Домашняя страница › Индекса Многоязычнoго Архива › Координированный вектор

 Топ 10 статей Направляющий выступ Hitchhiker к галактике (игра компьютера) Pablo Neruda Zaara (серии TV) Clownfish Экстраполяция Великобританское королевская семья Римские цифры Силикат натрия Декартовая система координат Типы незанятости

News:

Координированный вектор

В линейная алгебра, a координированный вектор точное представление вектора в абстрактный космос вектора по мере того как приказанный перечень номера или, соответствующе, как элемент координированный космос Fⁿ. Координированные векторы позволяют вычисления с абстрактные предметы быть преобразованным в вычисления с блоками номеров (матрицы и векторы колонки), которым мы умеем как к сделайте точно.

Содержание 1 Определение 2 Стандартное представление 3 Примеры 3.1 Пример 1 3.2 Пример 2 4 Матрица преобразования основы 4.1 Вывод 4.2 Примечания

Определение

Воспрепятствовали V будьте a космос вектора размер n над a поле F и препятствуйте

будьте приказанная основа для V. После этого для каждого будет уникально линейная комбинация векторов основы приравнивает v:

одним из определяя свойств оснований, α-s обусловлены уникально мимо v и B. Теперь, мы определяем координированный вектор v relative to B быть following вектор колонки:

Это также вызвано представление v с уважением b, или Представление b v.

Α-s вызваны координаты v.

Стандартное представление

Мы можем mechanize вышеуказанное преобразование путем определять функцию φ_B, вызвано стандартное представление v по отношению к b, т принимает каждый вектор к своему координированному представлению: φ_B(v) = [v]_B. После этого φ_B линейное преобразование от V к Fⁿ. В действительности, оно однокачественность, и сво обратно просто

Друг, мы смогли определить быть вышеуказанной функцией от осуществлянного начала, тому однокачественность, и после того как я определена φ_B быть своим inverse.

Примеры

Пример 1

Препятствуйте P3 быть космосом все алгебреического многочленн в STEPENи меньш чем 4 (т.е. самая высокая степень x могут быть 3). Этот космос линейный и spanned following многочленн:

B_P = {1,x,x²,x³}

сопрягать

после этого соответствуя координированный вектор к полиному

.

Согласно тому представлению, дифференцирование оператор d/dx мы маркируем d будет представлено following матрица:

Использующ тот метод легко исследовать свойства оператора: such as invertibility, эрмитовско или anti-эрмитовско или никак, спектр и эйгенвалюы и больше.

Пример 2

Матрицы Pauli представляет закрутка оператор преобразовывая закрутку eigenstates в координаты вектора.

Матрица преобразования основы

Воспрепятствовали B и C 2 по-разному основания космоса вектора V, и препятствуйте нам маркировать с матрица имеет consist of колонок C представление векторов основы b₁, b₂,…, b_n:

Эта матрица refer to как матрица преобразования основы от B к C, и смогите быть использовано для преобразовывать любой вектор v от a B представление к a C представление, согласно following теорема:

Если E будет стандартная основа, преобразование от B к E смогите быть представлено с following упрощанной нотацией:

где

и

Вывод

Эта матрица Обратимая матрица и M^-1 матрица преобразования основы от C к B. In other words,

Примечания

1. Матрицу преобразования основы можно сосчитать как автоморфность сверх V.
2. Легко вспомнить теорему

заметьте то M 's верхной индекс и v 's приписка индексы «отменяют» и M 'приписка s становит v 'приписка s новая. Это «отменяя» индексов будет не реальный отменять а довольно удобная и интуитивно апеллируя манипуляция символов, позволенные соотвествующе выбранной нотацией.