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분리된 여현은 변형시킨다
A 분리된 여현은 변형시킨다 (DCT) 합계의 점에서 많은 자료점의 순서를의 유한으로 표현한다 여현 다른에 전류를 고주파로 변환시키는 기능 주파수. DCTs는 과학 그리고 기술설계에 있는 수많은 신청에 중요하다, 에서 손실 압축 의 오디오 그리고 심상 작은 곳에 (고주파 분대는) 버려질 수 있다, 에 괴기한 방법 수 해결책을 위해의 부분 미분 방정식. 여현의 사용 보다는 오히려 정현 기능은 이 신청에서 긴요하다: 압축을 위해, 그것은 코사인 함수가 훨씬 더 능률적이다 끈다 (아래에서 설명한 바와같이, 전형을 접근하기 위하여 보다 소수의는 필요하다 신호), 미분 방정식을 위해 여현이 특정한 선택을의 표현하더라도 반면 경계 조건.
특히, DCT는 a이다 푸리에 관련된 변형시키십시오 과 유사한 분리된 푸리에는 변형시킨다 (DFT), 그러나 단지 를 사용하는 실수. DCTs는 진짜 자료에를 가진 작동하는 길이의 DFTs와 대략 두번 동등하다 동등한 몇몇 이체에서 입력 및 또는 출력 데이터가 견본 반에 의해 이동되는 곳에, 대칭 (푸리에가 진짜의 변형시키고기 짝함수가 진짜와 동등하기 때문에). 4개가 일반적인 8개의 표준 DCT 이체가 있다.
분리된 여현의 일반적인 이체는이다 수시로 "DCT이라고" 간단하게 칭하는 유형 II DCT 변형시킨다; 그것의 반대, 유형 III DCT는, 대응하게 수시로 "반대 DCT" 또는 "IDCT이라고" 간단하게 칭한다. 관련된 2개는 이다 변형시킨다 분리된 정현은 변형시킨다 (DST), 진짜의 DFT와 동등한 괴상한 기능, 그리고 변경한 분리된 여현은 변형시킨다 (MDCT), DCT에 근거하는 부분적으로 덮기 자료.
목차 |
신청
DCT 및 특히 DCT-II는, lossy 자료 압축을 위해 신호와, 강한 "에너지 압축" 재산이 있기 때문에, 특히 화상 처리에서 자주 사용한다 (Rao는 그리고 1990년 깽깽 짖는다): 신호 정보의 대부분은 DCT의 약간 저주파 분대, 접근에서 집중되 경향이 있다 Karhunen-Loève는 변형시킨다 (decorrelation 감에서 최선) 인 신호를 위해 특정 한계에의 기초를 두었다 마르코프 과정. 아래에서 설명한 바와같이, 코사인 함수에서 절대 경계 조건이 이것에 의하여 유래한다.
관련된 것, 변형시킨다 변경하는 분리된 여현은 변형시킨다, 또는 (DCT-IV에 근거하는) MDCT는, 안으로 사용된다 AAC, Vorbis, WMA, MP3 오디오 압축.
DCTs는 또한 DCT의 다른 이체가 배열의 2개의 끝에 경미하게 다른 동등하거나 괴상한 경계 조건에 대응하는 괴기한 방법으로 부분 미분 방정식 해결에서 넓게 채택된다.
DCTs는 또한 밀접한 관계가 있과 Chebyshev 다항식, 빠른 DCT 산법은 (아래에) 안으로 사용되고 Chebyshev 근사 Chebyshev 다항식의 시리즈에 의하여 임의 기능의, 예를 들면 안으로 Clenshaw-Curtis 구적법.
