara en regel och skilja sig åt mellan behandlingar. Till exempel multiplicerar några författare omformar by dela upp i faktorer, så att omvändningen inte kräver any extra multiplicative. Kombinerat med anslå dela upp i faktorer av √2 (se över), denna kan vara van vid gör omformningsmatrisen ortogonalt.

Multidimensional DCTs

Multidimensional variants av de olika DCT-typerna följer straightforwardly från de one-dimensional definitionerna: de är en skiljbar produkt (ekvivalentt, en sammansättning) av DCTs längs varje dimensionerar enkelt.

Till exempel är en tvådimensionell DCT-II av en avbilda eller en matris enkelt den one-dimensional DCTEN-II, från över som utförs längs, ror och därefter längs kolonnerna (eller omvänt). Det är, den 2d DCTEN-II ger sig av formeln (utelämnande av normalization och av annat fjäll dela upp i faktorer, som över):

Tekniskt och att beräkna en två (eller multi-) dimensionell DCT ordnar by av one-dimensional DCTs längs varje dimensionerar är bekant som a ro-kolonn algoritm (efter det tvådimensionella fallet). Som med multidimensional FFT-algoritmer, emellertid, finns det andra metoder som beräknar de samma tingstunderna som utför uträkningarna i ett olikt, beställer (dvs. insättning/som kombinerar algoritmerna för det olikt, dimensionerar). ``,

Avbilda till rätten visar kombination av horisontal- och lodlinjefrekvenser för 8 x 8 (N1 = N2 = 8) tvådimensionell DCT. Varje kliver från lämnat till rätten och överträffar för att bottna är en förhöjning i frekvens vid 1/2 cyklar. Till exempel kvadrerar röra rätt en från överträffa-lämnad avkastningar encykla förhöjning i horisontalfrekvensen (går från vit att svärta). En annan flyttning till de högra avkastningarna två halva-cyklar (vit som svärtar till vit). En flyttning besegrar avkastningar två halva-cyklar horisontellt och encykla vertikalt. Källdatan (8x8) omformas till a linjär kombination av dessa 64 frekvens kvadrerar.

Uträkning

Även om riktaapplikationen av dessa skulle formler kräver nolla (N2) funktioner, är det möjligheten som beräknar det samma tinget med endast nolla (N logga N) komplexitet, vid factorizing av uträkningen på motsvarande sätt till fasta Fourier omformar (FFT). En kan också beräkna DCTs via FFTs som kombineras med nolla (N) pre- och post-processing kliver.

De effektivaste algoritmerna, i princip, är vanligt de, som specialiseras direkt för DCTEN, som motsatt till att använda en positiv nolla för det vanliga FFT (N) extra funktioner (se nedanfört för ett undantag). Emellertid ”specialiserade även” inklusive DCT-algoritmer (alla de, som uppnår de lägsta bekant arithmetic räkningarna, åtminstone för driva-av-två storleksanpassar) förbinds typisk nära till FFT, algoritm-sedan DCTs är i grunden DFTs av verklig-jämna data, en kan planlägga en algoritm för fasta DCT, genom att ta en FFT och att avlägsna de överflödiga funktionerna tack vare denna symmetri. Detta kan även göras automatiskt (Frigo & Johnson, 2005). Algoritmer som baseras på Cooley-Tukey FFT algoritm är mest allmänning, men någon annan FFT-algoritm är också tillämpbar. Till exempel var den Winograd FFT algoritmblytaket till minsta-multiplikation algoritmer för DFTEN, albeit allmänt på kosta av mer tillägg och en liknande algoritm föreslagen vid Feig & Winograd (1992) för DCTEN. Därför att alla algoritmerna för DFTs, DCTs och liknande omformar är så nära släkta, någon förbättring i algoritmer för en omformar ska teoretiskt bly- till omgående affärsvinster för annan omformar som väl (Duhamel & Vetterli, 1990).

Algoritmer för stunder DCT, som använder en oförändrad FFT, har ofta någon teoretisk fast utgift som jämförs till de bäst specialiserade DCT-algoritmerna, gamlan har också, en distinkt fördel: högt optimerade FFT-program är brett tillgängliga. Således i praktiken, är det ofta lättare att erhålla kickkapaciteten för allmänna längder N med FFT-baserade algoritmer. (Kapaciteten på modern maskinvara typisk inte domineras enkelt av arithmetic räkningar, och optimization kräver väsentligheten som iscensätter försök.), ser specialiserade DCT-algoritmer, å ena sidan, att utbrett bruk för omformar av litet, fixat storleksanpassar liksom DCT-II som in används JPEG kompression, eller den små DCTsen (eller MDCTs) använde typisk i ljudsignalkompression. (Förminskat kodifiera storleksanpassar kan också vara en resonera som använder en specialiserad DCT för bädda in-apparat applikationer.),

