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괴기한 방법

괴기한 방법 안으로 사용된 기술의 종류는 이다 응용 수학 그리고 과학적인 계산 수로 확신하는 해결하기 위하여 부분 미분 방정식, 수시로의 사용 포함 빠른 푸리에는 변형시킨다. 적용 가능한 곳에, 괴기한 방법에는 소위 "지수 집중"가 우수한 과실 재산이, 가장 빠른 가능한상태에서 있다.

부분 미분 방정식 (PDEs)는 열전도 유체 흐름 및 소리 전파와 같은 여러 종류 신체 변화를 기술한다. 많은 그런 방정식에서는, 이에 주는 계산 해결책을 위한 능률적인 산법에게 PDEs를 이용될 수 있는 근본적인 "기본적인 파"가 있다. 전형적인 케이스에서는, 괴기한 방법은 그것으로 해결책을 써서 이 사실을 이용한다 푸리에 급수, 체계를의 얻기 위하여 이 시리즈 PDE로 대용 고아하고 장중한 송시 (복잡한 지수 모양에 쓰는) 그 고아하고 장중한 송시를 해결하는 시리즈, 및 시간 족답 방법 이용하기에 있는 삼각법 기간의 time-dependent 계수에서는.

괴기한 방법 및 유한 요소법 가깝게 동일한 아이디어에 관련되고 건축된다; 그들 사이 주요 다름은 괴기한 방법이 해결책을 것과 같이 접근한다 이다 선형 조합 일반적으로 해결책의 영역에 비제로 인 연속 함수의 (보통 sinusoids 또는 Chebyshev 다항식), 유한 요소법은 해결책을 때문에 구분적으로 작은 subdomains에 비제로 인 기능의 선형 조합 접근하는 그러나. 이것 때문에, 괴기한 방법은 a 맡는다 세계적인 접근 유한 요소법이 a의 동안 현지 접근. 이것은 해결책이 일 때 왜의 괴기한 방법 일 잘 일부분이다 매끄러운.

유한 성분 지역 사회, 성분의 정도가 아주 높은 방법 또는 증가에서 0에 격자 매개변수 h 감소가 때때로 a에게 불린 대로 괴기한 성분 방법.

괴기한 방법의 실시는 일반적으로 어느 쪽이든이라고에 달성된다 배열 또는 a Galerkin 접근.

구체적인 예

여기에서 우리는 기본적인 다변량의 기본적인 이해를 추정한다 미적분학 그리고 푸리에 급수. g (x, y)가 알고 있인 경우에, 2개의 진짜 가변의 복잡하 평가한 기능, 및 g는 x와 y에서 정기적이다 (다시 말하면 g (x, y) =g (x+2π, y) =g (x, y+2π)) 그 때 우리는 기능 f (x, y)를 찾아내기에 흥미있다 그래야

좌측에 표정이 x와 y에 있는 f의 두번째 부분적인 유래물을 표시하는 곳에, 각각. 이것은 이다 Poisson 방정식, 일종의 열전도 문제는 어떤으로 육체적으로 해석되고.

우리가 푸리에 급수에 f와 g를 쓰는 경우에:

그리고 미분 방정식으로, 우리 얻는다 이 방정식을 대용하십시오:

우리는 정당한 무한한 합계와 우리가 예를 들면 저것을 추측하는 경우에 부분적인 감별법을 교환했다, f 지속적인 두번째 유래물이 있다. 푸리에 확장을 위한 유일성 법칙에 의하여, 우리는 주는 기간에 의해 그 때 푸리에 계수 기간을 동일시해야 한다

(*)

푸리에 계수를 위한 명백한 공식은인지 어느 것 a_j,k.

산법으로 이것을 돌기 위하여는, 유한으로 많은 주파수만을 위해 해결된다. 이것은 비례 이기 위하여 보일 수 있는 과실을 소개한다 hⁿ, 곳에 h = 1 / n 그리고 n 대우된 가장 높은 주파수는 이다.

산법

1. 계산하십시오 푸리에를 변형시킨다 (b_{j, k})의 g.
2. 계산하십시오 푸리에를 변형시킨다 (a_{j, k})의 f 공식 (*) 및 푸리에를 통해의 변형시키십시오 g.
3. 계산 f 반대 푸리에를 가지고 가서 변형시키십시오의 (a_{j, k}).

우리가 크기의 주파수의 유한 창에서만 흥미있기 때문에 ( n, 할말은 a를 사용하여) 이것 끝날 수 있다 빠른 푸리에는 변형시킨다 산법. 그러므로, 세계적으로 산법은 때 맞추어 달린다 O(n 통나무 n).

괴기한 성분 방법을 가진 관계

1개는 저것을 보여줄 수 있는 경우에 g 무한하게 구별할 수 있다, 그 후에 빠른 푸리에를 사용하여 수 산법은 다항식 보다는 무엇이든 빨리 한데 모아질 것이다 격자 크기 h. 변형시킨다. 다시 말하면 어떤 n 0>를 위해, a가 있다 과실이 더 적은 보다는이다 그런 Chⁿ 전부 충분하게 작은 가치를 위해의 h. 우리는 괴기한 방법이 순서의 다고 말한다 n, 각 n 0>를 위해.

a 때문에 괴기한 성분 방법 a는 이다 유한 요소법 아주 고위의, 집중 재산에 있는 상사성이 있다. 그러나, 괴기한 방법이 특정한 경계값 문제의 eigendecomposition에 근거하더라도 반면, 괴기한 성분 방법은 저 정보를 사용하지 않으며 임의를 위해 작동하지 않는다 타원 경계값 문제.

또한 보십시오

• 분리된 성분 방법
• 유한 요소법
• 유한 양 방법
• 가우스 격자
• 가짜 괴기한 방법
• 괴기한 성분 방법
• Galerkin 방법
• 배열 방법

참고

• Chebyshev와 푸리에 괴기한 방법 죤 P.의. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo: Navier를 위한 괴기한 성분 방법--개량한 정확도를 가진 방정식을 불을 땐다
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., 및 Zang T.A. (2006) 괴기한 방법. 단 하나 영역에 있는 기본. Springer-Verlag, 베를린 하이델베르크