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他の使用については、見なさい 数(区別).

A 数 ある 抽象的対象, トークン あるかどれがの 記号 使用される カウント そして 測定. 数を表す記号はaと呼ばれる 数字、しかし共通の使用法で単語数は抽象的対象および記号両方のために使用される。 数え、測定の使用に加えて、数字はラベルのために頻繁に使用される(電話番号)、命令のために(通し番号)、およびコードのために(ISBNs). 数学数を含むために、数の定義はのような長年かけて拡張された ゼロ, 負数, 有理数, 無理数、 複素数. その結果、数の誰も取囲む定義があり、数の概念はそれ以上の開発のために開いている。

1つ以上の数を入れ、数を出力するある特定のプロシージャは数と呼ばれる 操作. 単項演算 1桁を1桁出力される入れれば。 例えば、後継者操作は整数に1つを加える: 4の後継者は5である。 共通ありなさい 2進演算 どの入力2数および1桁か出力される。 2進演算の例は含んでいる 付加, 減法, 乗法, 分割、 累乗法. 数操作の調査は呼ばれる 算術.

枝の 数学 そのナンバーシステムの構造をのような調査する グループ, リング そして 分野 呼ばれる 抽象的な代数学.

目次

タイプの数

数はに分類することができる セット、呼ばれる ナンバーシステム. (表現の異った方法のためにのような記号と、番号が付いている ローマ数字、見なさい 記数法.)

自然数

最もよく知られた数はである 自然数 または数を数える: 1つ、2、3、… . 何人かの人々はまた0点規正する自然数を含んでいる; 但し、他は。

基盤10 算術演算のための今日ほとんど普遍的な使用中のナンバーシステムは、10を使用して、自然数のための記号書かれている ディジット: 0、1、2、3、4、5、6、7、8、および9。 この基礎10システムでは、自然数の右端のディジットに1つという場所値があり、その他すべてのディジットに10回場所価値が右へのディジットの場所価値のある。 すべての自然数のセットのための記号はある N、また書かれている .

集合論を、現代数学のための公理の基礎として機能することができる、自然数が同等のセットのクラスによって表すことができる。 例えば、第3は3つの要素が丁度あるすべてのセットのクラスとして表すことができる。 また、 Peanoの算術、第3はsが「後継者」機能であるsss0として表される。 多くの異なった表示は可能である; 形式的に3を表すために必要のすべては3回記号のある特定の記号かパターンを記すことである。

整数

負数 ゼロよりより少しの数はある。 それらは正の数の反対である。 例えば正の数が銀行預金を示せば、そして負数同量の回収を示す。 負数は通常によって反対のである数の前の負の符号を(また負符号と呼ばれる)書くことによって書かれている。 従って7の反対は−7を文書による。 時 セット 負数の自然数と結合され、ゼロは、結果また呼ばれる整数数のセット、である 整数, Z (ドイツ語 Zahl、複数 Zahlen)、また書かれている .

有理数

A 有理数 aとして表現することができる数はある 一部分 整数を使って 分子 そして非ゼロの自然数 分母. 一部分 m/n または

表す m 等しい部品、 n そのサイズの等しい部分は1つを全に構成する。 2つの一部分は同じ有理数に対応するかもしれない; 例えば1/2および2/4は等しい、それ次のとおりである:

.

絶対値 の m 以上がある n、それから一部分の絶対値は以上の1である。 一部分は以上、より少しより、または1への同輩のどちらであり、また肯定的、否定的、またはゼロのどちらである場合もある。 すべての有理数のセットはあらゆる整数が分母1の一部分として書くことができるので、整数を含んでいる。 例えば−7は−7/1を文書によるできる。 有理数のための記号はある Q (のために 商)、また書かれている .

実数

実数 測定数すべてを含みなさい。 実数は通常を使用して書かれている 十進法 小数点が場所価値1のディジットの右へ置かれる数字。 小数点の右への各ディジットに左にディジットの場所価値の場所価値10分の1がある。 従って

1つの百、2つの10、3物、4 tenths、5第百、および6,000を表す。 従って数の発言の、小数は読まれた「ポイント」、である: 「1つの2つの3ポイント4 5 6」。 米国でおよびイギリスおよびいくつかの他の国、小数点はaによって表される 期間、大陸ヨーロッパおよびある特定の他の国で小数点がaによって表される一方 コンマ. ゼロは頻繁に0.0として整数としてよりもむしろ実数として扱われるべきであることを示すのに必要な場合書かれている。 否定的な実数は先行と書かれている 負符号:

.

