Диаграмма Voronoi

В математика, a Диаграмма Voronoi, названо поже Georgy Voronoi, также вызвано a Voronoi tessellation, a Разложение Voronoi, или a Tessellation Dirichlet (поже Lejeune Dirichlet), специальное вроде разложение a метрический космос обусловлено определенными расстояниями к дискретный комплект предметов в космосе, например, дискретным комплектом пунктов.

В просто и самом общем случае, в плоскости, нам дают комплект пунктов S, и диаграмма Voronoi для S перегородка плоскости связывает зону V(p) с каждым пунктом p от S in such a way that все пункты внутри V(p) closer to p чем к любому другому пункту внутри S.

Определение

Для любых (топологически) дискретно установите S пунктов внутри Эвклидов космос и для почти любого пункта x, один пункт S наиболее близко к x. Слово «почти» использовано для того чтобы показать исключения где пункт x могут быть равн close to два или несколько пункты S.

Если S содержит только 2 пункта, a и b, после этого комплект всех указывает равнопромежуточное от a и b a сверхплоскость- affine подпространство codimension 1. Той сверхплоскостью будет граница между комплектом всех пунктов closer to a чем к b, и комплект всех пунктов closer to b чем к a. Будет перпендикуляром bisector отрезока линии от a и b.

In general, комплект всех пунктов closer to пункт c S чем к любому другому пункту S интерьер convex a (in some cases unbounded) polytope вызвал Домен Dirichlet или Клетка Voronoi для c. Комплект таких polytopes tessellates весь космос, и Tessellation Voronoi соответствовать к комплекту S. Если размер космоса только 2, то легко нарисовать изображения tessellations Voronoi, и в что случай они иногда вызван Диаграммы Voronoi.

Свойства

двойная диаграмма для Voronoi диаграмма соответствует к Триангулирование Delaunay для такого же комплекта пунктов S.

самая близкая пара пунктов соответствует до 2 смежных клетки в диаграмме Voronoi.

2 пункта смежны на выпуклый корпус если и, то только если их клетки Voronoi делят инфинитно длиннюю сторону.

История

Неофициальную пользу диаграмм Voronoi можно трассировать back to Descartes в 1644. Dirichlet использовано 2 габаритных и 3 габаритных диаграммы Voronoi в его изучении квадратических форм в 1850. Великобританский врач Снежок Джон использовал диаграмму Voronoi в 1854 для того чтобы проиллюстрировать как большинство людей умерли в Soho эпидемия холеры жила closer to зараженный обширный насос улицы чем к любой другой водяной помпе.

Диаграммы Voronoi названы после русского mathematician Georgy Fedoseevich Voronoi (или Voronoy) определило и изучило генералитета n- габаритный случай в 1908. Диаграммы Voronoi использованы внутри геофизика и метеорология для того чтобы проанализировать spatially распределенные данные (such as измерения rainfall) вызовите Полигоны Thiessen после американского meteorologist H. Альфред. Thiessen. В сконденсированная физика дела, такие tessellations также известный как Клетки блока Wigner-Seitz. Tessellations Voronoi взаимная решетка моменты вызовите Зоны Brillouin. Для вообще решеток внутри Группы лож, клетки просто вызваны основные домены. В случае генералитета метрические космосы, клетки часто вызваны метрическо основные полигоны.

Примеры

Tessellations Voronoi регулярно решетки пунктов в 2 или 3 размерах give rise to много знакомых tessellations.

2D решетка дает скачками tessellation сота, с равными шестиугольниками с симметрией пункта; в случае регулярно триангулярной решетки оно регулярно; в случае прямоугольной решетки шестиугольники уменьшают к прямоугольникам в рядках и колонках; a квадрат решетка дает регулярно tessellation квадратов.
Пара плоскостей при триангулярные решетки выровнянные с каждыми другими центризует дает расположение косоугольник-покрынных шестиугольных призм увиденных в соте
A сторон-центризованное кубическое решетка дает tessellation космоса с ромбическое dodecahedra
A тел-центризованное кубическое решетка дает tessellation космоса с усеченные восьмигранники

Для комплекта пунктов (x, y) с x в дискретном комплекте X и y в дискретном комплекте Y, мы получаем прямоугольные плитки с пунктами обязательно на их центрах.