JPEG
DCT는 안으로 사용된다 JPEG 화상 압축, MJPEG, MPEG, DV 영상 압축. 거기, 2차원 DCT-II의 구획은 계산되고 결과는 이다 양자화 그리고 엔트로피는 암호로 했다. 이 경우에는, N 전형적으로 8개은 이고 DCT-II 공식은 구획의 각 줄 그리고 란에 적용된다. 결과는 × 8이 계수 배열을 변형시키는 8이다 (0,0) (정상 좌) 성분은 수직과 수평한 색인값 증가와 함께 DC (0 주파수) 분대 및 입장 대표한다 더 높은 수직과 수평한 공간 주파수를이다.
약식 개관
무엇이든 푸리에 관련된 같이 변형시키십시오, 분리된 여현은 (DCTs) 표현한다 기능 또는 신호를의 변형시킨다 합계의 점에서 sinusoids 다른에 주파수 그리고 진폭. 같이 분리된 푸리에는 변형시킨다 (DFT), DCT는 이산 자료 점의 유한 수에 기능을 위에 운영한다. DCT와 DFT 사이 명백한 구별은 이전 용도 코사인 함수만, 그러나 후반 용도 여현 및 정현 둘 다 이다 (의 모양으로 복잡한 exponentials). 그러나, 이 보이는 다름은 단순하게 더 깊은 구별의 결과이다: DCT는 다른 함축한다 경계 조건 관련된 DFT 또는 다른 사람 보다는 변형시킨다.
유한에 기능을 위에 운영하는 푸리에 관련된 것 변형시킨다 영역DFT와 같은 또는 DCT 또는 a 푸리에 급수, 절대적으로 정의와로 생각될 수 있다 연장 영역 이상으로 저 기능의. 다시 말하면 일단 당신이 기능을 쓰면 f(x) sinusoids의 합계로, 당신은 무엇이든에 저 합계를 평가할 수 있다 x, 를 위해 훨씬 x 고유 곳에 f(x) 지정되지 않았다. DFT는, 푸리에 급수 같이, a를 함축한다 정기 원래 기능의 연장. a 같이 DCT, 여현은 변형시킨다, 함축한다 동등한 원래 기능의 연장.
그러나, DCTs가 위에 작동하기 때문에 유한, 분리된 순서, 지속적인 여현을 위해 변형시키지 않는 2개의 문제점은 발생한다. 첫째로, 사람은 기능이 동등하거나 괴상하다는 것을에 지정해야 한다 둘 다 영역의 좌우 경계 (i.e. 분n 그리고 최대n 아래에서, 각각 정의에 있는 경계). 둘째로, 사람은 주변에 지정해야 한다 무슨 점 기능은 동등하거나 괴상하다. 특히, 순서를 고려하십시오 abcd 4개의 균일한 간격 자료점의, 우리가 동등한 것 지정한ㄴ다고 말하거든 좌 경계. 2개의 분별있는 가능성이 있다: 어느 것이든 자료는 견본에 관하여 훨씬 이다 a, 동등한 연장이 이면 어떤 경우에는 dcbabcd, 또는 자료는 점에 관하여 훨씬 이다 도중에 사이 a 그리고 동등한 연장이 이면 어떤 경우에는, 이전 점 dcbaabcd (a 반복된다).
이 선택은의 그리고 또한 모든 표준 변이 DCTs로 이끌어 낸다 분리된 정현은 변형시킨다 (DSTs). 각 경계는 (경계 당 2개의 선택) 동등하거나 괴상할 합계를 위한 2개의 자료점 (경계 당 2개의 선택) 사이 도중에 자료점 또는 점에 관하여 상칭적, 의일 수 있다 가능성. 이 가능성, 그들의 반 곳에 좌 경계는 DCT의 8가지의 유형에 동등하다, 대응한다; 다른 반쪽은 DST의 8가지의 유형이다.