あらゆる有理数はまた実数である。 小数として一部分を書くためには、分母で分子を分けなさい。 しかしそれはあらゆる実数が理性的であること事実ではない。 実数がわずか2つの整数として書くことができなければ呼ばれる 不合理. 一部分として終わる書くことができる小数(終わる)またはそれが分割の問題へ答えであるので、永久に繰り返し。 従って第0.5は1/2および実数0.333としてことができる書く… (永久にthreesを繰り返す) 1/3として書くことができる。 一方では、実数のπ (pi)、の比率 円周 への円の 直径、ある

.

小数は永久に繰り返し終わらないので、一部分として書くことができないし無理数の例である。 他の無理数は含んでいる

( 2の二乗根、正方形が2である)すなわち、正の数。

ちょうど一部分が一方通行より多くに書くことができるようにそう余りに缶の小数。 例えば、私達が同等化の両側を増加すれば

3によって、私達はそれを発見する

.

従って1.0 0.999... 第1を表す2つの10進数字はある。 無限に第1、例えば2/2、3/3、1.00、1.000を、およびそう表す他の多くの方法がある。

あらゆる実数は理性的または不合理である。 あらゆる実数はのポイントに対応する 数ライン. 実数にまた呼ばれる重要で非常に専門的な特性がある 最少の上限 特性。 実数のための記号はある R または .

実数がaを表す時 測定、aが常にある 許容誤差. これは頻繁に示される 円形化 または 省略 測定自体より大きい正確さを提案するディジットが取除かれるように、小数。 残りのディジットは呼ばれる 有効数字. 例えば、定規との測定は少なくとも0.01メートルの許容誤差なしでほとんど作ることができない。 aの側面 長方形 1.23メートルおよび4.56メートルとして測定される、そして乗法は5.6088平方メートルの長方形のための区域を与える。 小数位が重要だった後最初の2ディジットだけ、これ通常5.61に四捨五入されるので。

抽象的な代数学、実数は独特に唯一であることによって特徴付けられる類質同形まである 完全 発注された分野. しかしそれらはない 代数学的に閉鎖した分野.

複素数

抽象的概念のすばらしいレベルに動いて、実数はに拡張することができる 複素数. この数字の組合せは質問から負数がaを有することができるかどうか、歴史的に、の起こった 二乗根. これは新しい数の発明をもたらした: 表示される陰性1の二乗根 I、割り当てられる記号 Leonhard Eulerおよび呼ばれる 想像単位. 複素数は形態のすべての数から成っている

一方、 a そして b 実数はある。 表現 a + Bi、実数 a 呼ばれる 実質部品 そして Bi 呼ばれる 想像部品. 複素数の実質部品がゼロなら、数は呼ばれる 想像数 またはように参照される 全く想像; 想像部品がゼロなら、数は実数である。 従って実数はaである サブセット 複素数の。 実質がおよび複素数の想像部品両方とも整数なら、数はaと呼ばれる ガウス整数. 複素数のための記号はある C または .

抽象的な代数学、複素数はの例である 代数学的に閉鎖した分野、ことをあらゆる意味する 多項式 複合体を使って 係数 あることができる 考慮される 線形要因に。 実数システムのような、複素数システムはaである 分野 そしてある 完全、しかし実数とは違ってそれはない 命令される. すなわち、それの発言に意味がない I 以上の1つはある、それの発言のあらゆる意味それある I 1つよりより少しはある。 専門語では、複素数は欠けている trichotomy特性.

複素数はのポイントに対応する 複雑な平面、時々Argandの平面と呼ばれる。

上記されるEach ofナンバーシステムはaである 真部分集合 次のナンバーシステムの。 象徴的に、 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

計算可能な数

計算の問題に動く 計算可能な数 実数のセットで定められる。 計算可能な数、別名 回帰的な数 または 計算可能なreals、ありなさい 実数 それは有限のによってあらゆる望ましい精密の内でに計算することができ終わる アルゴリズム. 同等の定義はを使用して与えることができる μ回帰的な機能, Turing機械 または λ微積分 アルゴリズムの形式的な表示として。 計算可能な数はaを形作る 実質の閉鎖した分野 そして数学目的の代わりに多数のために実数、すべて使用するのことができない。

他のタイプ

Hyperreal そしてhypercomplex数は使用される 標準外分析. hyperreals、または 標準外reals (通常表示されるように*R)、表示しなさい 発注された分野 適切はであるかどれ 延長 発注された分野のの 実数 R そして満たす 移動の主義. この主義は本当を可能にする 最初等級 約声明 R 本当の最初順序の声明として約解釈し直されるため*R.

