ホーム › 多言語のアーカイブの索引 › 分光方法

分光方法

分光方法 使用される技術のクラスはある 応用数学 そして 科学的な計算 数値上確か解決するため 偏微分方程式、頻繁にの使用を含む 高速フーリエ変換. 適当一方、分光方法が最も速い可能であるいわゆる「指数集中性」との優秀な間違いの特性を、持っている。

偏微分方程式(PDEs)は熱伝導、流量および健全な伝播のような多数の物理的なプロセスを記述する。 多くのそのような同等化では、これらのに計算の解決のための有効なアルゴリズムにPDEsを与えるのに使用することができる根本的な「基本的な波」がある。 典型的な場合では、分光方法はとして解決を書くことによってこの事実を利用する フーリエシリーズ、システムをの得るためにこのシリーズをPDEに代わりにする オード それらのオードを解決するシリーズ(複雑な指数形態に書かれる)、および時間ステップ方法を使用することの三角法の言葉の時間依存係数では。

分光方法および 有限要素法 密接に同じ考えで関連付けられ、造られる; その間の主な違いは分光方法が解決をように近づけることである 線形組合せ 一般に解決の範囲に非ゼロである連続関数の(通常 sinusoids または Chebyshevの整式)、有限要素法は解決をので区分的に小さいsubdomainsで非ゼロである機能の線形組合せ近づけるが。 このような理由で、分光方法はaで取る 全体的なアプローチ 有限要素法がaの間、 ローカルアプローチ. これは解決があるとき部分なぜの分光方法仕事最もよくである 滑らか.

有限な要素のコミュニティ、ゼロへの格子変数h減少が時々aと呼ばれるように要素の程度が非常に高いまたは増加方法 分光要素方法.

分光方法の実施は普通どちらかとの達成される 配列 またはa ガレルキン アプローチ。

具体的な例

ここに私達は基本的な多変数の基本的な理解を推定する 微積分 そして フーリエシリーズ. g (x、y)が知られていて、2つの実変数の複雑評価された機能、およびgはxおよびyで周期的である(すなわち、g (x、yの) =g (x+2π、yの) =g (x、y+2π)) それから私達は機能f (x、y)を見つけることに興味があるように

左の表現がxおよびyのfの第2部分的な派生物を表示するところ、それぞれ。 これはである ポアソンの同等化、物理的に種類の熱伝導問題として解釈され。

私達がフーリエシリーズにfおよびgを書けば:

そして微分方程式に、私達得るこの同等化を代わりにしなさい:

私達は正当である無限合計と例えばそれを仮定すれば部分的な微分を交換した、 f 連続的な第2派生物を持っている。 フーリエ拡張のための独自性の定理によって、私達は与える言葉によってそれからフーリエ係数の言葉を一致しなければならない

(*)

フーリエ係数のための明確な方式はであるかどれ a_j,k.

アルゴリズムにこれを回すためには、有限に多くの頻度だけのために解決する。 これは比例するために示すことができる間違いをもたらす hⁿ、ところ h = 1 / n そして n 扱われる最も高い頻度はある。

アルゴリズム

1. 計算しなさいフーリエ変換を(b_j、k)の g.
2. 計算しなさいフーリエ変換を(a_j、k)の f 方式(*)およびフーリエ変換によっての g.
3. 計算 f 反対のフーリエ変換のの取得によって(a_j、k).

私達がサイズの頻度の有限な窓にだけ興味があるので( n、)これがaを使用してすることができることを言いなさい 高速フーリエ変換 アルゴリズム。 従って、全体的にアルゴリズムは時間に動く O(n 丸太 n).

分光要素方法の関係

1つはそれを示すことができる g 無限に区別できるがある、そして速いフーリエを使用して数アルゴリズムは整式より速く一点に集中する格子サイズh.の変形する。 すなわち、n 0>のために、aがある 間違いがより少しよりであることそのような物 Chⁿ すべてに十分に小さい価値のための h. 私達は分光方法が順序であると言う n、あらゆるn 0>のために。

aので 分光要素方法 aはある 有限要素法 非常に高位の、集中性の特性に類似がある。 但し、分光方法が特定の境界値問題のeigendecompositionに基づいている一方、分光要素方法はその情報を使用しないし、任意のために働かない 楕円の境界値問題.

また見なさい

• 分離した要素方法
• 有限要素法
• 有限な容積方法
• ガウス格子
• 偽似分光方法
• 分光要素方法
• ガレルキン方法
• 配列方法

参照

• Chebyshevおよびフーリエ分光方法 ジョンP.著。 Boyd。
• Javier de Frutos、Julia Novo: Navierのための分光要素方法--改善された正確さの同等化をかき立てる
• Canuto C.、Hussaini M。 Y.、Quarteroni A.、およびZang T.A。 (2006) 分光方法。 単一の範囲の基礎。 ベルリンハイデルベルク、SpringerVerlag