이 다른 경계 조건은 강하게 변형시키의 신청에 영향을 미치고, 각종 DCT 유형을 위한 유일하게 유용한 재산으로 이끌어 낸다. 직접적으로, 때 푸리에 관련된 사용은 해결하기 위하여 변형시킨다 부분 미분 방정식 에 의하여 괴기한 방법, 경계 조건은 직접적으로 해결되는 문제의 부분 지정된다. 또는, 를 위해 MDCT (유형 IV DCT에 기초를 두어), 경계 조건은 MDCT의 시간 영역 앨리어싱 취소의 임계 성질에서 친밀하게 포함된다. 더 미묘한 유행에서는, 경계 조건은 경계가 시리즈 푸리에 같이 무엇이든의 집중의 비율에 영향을 미치기 때문에, DCTs를 심상과 오디오 압축을 위해 유용한 만드는 "에너지 압축" 재산에 책임 있다.
특히, 유명하다 무엇이든 불연속 기능에서 감소시키십시오 집중의 비율 푸리에 급수의, 주어진 정확도로 기능을 대표하기 위하여 sinusoids가 더 필요하다 그래야. 동일한 원리는 DFT의 유용성을 경세하고 다른 사람은 신호 압축을 위해 변형시킨다: 매끄럽게하는것은 기능 이다, 그것의 DFT DCT에 있는 몇몇 기간은 그것을 정확하게 대표할 것을 요구되고, 더 많은 것 압축 일 수 있다. (여기에서, 우리는을 위한 근사로 DFT 또는 DCT를 생각한다 푸리에 급수 또는 여현 시리즈 기능의, 각각, 그것의 "매끈함에 대해서 이야기하기 위하여. ") 그러나 불연속이 경계에 보통 생긴다, DFT 방법의 절대적인 주기성: 신호의 어떤 무작위 세그먼트든지 두 좌우 경계 전부에 동일한 가치가 있게 있을 법하지 않는다. (A 유사한 문제는 괴상한 좌 경계 조건이 저 경계에 영 인 것을 일어나지 않는 어떤 기능든지를 위한 불연속을 함축하는 DST를 위해 발생한다.) 대조적으로, DCT 곳에 둘 다 경계는 동등하다 항상 경계에 연속적 확장을 열매를 산출한다 ( 사면 일반적으로 불연속 이다). 이런 이유로 유형의 DCTs 및 특히 DCTs I, II, v, 및 VI (2개의 경계 조차 있는 유형에는) 일반적으로 DFTs와 DSTs 보다는 신호 압축을 위해 잘 실행하기 위하여. 실제로는, 유형 II DCT는 컴퓨터 편익 때문에 부분적으로 그런 신청을 위해 보통, 좋아한다.
형식 정의
형식적으로, 분리된 여현은이다 a 변형시킨다 선형, 가역 기능 F : RN -> RN (곳에 R 세트를의 표시한다 실수), 또는 동등하게 가역 N × N 정사각 행렬. 경미하게 변경한 정의를 가진 DCT의 몇몇 이체가 있다. N 실수 x0, ..., xN-1 로 변형된다 N 실수 x0, ..., xN-1 공식의 한에 따르면:
DCT-I
더 몇몇 저자는 곱한다 x0 그리고 xN-1 √2에 의하여 기간은, 대응하게 곱한다 x0 그리고 xN-1 1/√2에 의하여 기간. 이것은 DCT-I 모체를 만든다 직각, 더 1개가 전반적인 척도 인자에 의하여의 곱하는 경우에 , 그러나 진짜 동등한 DFT와의 직접적인 통신을 끊는다.
DCT-I는 DFT에 정확하게 동등물 (2의 전반적인 척도 인자까지), 의이다 2N − 2 동등한 대칭을 가진 실수. 예를 들면, DCT-I의 N=5 실수 abcde 동등물은 8개의 실수의 DFT에 정확하게 이다 abcdedcb (2로 분할되는 대칭 조차). (대조적으로, DCT 유형 II-IV는 동등한 DFT에 있는 반 견본 교대를 포함한다.)
DCT-I가를 위해 정의되지 않는다, 주, 그러나 N 2 이하. (다른 DCT 유형은 전부 확실성을 위해 무엇이든 정의된다 N.)