Superreal そして 超現実的な数 実数を無限少に小さい数および無限に大きい数を加えることによって拡張しなさい、しかしまだ形作りなさい 分野.

後ろ考え p-adic数 これはある: 実数に小数点の右へ無限の拡張があるかもしれない間、これらの数は左に無限の拡張を可能にする。 生じるナンバーシステムは何によって決まる 基盤 ディジットのために使用される: どの基盤でも可能であるが、基盤がa時最もよい数学特性が付いているシステムは得られる 素数.

無限コレクションを取扱うことのために、自然数はに一般化された 順序数 そしてに 基数. 前は後者はサイズを与えるが、コレクションの命令を与える。 有限なセットのために、順序および基数は同等であるが、無限場合で異なる。

また専門にされた使用を用いる他の数字の組合せがある。 一部は複素数のサブセットである。 例えば、 代数数 根はのある 整式 理性的を使って 係数. 代数ではない複素数は呼ばれる 超越的な数.

複素数のサブセットではない数字の組合せは時々呼ばれる hypercomplexは番号が付いている. それらは含んでいる quaternions H、によって発明されて ウィリアムのナナカマドハミルトン乗法がない 可換性および octonions乗法がない 連想. 要素の 機能は守備につく 非ゼロの 独特 数のようにいろいろな方法でし、頻繁に数と数理論家によってみなされる。

さらに、様々な特定の種類の数はセットでの調査される 自然 そして 整数は番号が付いている.

偶数 2で「均等に割れる」、すなわち、残りなしで2によって分割可能整数はある; 奇数 2で均等に割れない整数はある。 (」均等に割れる旧式の言葉は「今ほとんどの場合短くされる」分割可能「。) 奇数の公式の定義はそれが形態の整数であることである n = 2k + 1、ところ k 整数はある。 偶数に形態がある n = 2k 一方、 k ある 整数.

A 完全な数 aと定義される 正整数 適切な陽性の合計はであるかどれ 除数、数自体を含む肯定的な除数のすなわち、合計ない。 同等に、完全な数は肯定的な除数すべての合計半分のの、またはである数 σ(n) = 2 n. 最初の完全な数はある 6、1つ、2つ、および3つ適切で肯定的な除数および1つ+ 2つ+ 3つ= 6つがであるので。 次の完全な数はある 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。 次の完全な数はある 496 そして 8128 (順序 A000396 OEIS). これらの最初4つの完全な数は早くに知られていた唯一の物だった ギリシャの数学.

A figurate数 規則的のとしておよび分離した表すことができる数はある 幾何学的 パターン(例えば。 点)。 パターンがあれば polytopic、figurateはaと分類される polytopic数、aはあり 多角形数 またはa polyhedral数. Polytopicはのためにr = 2、3番号が付き、4つは次のとおりである:

数字

数は顕著なからべきである 数字、記号は数を表すのが常であった。 第5は基礎10数字「5」とによって表すことができる ローマ数字 「V」。 数を表すのに使用される表示法が記事で論議される 記数法. 数字の歴史の重要な開発は定位置システムの開発、非常に大きい数を表すことができる現代小数のようなだった。 ローマ数字は大きい数のために余分記号を要求する。

歴史

整数の歴史

数の最初の使用

それは数の最初に知られていた使用がおよそ30000に紀元前に遡ることを、骨推測されるまたは考慮されるかどれが頻繁に他の人工物はそれらに切られる印と発見された 検数の印. これらの検数の印の使用は幾日、または量の記録を保つことの数のような経過時間の、カウントからの何でもであるために提案された。

集計してこれは使用される、記数法として考慮することができる最初の一種の抽象システムこと頻繁にそしてそれ自体大きい数の表示を考慮される限るシステムに場所価値の概念が(現在使用された十進表記でのような)ない。

場所価値の最初の知られていたシステムはだった Mesopotamian 基盤60システム(ca。 3400紀元前に)そして最も早い知られていた基盤10システム日付への 3100紀元前に エジプト. [1]

ゼロの歴史

より詳しい情報: ゼロの歴史

数がホルダーの数字として使用から顕著なべきであるようにゼロの使用 場所価値システム. 多くの古代インドのテキストはaを使用する Sanskrit 単語 Shunya 概念をの参照するため 空間; 数学のテキストで頻繁にこの単語が第ゼロを示すのに使用される。 [2]. 同じような静脈では、 Pāṇini (紀元前の第5世紀)ブランクの(ゼロ)オペレータ(ie lambdaの生産)で使用されて Ashtadhyayi、彼の 代数文法 のため Sanskrit 言語。 (また見なさい Pingala)

