Домашняя страница › Индекса Многоязычнoго Архива › Спектральный метод

Спектральный метод

Спектральные методы тип методов используемых внутри applied математик математика и научный вычислять численно разрешить уверенное частично дифференциальные уравнения, часто включающ пользу Быстрое fourier transform. Где применимо, спектральные методы имеют превосходные свойства ошибки, с поэтому - вызванное «степенное схождение» самые быстрые по возможности.

Частично дифференциальные уравнения (PDEs) описывают широкий массив физических процессов such as кондукция жары, жидкая подача, и распространение звука. В много таких уровнений, будут основные «основные волны» которые можно использовать дают эффективным алгоритмам для вычисляя разрешений к этим PDEs. В типичном случае, спектральные методы take advantage of этот факт путем писание разрешения как сво Серия Fourier, заменяющ эту серию в PDE для того чтобы получить систему ODEs в time-dependent коэффициентах тригонометрических термин в серии (написанной в сложной степенной форме), и использовании метода врем-шагать разрешить т ODEs.

Спектральный метод и метод небесконечного элемента близко отнесите и построьте на таких же идеях; главным образом разница между ими что спектральный метод приближается разрешение как линейная комбинация непрерывных функций вообще безнулево над доменом разрешения (обычно sinusoids или Многочленн Chebyshev), пока метод небесконечного элемента приближается разрешение по мере того как линейная комбинация piecewise функций которые безнулевы на малых subdomains. Из-за этого, спектральный метод принимает на a глобальный подход пока методом небесконечного элемента будет a местнический подход. Это будет часть почему спектральная работа метода наиболее наилучшим образом когда разрешение ровно.

В небесконечной общине элемента, методе где STEPENь природная стихия очень высок или увеличениях по мере того как уменшения h параметра решетки до нул иногда вызваны a спектральный метод элемента.

Вставка спектрального метода нормальн выполнена тому с коллокация или a Galerkin подход.

Конкретный пример

Здесь мы предполагаем основное вникание основное multivariate calculus и Серия Fourier. Если g (x, y) известный, то сложн-оцененная функция 2 реальных перемеююых, и g периодически в x и y (that is, =g =g g (x, y) (x+2π, y) (x, y+2π)) после этого мы заинтересованн в находить функцию f (x, y) TAK, CTO

где выражение на левой стороне обозначает вторые частично производные f в x и y, соответственно. Это Уровнение Poisson, и смогите физическ быть интерпретировано как некоторый вид проблемы кондукции жары.

Если мы пишем f и g в серии Fourier:, то

и замените в дифференциальное уравнение, мы получите это уровнение:

Мы обменивали частично дифференцированием с инфинитной суммой, которая правомерна если мы принимаем for instance то f имеет непрерывное второе производный. теоремой уникальности для расширений Fourier, мы должны после этого приравнивать термин коэффициентов Fourier терминой, давая

(*)

будет точная формула для коэффициентов Fourier a_j,k.

Для того чтобы повернуть это в алгоритм, только небесконечно много частот разрешены для. Это вводит ошибку смогите быть показано, что быть пропорционально к hⁿ, где h = 1 / n и n самая высокая обработанная частота.

Алгоритм

1. Вычислите fourier transform (b_{j, k}) g.
2. Вычислите fourier transform (a_{j, k}) f через формулу (*) и fourier transform g.
3. Compute f путем принимать обратное fourier transform (a_{j, k}).

В виду того что мы только заинтересованн в небесконечном окне частот (размера n, мнение) это можно сделать использующ a Быстрое fourier transform алгоритм. Поэтому, гловально алгоритм бежит в времени O(n журнал n).

Отношение с спектральным методом элемента

Одно может показать то если g инфинитно differentiable, после этого численный алгоритм используя быстрый Fourier преобразовывает сойдется более быстро чем нисколько полином в H. размера решетки. That is, на любой n> 0, будет a такие что ошибка чем Chⁿ для совсем достаточно малых значений h. Мы говорим что спектральный метод заказа n, на каждый n> 0.

Потому что a спектральный метод элемента a метод небесконечного элемента очень строгого порядк порядка, будет сходство в свойствах схождения. Однако, тогда как спектральный метод основан на eigendecomposition определенной проблемы значения границы, спектральный метод элемента не использует ту информацию и не работает для произвольного эллиптические проблемы значения границы.

См. также

• Дискретный метод элемента
• Метод небесконечного элемента
• Небесконечный метод тома
• Гауссовая решетка
• Псевдо-спектральный метод
• Спектральный метод элемента
• Метод Galerkin
• Метод коллокации

Справки

• Chebyshev и методы Fourier спектральные Джон P. Boyd.
• Ксавьер de Frutos, Джулия Novo: Спектральный метод элемента для Navier--Stokes уровнения с улучшенной точностью
• C. Canuto, Hussaini M. Y., A. Quarteroni, и Zang T.A. (2006) Спектральные методы. Принципы в одиночных доменах. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg