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대수학 수

에서 수학, 대수학 수 a는 이다 복소수 저것은 a이다 뿌리 비제로의 다항식 합리 (또는 동등하게, 정수) 계수. 대수학 이지 않는 복소수는 흔히 말한다 초자연.

목차

보기

  • 유리수, 2개의 정수의 비율로 표시되는 그들 b 그리고 a, a 0에 동등한 것은 아닙니다, 위 정의를 때문에 만족시킨다 x = −b/a 에서 파생된다 (만족시킨다) 도끼 + b = 0. (일반적으로 a 또는 b 깡통으로 부정적, 일 수 있다 x).[1]
  • 어떤 무리수 대수학으로서 이거든 어떤은 이지 않는다:
  • 수 √2 그리고 3√3/2는 그들이 뿌리의이기 때문에 대수학 이다 x2 − 2 = 0 및 8x3 − 3 = 0, 각각.
  • 황금 비율 φ는 다항식의 뿌리이기 때문에 대수학 이다 x2 − x − 1 = 0.
  • 수 π 그리고 e 이십시오 아닙니다 대수학 수 (보십시오 Lindemann-Weierstrass 법칙)[2] 그러므로 그들은 "초자연적"이다.
  • 작도 가능한 수 (, 단위 맨먼저, 통치자와 나침의로 건설할 수 있는 그들, 예를들면. 2의 제곱근은) 대수학 이다.
  • 2 차 방정식 surds (2차 방정식의 뿌리 도끼2 + bx + c = 완전한 coefficents에 0 a, b, c) 대수학 수는 이다. 따라서 그 복소수는에서 파생했다 도끼2 + bx + c = 0 - 케이스에 대응하는 그들 경우의 해설자 n = 2개는 - 2 차 방정식 수, 또는 2 차 방정식 정수에게 사정에 따라서 불린다.
  • 가우스 정수 - 그 복소수 a + 비스무트 둘 다 곳에 a 그리고 b 정수는 또한이다 2 차 방정식 정수 이다.
  • 지도 계수 때 예를들면. a0 1개, 만족하것은 이다 x 이고 말한다 () 대수학 정수. "대수학 정수"가 1 2, 3와 같은 세는 수일 필요가 없는는다는 것을 주의하십시오,… 또는 부정적인 대조물.
  • 이 정의는 관념에서 저것 온다 x = −b/a 만족시킨다 도끼 + b = 0, 그리고 때 a = 1 그 후에 x = −b (i.e. b 여기에서 긍정 부정적인 세는 수 또는 0이). 그러나 1에서 저것을 관찰하십시오·x2 + 4 = 0, x = 2I 그리고 −2I. 이렇게 이 2 x "대수학 정수"는 또한 이다. 이것은 지도하 해설자의 어떤 가치든지를 신청한다 n. (더 많은 것을 아래에 보십시오).

재산

  • 대수학 수의 세트는 이다 셀 수 있는 (셀 수 있는).[3]
  • 그러므로, 대수학 수의 세트는 있다 Lebesgue 측정 0 (복소수의 부분 집합으로), i.e. "거의 모두"복소수는, 대수학 이지 않는다. 대수학 이지 않는 복소수는 초자연 수이라고 칭한다.
  • 대수학 수를 주는, 유일하가 있다 monic 다항식 (합리적인 계수에) 가장적은의 정도 저것에는 뿌리로 수가 있다. 이 다항식은 그것이라고 칭한다 최소 다항식. 그것의 최소 다항식에는 정도가 있는 경우에 n, 그 때 대수학 수는의 흔히 말한다 정도 n. 정도 1의 대수학 수는 a이다 유리수.
  • 모든 대수학 수는 이다 계산가능한 그리고 그러므로 정의가능한.

대수학 수의 분야

2개의 대수학 수의 합계, 다름, 제품 및 지수는 다시 대수학 이고, 대수학 수는 그러므로 a를 형성한다 분야, 때때로 곁에 표시하는 (또한 표시할지도 모른다 adele 반지) 또는 . 그의 계수가 인 다항식 방정식의 각 뿌리 보일 수 있다 대수학 수 다시 대수학 이다. 이것은 대수학 수의 분야가 다고 말해서 환언될 수 있다 대수학으로 닫히는. 실제로, rationals를 포함하는 가장 작은 대수학으로 닫히는 분야이고, 그러므로 불린다 대수학 마감 rationals의.

모든 위 계산서는 분야 연장의 대수적 원소의 일반적인 문맥에서 가장 쉽게 입증된다.

급진파에 의해 정의되는 수

a를 사용하여 정수에서 얻어질 수 있는 모든 수 유한 수의 추가, 감산, 곱셈, 사단및 가지고 가기 n토륨 뿌리 (곳에 n 긍정적인 정수는) 이다 대수학 이다. 전환은, 그러나, 진실하지 않다: 이와같이 얻어질 수 없는 대수학 수가 있다. 이 수 전부는 정도 ≥ 5의 다항식에 해결책이다. 이것은 결과의이다 Galois 이론 (보십시오 Quintic 방정식 그리고 Abel Ruffini 법칙). 그런 수의 보기는 유일한 실근의이다 x5 − x − 1 = 0 (대략 1.167303978261418684256)인.

대수학 정수

주요 기사: 대수학 정수

대수학 정수 주요한 계수 1 (monic 다항식)를 가진 정수 계수 (다시 말하면 대수학 수)를 가진 다항식의 뿌리인 수는 이다. 대수학 정수의 보기는 3√이다2 + 5, 6I − 2와 (1 + I√3)/2.

대수학 정수의 합계, 다름 및 제품은 다시 대수학 정수이다, 그래서 대수학 정수가 a를 형성한ㄴ다는 것을 의미한다 반지. 이름 대수학 정수 는 대수학 정수인 유일하게 유리수가 정수다는 것을 사실에서 온다, 그리고 때문에 무엇이든에 있는 대수학 정수 수체 정수와 비슷한 많은 방법에 있으십시오. 만약에 K 그것 수체는 이다 정수의 반지 대수학 정수의 subring는 안으로 있다 K, 빈번하게 것과 같이 표시되고 OK. 이들은 원형 보기의이다 Dedekind 영역.

대수학 수의 특별한 종류

각주

  1. ^ 어떤은의 뒤에 오는 보기 강건한과 Wright 1972:159에게서 - 160와 PP 온다. 178-179
  2. ^ 또한 Liouville의 법칙 "," 강건한 Cf 및 Wright p.로 transcendentals 수의 만큼 보기를 우리 일으키는 사용될 수 있다. 161ff
  3. ^ 1972:160 강건한과 Wright

참고


v • d • e
수 체계
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