記録はそれを示す 古代ギリシャ人 数としてゼロの状態について不確実なようであった: 彼らは「何も」何かであるいかにか」。場合もないか彼ら自身を「頼んだ 興味深いへ導くこと 哲学 そして、ゼロの性質についての中世期間、宗教議論および存在によっておよび 真空. パラドックス の EleaのZeno ゼロの不確かな解釈によって大きい部分で決まりなさい。 (古代ギリシャ人は質問した 1 数は。あった)

遅いの Olmec 中南の人々 メキシコ によって多分新しい世界で本当のゼロを(貝のグリフ)使用し始めた 紀元前の第4世紀 しかし確かに 40紀元前に、重要部分がなった マヤの数字 そして マヤのカレンダー、しかし旧世界の記数法に影響を及ぼさなかった。

によって 130, Ptolemy、影響を及ぼされる Hipparchus そしてバビロニア人は別の方法でsexagesimal記数法の内のゼロのためにアルファベットを使用して、記号を(長いoverbarの小さい円)使用していた ギリシャの数字. それが単独で、ないちょうどホルダー、これとして使用されたので 古代ギリシャ文化のゼロ 第1あった 文書化される 本当の使用は旧世界を0点規正する。 後で ビザンチン 彼のの原稿 Syntaxis Mathematica (Almagest)、古代ギリシャ文化のゼロはに変形させた ギリシャの手紙 omicron (さもなければ意味70)。

別の本当のゼロはテーブルで横に使用された ローマ数字 によって 525 (最初に知られていた使用 Dionysius Exiguus)、しかし単語として、 nulla 意味 何も、ない記号として。 分割が残りとしてゼロを作り出した時、 nihil、また意味する 何も、使用された。 これらの中世ゼロは中世すべての未来までに使用された computists (計算機の イースター). 頭文字、Nの隔離された使用はローマ数字のテーブルで、使用された Bede または約同僚 725、本当のゼロ記号。

ゼロの早く文書化された使用 Brahmagupta (で Brahmasphutasiddhanta)に日付を記入する 628. 彼は数としてゼロを扱い、それを含む操作を論議し含んでいる 分割. この時間(第7世紀)までに概念ははっきり達した カンボジア、ドキュメンテーションは後でに広がる考えを示し 中国 そして イスラム教 世界。

負数の歴史

より詳しい情報: 負数の最初使用法

負数の抽象的な概念はには早くも確認された 100紀元前に - 50紀元前に. 中国語 ”数学芸術の9章” (JiuチャンSuanshu)図の区域を見つけるための方法を含んでいる; 赤い棒が陽性を表示するのに使用された 係数、陰性のために黒い。 これは東の負数の最も早く知られていた言及である; 西部の仕事の最初の参照はにあった 第3世紀 ギリシャ. Diophantus と同等の同等化を参照した 4X + 20 = 0 (解決は否定的である) Arithmetica、同等化が不合理な結果を与えたこと言。

の間 600s、負数は使用中だった インド 負債を表すため。 Diophantus」前の参照はインドの数学者によってより明確に論議された Brahmagupta、 Brahma-Sphuta-Siddhanta 628、一般的な形態を作り出すのに負数を使用した 二次方式 その今日使用中に残る。 但し、で 第12世紀 インドでは、 Bhaskara 陰性を応援したり二次方程式をしかし否定的な価値が「取られるこの場合べきではないなぜなら不十分であることを言う与える; 人々は否定的な根を承認しない。「

ヨーロッパ 数学者は、ほとんど、までの負数の概念に抵抗した 17世紀、が フィボナッチ それらが借方(第13章のとして解釈できる財政問題の許可された否定的な解決 Liberのそろばん, 1202)および後で損失として(で Flos). 同時に、 中国語 対応する正の数の数字の右端の非ゼロディジットを通して斜めの打撃を引くことによって負数を示していた[参照は必要とした]. ヨーロッパの仕事の負数の最初の使用はあった Chuquet の間 15世紀. 彼はそれらをように使用した 説明者、しかしそれら「不合理な数」として参照されて。

最近 18世紀、 スイス人 数学者 Leonhard Euler 負数が以上だったことを信じられる 無限[参照は必要とした]、それは無意味だったという仮定の同等化によって戻った否定的な結果を無視する一般的な方法、ちょうどようにであり René Descartes aの否定的な解決とした デカルトの座標系.