I faktum även är DCT-algoritmerna som använder en det vanliga FFT, ibland motsvarigheten till att beskära de överflödiga funktionerna från en större FFT av verklig-symmetriska data, och de kan även vara optimala från perspektiv av arithmetic räkningar. Till exempel skriva-II DCT är likvärdigt till en DFT av storleksanpassar 4N med denjämna symmetrin vars jämn-indexerade beståndsdelar är nolla. En av de mest allmänningmetoderna för att beräkna detta via en FFT (e.g. metoden som används i FFTPACK och FFTW) tack vare är Makhoul (1980), och denna metod i efterklokhet kan ses som en kliver av en radix-4 decimation-i-tajmar den Cooley-Tukey algoritmen som appliceras till ”den logiska” verklig-jämna DFTEN som motsvarar till DCTEN II. (Radixna-4 kliver förminskar storleksanpassa 4N DFT till format fyraN DFTs av verkliga data, två av som är nolla och två, som var jämbördig av till en another vid den jämna symmetrin som hence ger ett singelformatN FFT av den verkliga dataplusen Nolla(N) fjärilar.) Därför att deindexerade beståndsdelarna är nolla, kliver denna radix-4 är exakt samma som enradix kliver; om det följande formatetN verklig-data FFT utförs också av verklig-data splittring-radix algoritm (som i Sorensen o.a., 1987), därefter matchar den resulterande algoritmen faktiskt den lägsta publicerade arithmetic räkningen för driva-av-två DCT-II (2Nlogga2N − N + 2 verklig-aritmetisk funktioner[1]). Så finns det ingenting bjöd i sitt innersta väsen om beräkning av DCTEN via en FFT från en aritmetisk som perspektiv-det är ibland bara en ifrågasätta av den motsvarande FFT-algoritmen är huruvida optimalt. (Som en praktisk materia, fungera-appellen som är över huvudet, i att åkalla en separat rutinmässig styrka för FFT, är viktig för litet N, bara detta är ett genomförande, i stället för ett algorithmic ifrågasätter, sedan det kan lösas, vid unrolling/som inlining.),

Noterar

  1. ^ Preciseraräkningen av verkliga arithmetic funktioner och i synnerhet räkningen av verkliga multiplikationer, beror något på graderingen av omformningsdefinitionen. 2Nlogga2N − N + 2 räkningen är för DCT--IIdefinitionen som här visas; två multiplikationer kan sparas, om omformningen skalas av en overall dela upp i faktorer. Extra multiplikationer kan sparas, om tillstånd ett tillverkar av omformningen för att vara rescaled individuellt, som visades av Arai o.a. (1988) för fallet som size-8 används i JPEG.

Hänvisar till

  • N. Ahmed T. Natarajan och K. R. Rao ”den åtskilda cosinen omformar”, IEEE trans. Datorer, 90-93, Jan 1974.
  • Y. Arai T. Agui och M. Nakajima ”en intrig för fasta DCT-SQ för avbildar,”, Trans. IEICE 71 (11), 1095-1097 (1988).
  • P. Duhamel och M. Vetterli ”fastar Fourier omformar: en tutorial granskar och ett statligt - av - - konsten, ”, Signalera att bearbeta 19, 259-299 (1990).
  • E. Feig S. Winograd. ”Fasta algoritmer för den åtskilda cosinen omformar,”, IEEE transaktioner signalerar på att bearbeta 40 (9), 2174-2193 (1992).
  • Matteo Frigo och Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/. Ett fritt (GPL) Fastar c-arkivet, som kan beräkna, DCTs (typer I-IV) i one or more dimensionerar, av godtyckligt storleksanpassar. Också M. Frigo och S. G. Johnson ”,Designen och genomförandet av FFTW3," Förfaranden av IEEEN 93 (2), 216-231 (2005).
  • John Makhoul, ”en fastacosine omformar i en, och två dimensionerar,”, IEEE trans. Acoust. AnförandeSig. Proc. 28 (1), 27-34 (1980).
  • S. A. Martucci ”den symmetriska invecklad saken och den åtskilda sinuset och cosinen omformar,”, IEEE trans. Sig. Bearbeta SP-42, 1038-1051 (1994).
  • A. V. Oppenheim R. W. Schafer och J. R. Bock, Discrete-Time signalerar att bearbetaunderstödja upplagan (Prentice-Hall, New Jersey, 1999).
  • K. R. Rao och P. Yip, Den åtskilda cosinen omformar: Algoritmer fördelar, applikationer (Akademiska Press, Boston, 1990).
  • H. V. Sorensen D. L. Jones M. T. Heideman och C. S. Burrus ”Real-valued fastar Fourier omformar algoritmer,”, IEEE trans. Acoust. AnförandeSig. Bearbeta ASSP-35, 849-863 (1987).

Se också

  • JPEG - Innehåller ett lättare att förstå exempel av DCT-omformning

Utsidan anknyter


v • D • e
Datakompression metoder
Lossless kompressionsmetoder
Huffman · Lämpliga Huffman · Aritmetisk (Shannon-Fano · Spänna) · Golomb · Exp-Golomb · Universal (Elias · Fibonacci) · Assymetriskt binärt
RLE · LZ77/78 · LZW · LZWL · LZO · DEFLATERA · LZMA · LZX · LZJB
Andra
CTW · BWT · PPM · DMC
Ljudsignalkompressionsmetoder
Andra
Avbilda kompressionsmetoder
Benämner
Metoder
RLE · Fractal · Krusning · SPIHT · DCT · KLT
Andra
Video kompression
Benämner
Andra
Se Kompression formaterar och normal för formaterar och Kompressionsprogramvarugenomföranden för codecs
The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
Creative Commons Licence

 
Custom Search