따라서, DCT-I는 경계 조건에 대응한다: xn 주변에 동등하다 n=0는 주변에 고른다 n=N-1; 유사하게를 위해 xk.
DCT-II
DCT-II는 아마 상용되는 모양이고, "DCT"로 수시로 간단하게 불린다.
이것은 DFT에이다 정확하게 동등물 (2의 전반적인 척도 인자까지)의 변형시킨다 4N 동등하 색인이 붙은 성분이 0인 동등한 대칭의 진짜 입력. 다시 말하면의 DFT의 반이다 4N 입력 yn, 곳에 y2n = 0, y2n + 1 = xn 를 위해 , y4N − n = yn 를 위해 0 < n < 2N.
더 몇몇 저자는 곱한다 x0 1/√2에 의하여 기간 (DCT-III에 있는 대응 변화를 위해 아래에 보십시오). 이것은 DCT-II 모체를 만든다 직각, 더 1개가 전반적인 척도 인자에 의하여의 곱하는 경우에 , 그러나 반 이동한 입력의 진짜 동등한 DFT와의 직접적인 통신을 끊는다.
DCT-II는 경계 조건을 함축한다: xn 주변에 동등하다 n=-1/2는 주변에 고른다 n=N-1/2; xk 주변에 동등하다 k=0와 괴상한 주변에 k=N.
DCT-III
DCT-II의 반대 (척도 인자까지, 아래에 보십시오)이기 때문에, 이 모양은 "반대 DCT"로 때때로 간단하게 불린다 ("IDCT").
더 몇몇 저자는 곱한다 x0 DCT-II 및 DCT-III가 이다 그래야 1/√2에 의하여 기간은 서로의 (DCT-II에 있는 대응 변화를 위해 의 위에 보십시오), 이항한다. 이것은 DCT-III 모체를 만든다 직각, 더 1개가 전반적인 척도 인자에 의하여의 곱하는 경우에 , 그러나 반 이동한 산출의 진짜 동등한 DFT와의 직접적인 통신을 끊는다.
DCT-III는 경계 조건을 함축한다: xn 주변에 동등하다 n=0와 괴상한 주변에 n=N; xk 주변에 동등하다 k=-1/2는 주변에 고른다 k=N-1/2.
DCT-IV
DCT-IV 모체는 된다 직각 더 1개가 전반적인 척도 인자에 의하여의 곱하는 경우에 .
다른에서 자료가 변형시키는 DCT-IV의 이체는, 있다 부분적으로 덮는, 불린다 변경한 분리된 여현은 변형시킨다 (MDCT).
DCT-IV는 경계 조건을 함축한다: xn 주변에 동등하다 n=-1/2와 괴상한 주변에 n=N-1/2; 유사하게를 위해 xk.
DCT V-VIII
DCT 유형 I-IV는 동등한 순서의 진짜 동등한 DFTs와 동등하다 (에 관계 없이 N 대응 DFT가 길이 2의 (이기 때문에, 동등하거나 괴상하다)N−1) (DCT-I를 위해) 또는 4N (DCT-II/III를 위해) 또는 8N (DCT-VIII를 위해). 원리에서는, 실제로 요인이 있으십시오 분리된 여현의 4가지의 추가적인 유형이 변형시켜 (Martucci 1994년) 있어, 논리적으로 괴상한 순서의 진짜 동등한 DFTs 근본적으로 대응한, 여현 논쟁의 명명자에서.
동등하게, 유형 I-IV의 DCTs는 두 경계 전부를 위한 자료점의 주위에 또는 도중에 두 경계 전부를 위한 2개의 자료점 사이 동등하거나 괴상한 경계를 함축한다. 유형 V-VIII의 DCTs는 또는 1개의 경계를 위한 그리고 도중에 다른 경계를 위한 2개의 자료점 사이 자료점의 주위에 괴상한 고르는 경계를 함축한다.
