Домашняя страница › Индекса Многоязычнoго Архива › Космос вектора

 Топ 10 статей Направляющий выступ Hitchhiker к галактике (игра компьютера) Pablo Neruda Zaara (серии TV) Clownfish Экстраполяция Великобританское королевская семья Римские цифры Силикат натрия Декартовая система координат Типы незанятости

News:

Космос вектора

В математика, a космос вектора (или линейный космос) собрание вызванных предметов ( векторы) то, неофициально говорящ, может быть вычислено по маштабу и добавлено. Более официально, космосом вектора будет a комплект на определены и удовлетворяют 2 вызванной деятельности, добавлением (вектора) и умножением (скаляра), некоторое естественное аксиомы перечислены ниже. Космосами вектора будут основные предметы изучения внутри линейная алгебра, и используйте в течении математики, науки, и инженерства.

Самые знакомые космосы вектора 2 и трехмерными Эвклидовы космосы. Векторы в этих космосах могут быть представлены приказанными парами или триппелями действительные числа, и однокачественно к геометрические векторы- количества при величина и направление, обычно показываемые как стрелки. Эти векторы могут быть добавленный совместно использовать правило параллелограмма (добавление вектора) или умножено действительными числами (скалярное умножение). Поведение геометрических векторов под этими деятельностями обеспечивает хорошую интуитивную модель для поведения векторов в более абстрактных космосах вектора, которым не нужно иметь геометрическое толкование. Например, комплект (реально) многочленн формирует космос вектора.

Содержание 1 Официально определение 2 Элементарные свойства 3 Примеры 4 Подпространства и основания 5 Линейные карты 6 Обобщения 7 Дополнительные структуры 8 Примечания 9 Справки 10 См. также

Официально определение

Воспрепятствовали F будьте a поле (such as действительные числа или сложные номера), которого элементы вызовет скаляры. A космос вектора над полем F a комплект V совместно с 2 бинарные деятельности,

• добавление вектора: V × V → V обозначено v + w, где v, w ∈ V, и
• скалярное умножение: F × V → V обозначено av, где a ∈ F и v ∈ V,

удовлетворять аксиомы под. 4 из аксиом требуют, что векторы под добавлением формируют абелевская группа, и 2 распределительные законы.

1. Добавление вектора ассоциативно:

   Для всех u, v, w ∈ V, мы имеем u + (v + w) = (u + v) + w.

2. Добавление вектора коммутативно:

   Для всех v, w ∈ V, мы имеем v + w = w + v.

3. Добавление вектора имеет элемент тождественности:

   Существует элемент 0 ∈ V, вызвано zero вектор, такие что v + 0 = v для всех v ∈ V.

4. Добавление вектора имеет обратные элементы:

   Для всех v ∈ v, там существует элемент w ∈ V, вызвано аддитивный inverse v, такие что v + w = 0.

5. Distributivity держит для скалярного умножения над добавлением вектора:

   Для всех a ∈ F и v, w ∈ V, мы имеем a (v + w) = a v + a w.

6. Distributivity держит для скалярного умножения над добавлением поля:

   Для всех a, b ∈ F и v ∈ V, мы имеем (a + b) v = a v + b v.

7. Скалярное умножение совместимо с умножением в поле скаляров:

   Для всех a, b ∈ F и v ∈ V, мы имеем a (b v) = (ab) v.

8. Скалярное умножение имеет элемент тождественности:

   Для всех v ∈ V, мы имеем 1 v = v, где 1 обозначает перемножительная тождественность в F.

Официально, эти будут аксиомы для a модуль, поэтому космос вектора может сжато быть описан как модуль над полем.

Заметьте что седьмая аксиома выше, заявляющ a (b v) = (ab) v, не утверждать associativity деятельности, в виду того что 2 деятельности в вопросе, скалярное умножение: b v; и умножение поля: ab.

