Home › De meertalige Index van het Archief › Spectrale methode

Spectrale methode

Spectrale methodes zijn een klasse van binnen gebruikte technieken toegepaste wiskunde en wetenschappelijke gegevensverwerking om bepaald numeriek op te lossen gedeeltelijke differentiële vergelijkingen, vaak implicerend het gebruik van De snelle Transformatie van Fourier. Waar de toepasselijke, spectrale methodes uitstekende fouteneigenschappen hebben, met de zogenaamde „exponentiële convergentie die“ snelste mogelijk zijn.

De gedeeltelijke differentiële vergelijkingen (PDEs) beschrijven een brede serie van fysieke processen zoals hittegeleiding, vloeibare stroom, en correcte propagatie. In veel dergelijke vergelijkingen, zijn er onderliggende „basisgolven“ die kunnen worden gebruikt om efficiënte algoritmen om oplossingen gegevens te verwerken aan deze PDEs te geven. In een typisch geval, halen voordeel de spectrale methodes uit dit feit door de oplossing als zijn te schrijven De reeks van Fourier, substituerend deze reeks in PDE om een systeem van te krijgen Odes in de time-dependent coëfficiënten van de trigonometrische termijnen in de reeks (die in complexe exponentiële vorm wordt geschreven), en het gebruiken van een tijd-stappende methode om die Odes op te lossen.

De spectrale methode en eindige elementenmethode zijn nauw verwant en voortgebouwd op de zelfde ideeën; het belangrijkste verschil tussen hen is dat de spectrale methode de oplossing zoals benadert lineaire combinatie van ononderbroken functies die over het domein van oplossing over het algemeen nonzero zijn (gewoonlijk sinusoids of Chebyshev veeltermen), terwijl de eindige elementenmethode per stuk de oplossing als lineaire combinatie functies benadert die op kleine subdomains nonzero zijn. Wegens dit, neemt de spectrale methode a over globale benadering terwijl de eindige elementenmethode a is lokale benadering. Dit maakt deel uit van waarom het spectrale beste methodewerk wanneer de oplossing is vlot.

In de eindige elementengemeenschap, wordt een methode waar de graad van de elementen zeer hoog is of stijgt aangezien de netparameter h aan nul vermindert soms genoemd a spectrale elementenmethode.

De implementatie van de spectrale methode wordt normaal verwezenlijkt één van beiden met collocatie of a Galerkin benadering.

Een concreet voorbeeld

Hier veronderstellen wij een fundamenteel inzicht in fundamentele multivariate rekening en De reeks van Fourier. Als g (x, y) een bekende, complex-getaxeerde functie van twee echte variabelen is, en g in x en y periodiek is (namelijk g (x, y) =g (x+2π, y) =g (x, y+2π)) dan zijn wij geinteresseerd in het vinden van een functie F (x, y) zodat

waar de uitdrukking op de linkerzijde de tweede gedeeltelijke derivaten van F in x en y aanduidt, respectievelijk. Dit is Poisson vergelijking, en kan fysisch als één of andere soort het probleem van de hittegeleiding worden geïnterpreteerdi.

Als wij F en g in de reeks van Fourier schrijven:

en substituut in de differentiële vergelijking, verkrijgen wij deze vergelijking:

Wij hebben gedeeltelijke differentiatie met een oneindige som geruild, die wettig is als wij bijvoorbeeld dat veronderstellen F heeft een ononderbroken tweede derivaat. Door de uniciteitsstelling voor de uitbreidingen van Fourier, moeten wij de de coëfficiëntentermijn van Fourier bij termijn, het geven dan vergelijken

(*)

welke een expliciete formule voor de coëfficiënten van Fourier is a_j,k.

Om dit in een algoritme te veranderen, slechts eindig worden vele frequenties opgelost voor. Dit introduceert een fout die kan evenredig worden getoond om aan te zijn hⁿ, waar h = 1 / n en n is de hoogste behandelde frequentie.

Algoritme

1. Verwerk de transformatie van Fourier gegevens (B_{j, k}) van g.
2. Verwerk de transformatie van Fourier gegevens (a_{j, k}) van F via de formule (*) en de transformatie van Fourier van g.
3. Verwerk gegevens F door een omgekeerde transformatie van Fourier van te nemen (a_{j, k}).

Aangezien wij in een eindig venster van frequenties slechts geinteresseerd zijn (van grootte n, zeg) dit kan worden gedaan gebruikend a De snelle Transformatie van Fourier algoritme. Daarom globaal op tijd loopt het algoritme O(n logboek n).

Een verhouding met de spectrale elementenmethode

Men kan aantonen dat als g is oneindig differentieerbaar, dan zal het numerieke algoritme dat de Snelle Transformaties van Fourier gebruikt sneller dan uit meerdere namen bestaand in de netgrootte h. samenkomen. Namelijk voor om het even welk n> 0, is er a dusdanig dat de fout minder dan is Chⁿ voor alle voldoende kleine waarden van h. Wij zeggen dat de spectrale methode van orde is n, voor elk n> 0.

Omdat a spectrale elementenmethode is a eindige elementenmethode van zeer hoge orde, is er een gelijkenis in de convergentieeigenschappen. Nochtans, terwijl de spectrale methode op eigendecomposition van het bijzondere probleem van de grenswaarde gebaseerd is, gebruikt de spectrale elementenmethode die informatie niet en werkt voor willekeurig de elliptische problemen van de grenswaarde.

Zie ook

• Afzonderlijke elementenmethode
• Eindige elementenmethode
• Eindige volumemethode
• Gaussian net
• Pseudo-spectrale methode
• Spectrale elementenmethode
• De methode van Galerkin
• De methode van de collocatie

Verwijzingen

• Chebyshev en van Fourier Spectrale Methodes door John P. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo: Een spectrale Methode van het Element voor Navier--Stookt Vergelijkingen met Betere Nauwkeurigheid op
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., en Zang TA. (2006) Spectrale Methodes. Grondbeginselen in Enige Domeinen. Aanzetsteen-Verlag, Berlijn Heidelberg