그러나, 이 이체는 희소하게 실제로는 사용되기 위하여 보이지 않는다. 1가지의 이유는, 아마, 괴상하 길이 DFTs를 위한 FFT 산법이 일반적으로 동등하 길이 DFTs를 위한 FFT 산법 보다는 더 복잡하다 이다 (예를들면. 가장 간단한 근원 2 산법은 동등한 길이를 위해서만) 이고, 이 증가한 복잡은 DCTs에 아래에 기술한 대로 이월한다.
(하찮은 진짜 동등한 배열, 단 하나 수의 길이 1 DFT (괴상한 길이) a, 길이의 DCT-V에 대응한다 N=1.)
반대는 변형시킨다
DCT-I의 반대는이다 2에 의해 곱한 DCT-I (N-1). DCT-IV의 반대는 2에 의해 곱한 DCT-IV이다N. DCT-II의 반대는 2에 의해 곱한 DCT-III이다N (그리고 그 반대도 마찬가지로).
를 위해 같이 DFT, 이들의 앞에 정상화 요인은 정의를이고 단순하게 인습 처리 사이에서 다르다 변형시킨다. 예를 들면, 몇몇 저자는 곁에 변형시킨다 곱한다 반대가 어떤 추가적인 증가하는 요인도 요구하지 않는다 그래야. √2의 적합한 요인과 결합해 (의 위에 보십시오), 이것은 변형시키 모체를 만들기 위하여 이용될 수 있다 직각.
다차원 DCTs
각종 DCT 유형의 다차원 이체는 1차원 정의에서 똑바르게 따른다: 그들은 간단하게 각 차원에 따라서 DCTs의 분리할 수 있는 제품 (동등하게, 구성)이다.
예를 들면, 심상 모체의 2차원 DCT-II는 간단하게 줄과 그 후에 란에 따라서 실행된 1차원 DCT-II, 의 위에에서 이다 (또는 반대로). 다시 말하면 제 2 DCT-II는 공식에 의해 주어져 (정상화와 다른 척도 인자, 위와 같이 생략):
기술적으로, 2 (또는 다) 차원 DCT를 각 차원에 따라서 1차원 DCTs의 순서에 의하여 계산해서 a로 알려진다 줄 란 산법 (2차원 케이스 후에). 에 것과 같이 다차원 FFT 산법, 계산을 다른 순서에 있는 실행하고 있는 동안 그러나, 거기 다른 방법 동일한 것을 계산하는 존재한다 (i.e. 다른 차원을 위한 산법 백지를 삽입하거나 결합하기). ``
오른쪽으로 심상은 보여준다 8 x 8을 위한 수평한 수직 주파수의 조합을 (N1 = N2 = 8) 2차원 DCT. 각 단계 좌에서 우로 및 top-to-bottom 방식은 1/2 주기 옆에 주파수에 있는 증가이다. 예를 들면, 수평한 주파수에 있는 반 주기 증가가 정상 좌 사각에서 이동하는 권리에 의하여 것 열매를 산출한다 (백색에서 검정에 간다). (백색에 검정에 백색) 2개 반 주기가 열매를 산출한다 오른쪽으로 다른 움직임에 의하여. 2개 반 주기 및 반 주기가 이동에 의하여 아래로 수직으로 수평하게 열매를 산출한다. 원시 자료 (8x8)는 a에 변형된다 선형 조합 이 64의 주파수 사각의.
계산
이 공식의 직접적인 신청이 요구했더라도 O를 (N2) 가동, O를 가진 동일한 것을 계산하는 것이 가능하다 (N 통나무 N) 계산을과 유사하게 인수 분해해서 복합성 빠른 푸리에는 변형시킨다 (FFT). 1개는 또한 O와 결합된 FFTs를 통해 DCTs를 계산할 수 있다 (N) 전 그리고 post-processing 단계.
