Álgebra de Kleene

Em matemática, a Álgebra de Kleene (nomeado em seguida Stephen Cole Kleene, IPA: /ˈkleɪni/ como no “argila-joelho”) está qualquer uma de duas coisas diferentes:

A limitado lattice distributive com involution satisfer-se Leis de De Morgan, e o desigualdade x∧−x ≤ y∨−y. Assim cada Álgebra booleana é uma álgebra de Kleene, mas a maioria de álgebras de Kleene não são álgebras booleanas. Apenas enquanto as álgebras booleanas são relacionadas à lógica classical do propositional, as álgebras de Kleene relacionam-se a Kleene lógica três-avaliada.
estrutura algébrica isso generaliza as operações sabidas de expressões regulares. O restante deste artigo trata desta noção da álgebra de Kleene.

Definição

As várias definições inequivalent de álgebras de Kleene e de estruturas relacionadas foram dadas na literatura. Veja [1] para um exame. Aqui nós daremos a definição que parece ser a mais comum hoje em dia.

Uma álgebra de Kleene é a jogo A junto com dois operações binárias + : A × A → A e · : A × A → A e uma função *: A → A, escrito como a + b, ab e a* respectivamente, de modo que os seguintes axioms sejam satisfeitos.

Associativity de + e ·: a + (b + c) = (a + b) + c e a(bc) = (ab)c para tudo a, b, c em A.
Commutativity de +: a + b = b + a para tudo a, b em A
Distributivity: a(b + c) = (ab) + (C.A.) e (b + c)a = (ba) + (ca) para tudo a, b, c em A
Elementos da identidade para + e ·: Existe um elemento 0 dentro A tais que para tudo a em A: a + 0 = 0 + a = a. Existe um elemento 1 dentro A tais que para tudo a em A: a1 = 1a = a.
a0 = 0a = 0 para tudo a em A.

Os axioms acima definem a semiring. Nós requeremos mais mais:

+ é idempotent: a + a = a para tudo a em A.

É agora possível definir a ordem parcial ≤ sobre A ajustando a ≤ b se e somente se a + b = b (ou equivalente: a ≤ b se e somente se existe x em A tais que a + x = b). Com esta ordem nós podemos formular os últimos dois axioms sobre a operação *:

1 + a(a*) ≤ a* para tudo a em A.
1 + (a*)a ≤ a* para tudo a em A.
se a e x esteja dentro A tais que machado ≤ x, então a*x ≤ x
se a e x esteja dentro A tais que xa ≤ x, então x(a*) ≤ x

Intuitively, se deve pensar de a + b como a “união” ou “menos limite superior” de a e b e de ab como alguma multiplicação que é monotonic, no sentido isso a ≤ b implica machado ≤ bx. A idéia atrás do operador da estrela é a* = 1 + a + aa + aaa + ... Do ponto de vista da teoria de programação, se pode também interpretar + como a “escolha”, · como “arranjando em seqüência” e * como a “iteração”.

Exemplos

Deixe Σ ser um jogo finito (um “alfabeto”) e deixe-o A seja o jogo de tudo expressões regulares Σ excedente. Nós consideramos duas tais expressões regulares iguais se descreverem o mesmo língua. Então A dá forma a uma álgebra de Kleene. No fato, este é a livre Álgebra de Kleene no sentido que toda a equação entre expressões regulares segue dos axioms da álgebra de Kleene e é conseqüentemente válida em cada álgebra de Kleene.

Deixe outra vez Σ ser um alfabeto. Deixado A seja o jogo de tudo línguas regulares Σ excedente (ou o jogo de tudo línguas context-free Σ excedente; ou o jogo de tudo línguas recursive Σ excedente; ou o jogo de tudo línguas Σ excedente). Então união (escrito como +) e a concatenação (escrita como ·) de dois elementos de A pertença outra vez a A, e faz assim Estrela de Kleene a operação aplicou-se a todo o elemento de A. Nós obtemos uma álgebra de Kleene A com o 0 que são esvazíe o jogo e 1 que é o jogo que contem somente a corda vazia.

Deixado M seja a monoid com elemento da identidade e e deixe A seja o jogo de tudo subconjuntos de M. Para dois tais subconjuntos S e T, deixe S + T seja a união de S e T e jogo ST = {st : s em S e t em T}. S* é definido como o submonoid de M gerado perto S, que pode ser descrito como {e} ∪ S ∪ SS ∪ SSS ∪ ... Então A dá forma a uma álgebra de Kleene com o 0 que são o jogo vazio e o 1 que é {e}. Uma construção analogous pode ser executada para pequeno categoria.

Suponha M é um jogo e A é o jogo de tudo relações binárias em M. Fazendo exame + para ser a união, · para ser a composição e * para ser o hull transitive reflexivo, nós obtemos uma álgebra de Kleene.

Cada Álgebra booleana com operações e gira em uma álgebra de Kleene se nós nos usarmos para +, para · e jogo a* = 1 para tudo a.

Uma álgebra completamente diferente de Kleene é útil ao computar os trajetos os mais curtos em gráficos dirigidos tornados mais pesados: deixado A seja linha real prolongada do número, tomada a + b para ser o mínimo de a e b e ab para ser a soma ordinária de a e b (com a soma de +∞ e - ∞ que está sendo definido como +∞). a* é definido para ser o número real zero para nonnegative a e - ∞ para o negativo a. Esta é uma álgebra de Kleene com elemento zero +∞ e um elemento o número real zero.

Propriedades

Zero são o elemento o menor: 0 ≤ a para tudo a em A.

A soma a + b é menos limite superior de a e b: nós temos a ≤ a + b e b ≤ a + b e se x é um elemento de A com a ≤ x e b ≤ x, então a + b ≤ x. Similarmente, a₁ + ... + a_n é menos limite superior dos elementos a₁, ..., a_n.

A multiplicação e a adição são monotonic: se a ≤ b, então a + x ≤ b + x, machado ≤ bx e xa ≤ xb para tudo x em A.

A respeito do * operação, nós temos 0* = 1 e 1* = 1, que * é monotonic (a ≤ b implica a* ≤ b*), e isso aⁿ ≤ a* para cada número natural n. Além disso, (a*)(a*) = a*, (a*)* = a*, e a ≤ b* se e somente se a* ≤ b*.

Se A é uma álgebra de Kleene e n é um número natural, a seguir se pode considerar o jogo M_n(A) consistindo em tudo n- perton matrizes com entradas dentro A. Usando as noções ordinárias da adição e da multiplicação da matriz, se pode definir um *-operation original de modo que M_n(A) torna-se uma álgebra de Kleene.

História

As álgebras de Kleene não foram definidas por Kleene; introduziu expressões regulares e pediu um jogo completo dos axioms a qual permitiria a derivação de todas as equações entre expressões regulares. O problema foi estudado primeiramente perto John Horton Conway sob o nome de álgebras regulares. Os axioms de álgebras de Kleene resolvem este problema, como era primeiro mostrado por Kozen Dexter.

Referências

Kozen Dexter: Em álgebras de Kleene e em semirings closed. Em Rovan, editor, Proc. Math. Encontrado. Comput. Sci., o volume 452 de notas do Lecture na informática, pagina 26-47. Springer, 1990. Em linha em http://www.cs.cornell.edu/~kozen/papers/kacs.ps

Veja também

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