理性的で、不合理な、実数の歴史

より詳しい情報: 無理数の歴史 そして piの歴史

有理数の歴史

僅か数の概念がに日付を記入することは本当らしい 有史以前の時. 古代エジプト人 記述する数学のテキストを大将を変える方法を書いた 一部分 彼等のに 特別な表示法. 古典ギリシャ語およびインド人の数学者は一般研究の一部として有理数の理論の調査を、のした 数論. これらの最もよく知られたのある Euclidの要素、大体に日付を記入する 300紀元前に. インドのテキストの、関連したのである Sthananga Sutra、また数学の一般研究の一部として数論をカバーする。

概念の 十進法一部分 小数位の価値表示法と密接に関連があられる; 2つは一緒に成長するようである。 十進法一部分の近似の計算をに含むために例えば、それはジャイナ教の数学のsutrasのために共通である pi または 2の二乗根. 同様に、バビロニアの数学のテキストはずっと大きい頻度のsexagesimal一部分を常に使用している。

無理数の歴史

無理数の最も早く知られていた使用はにあった インド Sulba Sutras その間構成される 800-500紀元前に.[参照は必要とした] 無理数の最初の存在の証拠は通常に帰因する Pythagoras、もっととりわけに ピタゴラス学派 MetapontumのHippasus、のirrationalityのa (本当らしい幾何学的)の証拠を作り出した 2の二乗根. 物語は一部分として2の二乗根を表すことを試みるときHippasusが無理数を発見したこと行く。 但し Pythagoras 数のabsolutenessを信じられて、無理数の存在を受け入れ。 彼は論理によって存在を反証できなかったが彼の確信は無理数の存在を受け入れなかったし、従って彼は死に溺死によってHippasusに刑を宣告した。

第16世紀はEuropeansによって検収完了をの見た 否定的、全体 僅か 数。 第17世紀は一般に数学者が使用した現代表示法が付いている十進法一部分をかなり見た。 しかしそれは19世紀までirrationalsが代数および超越的な部品に分かれていた、irrationalsの理論の科学的な調査はもう一度取られたことではなかったし。 それはその後ほとんど休止状態に残っていた Euclid. 1872理論の出版物をの見た カールWeierstrass (彼の生徒によって Kossak), Heine (Crelle, 74), Georgの先唱者 (Annalen、5)、 リチャードDedekind. Mérayは1869で同じ攻撃開始点をと取った Heine、しかし理論は一般に1872年参照される。 Weierstrassの方法は完全に述べられた Salvatore Pincherle (1880年)、そしてDedekind著者のより遅い仕事(1888年)および最近の裏書によって付加的な卓越性を受け取った ポールの製革所 (1894). Dedekindはaの考えの彼の創設するが、Weierstrass、先唱者の、およびHeineの基盤無限級数の彼らの理論 切口(Schnitt) システムの 実数、すべてを分ける 有理数 ある特定の独特の特性を持っている2グループに。 主題はWeierstrassのせいでより遅い貢献を受け取った、 Kronecker (Crelle、101)、およびMéray。

連分数、無理数に密接に(およびCataldi 1613年のために)、引かれた関心のせいで関連していて Euler、19世紀の開始で執筆による卓越性にの持って来られ ヨセフルイラグランジュ. 他の顕著な貢献はDruckenmullerr (1837年)によってなされた、 Kunze (1857), Lemke (1870年)、 Günther (1872). Ramus (1855年)最初に主題をと接続した 決定要因、Heineのそれに続く貢献と起因する、 Möbius、 Günther、Kettenbruchdeterminantenの理論で。 Dirichletはまた一般的な理論に主題の適用への多数の貢献者を持っているように、加えた。

超越的な数およびreals

超越的な数に関する最初の結果はあった Lambert πが理性的である場合もないおよびまたことこと1761証拠 en 不合理がある n 理性的がある( n = 0). (定数 e 最初に参照された Napier 1618仕事 ロガリズム.) Legendre πが有理数の二乗根ではないことを示されているにこの証拠を拡張した。 根の調査の quintic そして高度の同等化は重要な開発だった アベルRuffiniの定理 (Ruffini 1799, アベル 1824) それらが解決できなかったことを示されている 基 (算術操作および根だけ含む方式)。 それ故により広いセットをの考慮することは必要だった 代数数 (多項式同等化へのすべての解決)。 Galois (1832年の)つながれた多項式同等化への 群論 分野をのもたらすこと Galois理論.