능률적인 산법은, 원리에서 O 플러스 정규 FFT 사용과 반대로, 이다 보통 DCT를 위해 직접적으로 전문화되는 그들 (N) 여분 가동 (예외를 위해 아래에 보십시오). 그러나, DCT 산법을 "전문화했다 조차" (낮게 알려진 산수 조사를 달성하는 그들 를 포함하여 모두, 적어도를 위해 힘 의 2 크기는 FFT와 FFT를 가지고 가고 이 대칭 때문에 과다한 가동을 삭제해서) 전형적으로 밀접한 관계가 있 DCTs가 근본적으로 진짜 동등한 자료의 DFTs이기 산법 때문에, 사람 빠른 DCT 산법을 디자인할 수 있다. 이것은 자동으로 행해질 조차 수 있다 (Frigo & 존슨 2005년). 에 근거하는 산법 Cooley-Tukey FFT 산법 일반으로서이십시오, 그러나 다른 어떤 FFT 산법은 또한 적용 가능하다. 예를 들면, Winograd FFT 산법은 DFT를 위한 최소 곱셈 산법으로 이끌어 낸다, 이기는 하지만 일반적으로 추가 더의 비용, 및 유사한 산법에 DCT를 위한 Feig & Winograd (1992년)에 의해 제시되었다. DFTs, DCTs, 및 유사한을 위한 산법이 다른 사람을 위한 즉시 이익에이기 밀접한 관계가 있 모두 이렇게, 것을 위한 산법에 있는 어떤 개선든지 변형시키기 이론적으로 지도할 것이기 또한 변형시키기 변형시키기 때문에 (Duhamel & Vetterli 1990년).
변경되지 않은 FFT를 채택하는 DCT 산법에는 수시로 제일 전문화하는 DCT 산법과 비교되는 약간 이론적인 간접비가 있는 동안, 이전에는 또한 명료한 이점이 있다: 높게 낙관한 FFT 프로그램은 넓게 유효하다. 따라서, 실제로는, 수시로 일반적인 길이를 위해 고성능을 얻는 것이 쉽다 N FFT 근거한 산법으로. (현대 기계설비에 성과는 산수 조사에 의해 전형적으로 간단하게 지배되지 않는다, 최적화는 내용이 풍부한 기술 노력을 요구하고.) 대폭적인 사용이 를 위한 과 같은 작은, 조정 크기 의 변형시킨ㄴ다는 것을 전문화한 DCT 산법은, 다른 한편으로는, 본다 안으로 사용되는 DCT-II JPEG 압축, 또는 작은 DCTs (또는 MDCTs 오디오 압축에서) 전형적으로 사용했다. (감소된 코드 크기는 또한 끼워넣 장치 신청을 위해 전문화한 DCT를 사용하는 이유일지도 모른다.)
실제로, 정규 FFT를 사용하여 DCT 산법 조차 진짜 상칭적인 자료의 더 큰 FFT에서 과다한 가동을 잘라내기에 때때로 동등물이고, 산수 조사의 원근법에서 최선 이어서 조차 좋다. 예를 들면, 유형 II DCT는 크기의 DFT와 동등하다 4N 그의 동등하 색인을 붙인 진짜 동등한 대칭으로 성분은 0이다. FFT를 통해 이것 계산을 위한 일반적인 방법의 한 (예를들면. FFTPACK에서 사용되는 방법 FFTW) Makhoul (1980년) 때문에 이고, 이 방법은 DCT II.에 대응하는 "논리적인" 진짜 동등한 DFT에 적용된 근원 4 다수의 살해 에서 시간 Cooley-Tukey 산법의 1개 단계로 때 늦게 보일 수 있다. (근원 4 단계는 크기를 감소시킨다 4N 4 크기에 DFTN 2개가 동등한 대칭에 의하여 서로와 동등하십시오 2와 0인 그러므로 단 하나 크기를 주는 진짜 자료의 DFTs,N 진짜 자료의 FFT 플러스 O(N) 나비.) 동등하 색인이 붙기 성분이 0이기 때문에, 이 근원 4 단계는 나누 근원 단계와 정확하게 동일하; 만약에 연속적인 크기N 진짜 자료 FFT는 또한 진짜 자료에 의해 실행된다 나누 근원 산법 (그 외 여러분 Sorensen, 1987년에서 것과 같이), 그 때 DCT-II힘 의 2를 위한 낮게 간행한 산수 조사가 유래 산법에 의하여 실제로 일치한다 (2N통나무2N − N + 2 진짜 산수 가동[1]). 이렇게, FFT를 통해 대응 FFT 산법은 최선 다는 것을 원근법 그것이 때때로 단순하게 질문의인 산법에서 DCT 나쁜 아무것도 본질적으로 계산에 관하여. (실질적인 문제로 분리되는 FFT 일과를 빌기에 있는 간접비를 작은을 위해 뜻깊을 것이 지도 모르다 기능 부르십시오 N, 그러나 이것은 풀 inlining 해결되기 수 있기 때문에 실시 보다는 오히려 연산 질문이다.)