Некоторые источники выбирают также включить 2 аксиомы закрытие:

1. V закрыто под добавлением вектора:

   Если u, v ∈ V, после этого u + v ∈ V.

2. V закрыто под скалярным умножением:

   Если a ∈ F, v ∈ V, после этого a v ∈ V.

Однако, самомоднейшее официально вникание деятельностей как карты с codomain V подразумевает эти заявления определением, и таким образом obviates потребность перечислить их как независимо аксиомы. Ценностьь аксиом закрытия ключева к обусловливать будет ли подсовокупностью космоса вектора a подпространство.

Заметьте что выражения формы «v a», где v ∈ V и a ∈ F, strictly speaking, не определите. Из-за commutativity основного поля, однако, «a v» и «v a» часто обработайте синонимно. Дополнительно, если v ∈ V, w ∈ V, и a ∈ F где космос вектора V будет дополнительн алгебра над полем F после этого a v w = v a w, который делает его удобно рассматривать «a v» и «v a» представить такой же вектор.

Элементарные свойства

Будут несколько свойства следуют за легко от аксиом космоса вектора.

• Zero вектор 0 ∈ V будет уникально:

  Если 0₁ и 0₂ zero векторы внутри V, такие что 0₁ + v = v и 0₂ + v = v для всех v ∈ V, после этого 0₁ = 0₂ = 0.

• Скалярное умножение с zero вектором производит zero вектор:

  Для всех a ∈ F, мы имеем a 0 = 0.

• Скалярное умножение нул производит zero вектор:

  Для всех v ∈ V, мы имеем 0 v = 0, где 0 обозначает аддитивную тождественность внутри F.

• Никакое другое скалярное умножение не производит zero вектор:

  Мы имеем a v = 0 если и только если a = 0 или v = 0.

• Аддитивное обратное −v вектора v будет уникально:

  Если w₁ и w₂ аддитивные inverses v ∈ V, такие что v + w₁ = 0 и v + w₂ = 0, после этого w₁ = w₂. Мы вызываем обратное −v и определите w − v ≡ w + (−v).

• Скалярное умножение отрицательным всеединством производит inverse добавки вектора:

  Для всех v ∈ V, мы имеем (−1) v = −v, где 1 обозначает перемножительную тождественность внутри F.

• Отрицание коммутирует свободно:

  Для всех a ∈ F и v ∈ V, мы имеем (−a) v = a (−v) = − (a v).

Примеры

Главным образом статья: Примеры космосов вектора

Подпространства и основания

Главным образом статьи: Линейное подпространство, Основа

Дали космос вектора V, nonempty подсовокупность W V то закрыто под добавлением и скалярное умножение вызвано a подпространство V. Подпространства V космосы вектора (над таким же полем) в их собственном праве. Пересечение всех подпространств содержа, котор дали комплект векторов вызвано сво пядь; если никакой вектор можно извлечь без изменять пядь, то комплект is said to be линейно независимо. Линейно независимо комплект пядь V вызывает a основа для V.

Использование Лемма Zorn (соответствующе к аксиома выбора), его можно доказать что каждый космос вектора имеет основу. Оно следует за от лемма сверхфильтра, который слабо чем аксиома выбора, которой все основания, котор дали космоса вектора имеют эти же cardinality. Таким образом космосы вектора над, котор дали полем исправлены up to однокачественность одиночной кардинальное номер (вызвано размер космоса вектора) представляя размер основы. For instance, реальные небесконечн-габаритные космосы вектора справедливы R⁰, R¹, R², R³, …. Размер реального космоса вектора R³ 3.

Было F. Hausdorff сперва доказало что каждый космос вектора имеет основу. Andreas Blass^[1] показал это теорема водит к аксиома выбора.

Основа делает его по возможности выразить каждый вектор космоса как уникально tuple элементов поля, хотя предосторежение необходимо работать когда космос вектора не имеет a небесконечно основа. Космосы вектора иногда введены от этого coordinatised точка зрения.

