Home › De meertalige Index van het Archief › Zelfs en oneven functies

Zelfs en oneven functies

In wiskunde, zelfs functies en oneven functies zijn functies welke bijzonder tevredenstellen symmetrie relaties, met betrekking tot het nemen bijkomende omgekeerden. Zij zijn belangrijk op veel gebied van wiskundige analyse, vooral de theorie van machts reeks en De reeks van Fourier. Zij worden genoemd voor pariteit van de bevoegdheden van machts functies welke aan elke voorwaarde voldoen: de functie xⁿ is een gelijke functie als n is een gelijk geheel, en het is een oneven functie als n is een oneven geheel.

Zelfs functies

Laat F(x) ben a echt- getaxeerde functie van een echte variabele. Dan F is zelfs als de volgende vergelijking voor allen houdt x op het gebied van F:

.

Geometrisch, is een gelijke functie symmetrisch met betrekking tot y- as betekent, die dat zijn grafiek blijft daarna onveranderd bezinning ongeveer y- as.

De voorbeelden van zelfs functies zijn |x|, x², x⁴, cos.(x), en cosh(x).

Oneven functies

Opnieuw, laat F(x) ben a echt- getaxeerde functie van een echte variabele. Dan F is oneven als de volgende vergelijking voor allen houdt x op het gebied van F:

.

Geometrisch, heeft een oneven functie rotatiesymmetrie met betrekking tot oorsprong, betekenend dat zijn grafiek blijft daarna onveranderd omwenteling van 180 graden ongeveer de oorsprong.

De voorbeelden van oneven functies zijn x, x³, zonde(x), sinh(x), en erf (x).

Sommige feiten

Nota: Functie die oneven of zelfs impliceert differentiability, of zelfs geen continuïteit is. De eigenschappen die de reeks van Fourier, Taylor reeks, derivaten impliceren kunnen etc. slechts worden gebruikt wanneer zij kunnen worden verondersteld om te bestaan.

Basis eigenschappen

• De enige functie die is allebei zelfs en oneven is constante functie welke identiek nul is (d.w.z., F(x) = 0 voor allen x).
• som van een gelijke en oneven functie is noch zelfs noch oneven, tenzij één van de functies identiek nul is.
• De som van twee gelijke functies is zelfs, en om het even welk constant veelvoud van een gelijke functie is zelfs.
• De som van twee oneven functies is oneven, en om het even welk constant veelvoud van een oneven functie is oneven.
• product van twee gelijke functies is een gelijke functie.
• Het product van twee oneven functies is een gelijke functie.
• Het product van een gelijke functie en een oneven functie is een oneven functie.
• quotiënt van twee gelijke functies is een gelijke functie.
• Het quotiënt van twee oneven functies is een gelijke functie.
• Het quotiënt van een gelijke functie en een oneven functie is een oneven functie.
• derivaat van een gelijke functie is oneven.
• Het derivaat van een oneven functie is zelfs.
• samenstelling van twee gelijke functies is zelfs, en de samenstelling van twee oneven functies is oneven.
• De samenstelling van een gelijke functie en een oneven functie is zelfs.
• De samenstelling van om het even welke functie met een gelijke functie is zelfs (maar niet vice versa).
• integraal van een oneven functie van - A aan +A is nul (waar A eindig is, en de functie heeft geen verticale asymptoten tussen - A en A).
• De integraal van een gelijke functie van - A aan +A is tweemaal de integraal van 0 aan +A (waar A eindig is, en de functie heeft geen verticale asymptoten tussen - A en A).

Reeks

• De reeks van Maclaurin van een gelijke functie omvat slechts zelfs bevoegdheden.
• De reeks Maclaurin van een oneven functie omvat slechts oneven bevoegdheden.
• De reeks van Fourier van a periodiek zelfs slechts omvat de functie cosinus termijnen.
• De reeks van Fourier van een periodieke oneven functie omvat slechts sinus termijnen.

Algebraïsche structuur

• Om het even welk lineaire combinatie van zelfs functies is zelfs, en de gelijke functiesvorm a vector ruimte over reals. Op dezelfde manier is om het even welke lineaire combinatie oneven functies oneven, en de oneven functies vormen ook een vectorruimte over reals. In feite, de vectorruimte van allen real-valued functies is directe som van subspaces van gelijke en oneven functies. Met andere woorden, kan elke functie uniek als som van een gelijke functie en een oneven functie worden geschreven:

• De gelijke functies vormen a commutatieve algebra over reals. Nochtans, de oneven functies niet vorm een algebra over reals.

Boventonen

In signaal verwerking, harmonische vervorming komt wanneer a voor sinus golf het signaal wordt vermenigvuldigd met niet-lineair overdracht functie. Het type van boventonen geproduceerd hang van de overdrachtfunctie af^[1]:

• Wanneer de overdrachtfunctie zelfs is, zal het resulterende signaal bestaan uit slechts zelfs boventonen van de golf van de inputsinus;
  • fundamenteel is ook een oneven boventoon, zo niet aanwezig zal zijn.
  • Een eenvoudig voorbeeld is a full-wave gelijkrichter.
• Wanneer het oneven is, zal het resulterende signaal bestaan uit slechts oneven boventonen van de golf van de inputsinus;
  • Het outputsignaal zal half-wave zijn symmetrisch.
  • Een eenvoudig voorbeeld is het knippen in symmetrisch balans versterker.
• Wanneer het asymmetrisch is, kan het resulterende signaal of zelfs bevatten of oneven boventonen;
  • Een eenvoudig voorbeeld knipt in asymmetrisch klassen A versterker.

Verwijzingen

1. ^ Vraag de Artsen: Buis versus Boventonen in vaste toestand

Zie ook

• Kluizenaars functie voor een generalisatie in complexe aantallen.
• Taylor reeks
• De reeks van Fourier