주
- ^ 진짜 산수 가동의 정확한 조사, 및 특히 진짜 곱셈의 조사는 변형시키 정의의 스케일링에, 약간 달려 있다. 2N통나무2N − N + 2 조사는 여기에서 보인 DCT-II 정의를 위해 이다; 2개의 곱셈은 변형시키가 작업 바지에 의해 오르는 경우에 저장될 수 있다 요인. 추가적인 곱셈은 아라이에 의해 사람이 변형시키의 산출이 개인적으로 재설계되 것을 허용하는 경우에, 것과 같이 그 외 여러분 보였다 저장될 수 있다. (1988년) JPEG에서 이용되는 크기 8 예를 위해.
참고
- N. Ahmed, T. Natarajan 및 K. R. Rao는, "분리된 여현" 변형시킨다, IEEE Trans. 컴퓨터, 90-93, 1974년 1월.
- Y. 아라이, T. Agui 및 M. Nakajima, "심상을 위한 빠른 DCT-SQ 계획," Trans. IEICE 71 (11) 1095-1097년 (1988년).
- P. Duhamel와 M. Vetterli는, "빠른 푸리에 변형시킨다: 개인 지도 검토 및 최신식, " 신호 처리 19, 259-299 (1990년).
- E. Feig, S. Winograd. "분리된 여현을 위한 빠른 산법 변형시킨다,"는 신호 처리에 IEEE 거래 40 (9), 2174-2193 (1992년).
- Matteo Frigo와 Steven G. 존슨: FFTW, http://www.fftw.org/. 자유로운 것 (GPL) 임의 크기의 한개 이상 차원에서 빠른 DCTs (유형 I-IV)를 수 있는 C 내장 함수, 계산할. 또한 M. Frigo와 S. G. 존슨, "FFTW3의 디자인 그리고 실시," IEEE의 절차 93 (2), 216-231 (2005년).
- 죤 Makhoul는 1개 그리고 2개 차원에서, "빠른 여현 변형시킨다," IEEE Trans. Acoust. 연설 통신. Proc. 28 (1), 27-34 (1980년).
- S. A. Martucci는, "상칭적인 회선 및 분리된 정현 및 여현 변형시킨다," IEEE Trans. 통신. 가공 SP-42, 1038-1051년 (1994년).
- A. v. Oppenheim, R. W. Schafer 및 J. R. 숫사슴, Discrete-Time 신호 처리, 2판 (선취 홀, 뉴저지 1999년).
- K. R. Rao 그리고 P. 깽깽 짖으십시오, 분리된 여현은 변형시킨다: 산법, 이점, 신청 (학업 부담, 보스톤 1990년).
- H. v. Sorensen, D. L. 죤스, M. T. Heideman 및 C. S. Burrus는, "Real-valued 빠른 푸리에 변형시킨다 산법을," IEEE Trans. Acoust. 연설 통신. 가공 ASSP-35, 849-863 (1987년).
또한 보십시오
- JPEG - DCT 전이의 보기를 이해하게 쉬운 것 포함한다
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