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Método Spectral

Métodos Spectral é uma classe das técnicas usadas dentro matemática aplicada e computar científico para resolver numericamente certo equações diferenciais parciais, frequentemente envolvendo o uso do Fourier rápido transforma. Onde aplicáveis, os métodos spectral têm propriedades excelentes do erro, com assim que - “convergência exponencial chamada” que é os possíveis o mais rápido.

As equações diferenciais parciais (PDEs) descrevem uma disposição larga de processos físicos tais como a condução do calor, o fluxo fluido, e a propagação do som. Em muitas tais equações, há “as ondas básicas subjacentes” que podem ser usadas dão a algoritmos eficientes para soluções computando aos estes PDEs. Em um caso típico, os métodos spectral fazem exame da vantagem deste fato escrevendo a solução como sua Série de Fourier, substituindo esta série no PDE para começar um sistema de ODEs nos coeficientes time-dependent dos termos trigonometric na série (escrita no formulário exponencial complexo), e em usar um método tempo-pisar resolver aqueles ODEs.

O método spectral e método de elemento finito pròxima são relacionados e construídos nas mesmas idéias; a diferença principal entre eles é que o método spectral aproxima a solução como combinação linear das funções contínuas que são geralmente nonzero sobre o domínio da solução (geralmente sinusoids ou Polynomials de Chebyshev), quando o método de elemento finito aproximar a solução porque uma combinação linear piecewise das funções que são nonzero em subdomains pequenos. Por causa deste, o método spectral faz exame em a aproximação global quando o método de elemento finito for a aproximação local. Esta é parte de porque o trabalho spectral do método melhor quando a solução é liso.

Na comunidade finita do elemento, em um método onde o grau dos elementos seja muito elevado ou em aumentos como as diminuições do parâmetro h da grade a zero são chamadas às vezes a método spectral do elemento.

A execução do método spectral é realizada normalmente qualquer um com collocation ou a Galerkin aproximação.

Um exemplo concreto

Aqui nós presumimos uma compreensão básica de multivariate básico cálculo e Série de Fourier. Se g (x, y) for sabido, a função complexo-avaliada de duas variáveis reais, e g são periódicos em x e em y (isto é, =g do =g de g (x, y) (x+2π, y) (x, y+2π)) então nós estamos interessados em encontrar uma função f (x, y) de modo que

onde a expressão na esquerda denota os segundos derivatives parciais de f em x e em y, respectivamente. Isto é Equação de Poisson, e pode fisicamente ser interpretado como alguma sorte do problema da condução do calor.

Se nós escrevermos f e g na série de Fourier:

e substitua na equação diferencial, nós obtêm esta equação:

Nós trocamos o differentiation parcial com uma soma infinita, que fosse legitimate se nós supuséssemos por exemplo aquele f tem um segundo derivative contínuo. Pelo theorem do uniqueness para expansões de Fourier, nós devemos então igualar o termo dos coeficientes de Fourier pelo termo, dando

(*)

qual é uma fórmula explícita para os coeficientes de Fourier a_j,k.

Para girar esta em um algoritmo, somente muitas freqüências são resolvidas finita para. Isto introduz um erro a que possa ser mostrado para ser proporcional hⁿ, onde h = 1 / n e n é a freqüência a mais elevada tratada.

Algoritmo

1. Compute o Fourier transformam (b_{j, k}) de g.
2. Compute o Fourier transformam (a_{j, k}) de f através da fórmula (*) e do Fourier transforme de g.
3. Cálculo f fazendo exame de um Fourier inverso transforme de (a_{j, k}).

Desde que nós estamos somente interessados em uma janela finita das freqüências (do tamanho n, a palavra) isto pode ser feita usando a Fourier rápido transforma algoritmo. Conseqüentemente, global o algoritmo funciona a tempo O(n registro n).

Um relacionamento com o método spectral do elemento

Um pode mostrar aquele se g é infinita differentiable, então o algoritmo numérico que usa Fourier rápido transforma convergirá mais rapidamente do que polynomial no tamanho H. da grade. Isto é, para algum n> 0, há a tais que o erro é menos do que Chⁿ para valores toda suficientemente pequenos de h. Nós dizemos que o método spectral é da ordem n, para cada n> 0.

Porque a método spectral do elemento é a método de elemento finito da ordem muito elevada, há uma similaridade nas propriedades da convergência. Entretanto, visto que o método spectral é baseado no eigendecomposition do problema de valor de limite particular, o método spectral do elemento não usa essa informação e não trabalha para arbitrário problemas de valor de limite elliptic.

Veja também

• Método discreto do elemento
• Método de elemento finito
• Método finito do volume
• Grade Gaussian
• método Pseudo-spectral
• Método Spectral do elemento
• Método de Galerkin
• Método do Collocation

Referências

• Chebyshev e métodos Spectral de Fourier por John P. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo: Um método Spectral do elemento para o Navier--Stokes equações com exatidão melhorada
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., e Zang T.A. (2006) Métodos Spectral. Fundamentos em únicos domínios. Springer-Verlag, Berlim Heidelberg