Обобщения

Клетки Voronoi можно определить для metrics за исключением эвклидова (such as Mahalanobis или Manhattan расстояния). Тем ме менее в эти случаи не гарантированы, что существует tessellation Voronoi (или быть «поистине» tessellation), в виду того что равнопромежуточным локусом для 2 пунктов может не суметь быть подпространство codimension 1, даже в габаритном случае 2.

Клетки Voronoi могут также быть определены путем измерять расстояния к предметами не будут пункты. Диаграмма Voronoi с этими клетками также вызвана медиальная ось. Even when предметами будут отрезока линии, клетки Voronoi не прыгнуты прямыми линиями. Медиальная ось использована в сегментации изображения, оптическое распознавание знаков и другие вычислительные применения. В науке материалов, поликристаллические микроструктуры в металлических сплавах общ представлены использующ tessellations Voronoi. Упрощанный вариант диаграммы Voronoi отрезока линии прямой скелет.

Диаграмма Voronoi n пункты внутри d- габаритный космос требует складское помещение. Поэтому, диаграммы Voronoi не часто возможны для d>2. Алтернатива должна использовать приблизительные диаграммы Voronoi, где клетки Voronoi имеют пушистую границу, которая можно приблизиться.^[1]

Применение

A положение пункта структуру данных можно построить on top of диаграмма Voronoi для того чтобы ответить самый близкий сосед queries, где вы хотите найти предмет который самый близкий к, котор дали пункту query. Почти ближние queries имеют многочисленнAp применения. Например, когда вы хотите найти самый близкий стационар, или самый подобный предмет в a база данных.

Диаграмма Voronoi полезна в физике полимера. Его можно использовать для того чтобы представить свободный объем полимера.

Оно также использовано в выводах емкости a беспроволочная сеть.

В климатологии, диаграммы Voronoi использованы для того чтобы высчитать rainfall OBLASTи, основанный на серии измерений пункта. В этом использовании, они вообще refer to как полигоны Thiessen.

Диаграммы Voronoi также использованы в машинной графике procedurally для того чтобы произвести некоторые виды органических смотря текстур.

См. также

Алгоритм удачи -- O(n журнал (n)) алгоритм для производить диаграмму Voronoi от комплекта пунктов в плоскости.
Алгоритм Bowyer-Watson -- алгоритм для производить диаграммы Voronoi в любом числе размеров.
Вычислительная геометрия
Почти ближний поиск
интерполяция Близк-соседа
Tessellation Centroidal Voronoi
Алгоритм Ллойд
Триангулирование Delaunay

Справки

Gustav Lejeune Dirichlet (1850). Der Reduktion плашки Über positiven quadratischen drei mit Formen unbestimmten ganzen Zahlen. Und Angewandte Mathematik Reine плашки für журнала, 40:209-227.
Georgy Voronoi (1907). Quadratiques formes des théorie la à continus paramètres des применений Nouvelles. Und Angewandte Mathematik Reine плашки für журнала, 133: 97-178, 1907
Atsuyuki Okabe, ботинки Барри, Kokichi Sugihara & спетое Nok Chiu (2000). Spatial Tessellations - принципиальные схемы и применения диаграмм Voronoi. 2-ой вариант. Джон Wiley, 2000, 671 страница ISBN 0-471-98635-6
Franz Aurenhammer (1991). Диаграммы Voronoi - обзор основной геометрической структуры данных. Обзоры ACM вычисляя, 23 (3): 345-405, 1991.

^ S. Arya, T. Malamatos, и D. M. Держатель, Космос-Эффективные приблизительные диаграммы Voronoi, Proc. 34th ACM Symp. на теории вычислять (STOC 2002), pp. 721-730.

Эдриан Bowyer (1981). Вычисляя tessellations Dirichlet, Журнал компьютера 1981 24 (2): 162-166.
F. Дэвид. Watson (1981). Вычислять tessellation n габаритное с применением к polytopes Voronoi, Журнал компьютера, Heyden & сынки Ltd., cVol 2, Num 24, pp.167-172.
Марк de Berg, Марк фургон Kreveld, Марк Overmars, и Otfried Schwarzkopf (2000). Вычислительная геометрия, 2-ое откорректировало вариант, Springer-Verlag. ISBN 3-540-65620-0. Глава 7: Диаграммы Voronoi: pp.147-163. Вклюает описание алгоритма удачи.

Внешние соединения

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
Creative Commons Licence

Custom Search