Часто рассматривать космосы вектора также носят совместимое топология. Совместимо здесь намеревает что добавлением и скалярным умножением должны быть работы в непрерывном режиме. Это требование фактическ обеспечивает что топология give rise to a равномерная структура. Когда размер инфинитен, вообще больше чем одна inequivalent топология, которая делает изучение топологических космосов вектора богато чем то из вообще космосов вектора.

Только в таких топологические космосы вектора чонсервная банка одно рассматривает инфинитно суммы векторов, т.е. серия, через придумку схождение. Это важности и в чисто и applied математик математике, for instance внутри механики суммы, где физические системы определены как Космосы Hilbert, или где Расширения Fourier используйте.

Линейные карты

Главным образом статья: Линейная карта

Дали 2 космоса вектора V и W над таким же полем F, можно определить линейные карты или «линейные преобразования» от V к W. Эти функции f:V → W то совместимо с уместной структурой - т.е., они сохраняют суммы и скалярные продукты. Комплект всех линейных карт от V к W, обозначенное Hom_F (V, W), также космос вектора сверх F. Когда основания для обоих V и W дайте, линейные карты смогите быть выражено in terms of компоненты как матрицы.

однокачественность линейное карта такие что существует обратная карта такие что и карты тождественности. Линейная карта оба взаимнооднозначного (injective) и на (surjective) обязательно однокачественность. Если существует однокачественность V и W, 2 космоса как сказано однокачественно; они после этого необходимо идентичны как космосы вектора.

Космосы вектора над фикчированным полем F совместно с линейными картами a категория, деиствительно абелевская категория.

Обобщения

От абстрактной точки зрения, космосы вектора модули над полем, F. Общяя практика определять a v и v a в векторе космос делает космос вектора F-F bimodule. Модулям вообще не нужно иметь основания; те делают (включая все космосы вектора) известный как свободно модули.

Семья космосов вектора, parametrised непрерывно некоторым основным топологический космос, a пачка вектора.

affine космос комплект с a транзитивно действие космоса вектора. Заметьте что космосом вектора будет космос affine над собой, карта структуры

Дополнительные структуры

Оно обще к космосам вектора изучения с некоторыми дополнительными структурами. Это часто обязательно для брать обычные придумки от геометрии.

• Реальный или сложный космос вектора с well-defined принципиальной схемой длина, т.е., a норма, вызывает a normed космос вектора.
• A normed космос вектора с дополнительной well-defined принципиальной схемой угол вызывает внутренний космос продукта.
• Космос вектора с a топология совместимо с деятельностями - такими что добавление и скалярное умножение непрерывные карты - вызывает a топологический космос вектора. Топологическая структура уместна когда основной космос вектора инфинитные габаритные.

• Космос вектора с дополнительным двухлинейный оператор определять умножение 2 векторов алгебра над полем.
• приказанный космос вектора.

Примечания

1. ^ Blass, Andreas (1984), «существование оснований подразумевает аксиому выбора», Аксиоматичная установленная теория, Proc. AMS-IMS-SIAM Jt. Лето Res. Conf., Boulder/Colo. 1983, Contemp. Математика. 31, 31-33., pp. 31–34 

Справки

• Говард Anton и Крис Rorres. Элементарная линейная алгебра, Wiley, 9th вариант, ISBN 0-471-66959-8.
• Кеннет Hoffmann и Рэй Kunze. Линейная алгебра, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz и Марк Lipson. План Schaum линейной алгебры, McGraw-Холм, 3-ий вариант, ISBN 0-07-136200-2.
• H. Грегори. Moore. Аксиоматизируемость линейной алгебры: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), нет. 3, 262-303.
• Гилберт Strang. «Введение к линейной алгебре, третьему варианту», давление Wellesley-Cambridge, ISBN 0-9614088-9-8

См. также

• Вектор (spatial), для векторов в физике
• Поле вектора
• Космосы вектора без полей