代数数のセットは十分ではなかったし、実数の全揃いは含んでいる 超越的な数. 最初に確立された存在 Liouville (1844年、1851年)。 Hermite それを1873年に証明される e 超越的がある Lindemann πが超越的であると1882年に証明される。 最後に 先唱者 ことをすべてのセット示す 実数 ある uncountably無限 しかしすべてのセット 代数数 ある 可算的に無限、そう超越的な数のuncountably無限数がある。

無限

より詳しい情報: 無限の歴史

数学の最も早い知られていた概念 無限 で現われる Yajur Veda、どんな残るか無限」なら静かな無限から部品を取除くか、または無限に部品を加えれば一時は「示す。 無限はの中の哲学の調査の普及したトピックだった ジャイナ教 数学者頃 400紀元前に. それらは5つのタイプの無限の間で区別した: 1のそして2方向で無限、区域で無限、どこでも無限、および無限永遠に。

西では、数学無限の従来の概念は定義された Aristotle、その間区別した 実際の無限 そして 潜在的な無限; 後者だけ真の値があったことがある概要の一致。 ガリレオ「s 2つの新しい科学 考えをの論議した 1対1の一致 無限セット間。 しかし理論の次の主要な前進はなされた Georgの先唱者; 1895 彼は新しい彼のについての本を出版した 集合論を、数ある中で導入する、 transfiniteは番号が付いている そして作り出すこと 連続の仮説. これは数によって無限を表し、これらの無限数との作動のための規則を与えた最初の数理モデルだった。

60年代では、 アブラハムロビンソン 無限に大きく、無限少数がいかに厳格に定義され、標準外分析の分野を開発するのに使用することができるか示されている。 システムの hyperreal数 考えを約扱う厳密な方法を表す 無限 そして 無限少 数学者、科学者および発明以来エンジニアによって偶然に使用された数 微積分 によって ニュートン そして Leibniz.

無限の現代幾何学的な版は与えられる 射影幾何学、「理想的な無限遠点もたらす」、を各々の空間的な方向のための1つ。 ある特定の方向の平行ラインの各系列は対応する理想的なポイントに一点に集中するために仮定される。 これはvanishingポイントの考えと密接に関連している 見通し デッサン。

複素数

より詳しい情報: 複素数の歴史

負数の二乗根への最も早いつかの間の参照は数学者および発明家の仕事で行われた アレキサンドリアのHeron 第1世紀 彼が不可能のの容積を考慮した時、広告 台 aの ピラミッド. それらはより顕著に時でなった 16世紀 第3そして第4程度の整式の根のための閉鎖した方式はイタリアの数学者によって発見された(見なさい Niccolo Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano). 1つが本当の解決法にだけ興味があって、これらの方式が時々負数の二乗根の処理を要求したことがすぐに実現された。

これは彼らが負数がしっかりした地面であるとその時に考慮しなくてから二倍に人騒がせだった。 これらの量のために」想像言葉は「鋳造された René Descartes 1637 そして軽蔑的があるために意味された(見なさい 想像数 複素数の「現実」の議論のため)。 混乱のそれ以上のもとはこと同等化だった

代数アイデンティティと気まぐれに矛盾したようである

,

肯定的な実数のために有効であるかどれが a そして b、1つの複素数の計算でも使用され a, b 陽性および他の陰性。 このアイデンティティの不正確な使用、および関連のアイデンティティ

場合場合の両方 a そして b 絶えず悩む否定的ある Euler. この難しさは特別な記号の使用の大会に結局彼を導いた I この間違いに対して守るべき√−1の代わり。

18世紀 労働をの見た アブラハムde Moivre そして Leonhard Euler. DeがMoivreは原因(1730年)彼の名前に耐える有名な方式である、 de Moivre'sの方式:

そしてにEuler (1748年) Eulerの方式 の 複雑な分析:

複素数の存在は完全に幾何学的な解釈が記述されていたまで受け入れられなかった Caspar Wessel 1799; それは後で数年再発見され、大衆化された Carl Friedrich Gauss、その結果複素数の理論は著しい拡張を受け取り。 しかし複素数の写実的な表示の考えは1685年には早くも、現われた Wallis「s De Algebraのtractatus.

また1799年に、Gaussはの最初の一般に認められた証拠を提供した 代数学の基本的な定理、複素数上のあらゆる整式にその王国で解決の全揃いがあることを示す。 複素数の理論の一般からの容認は労働のために小さいのそうなったものではない AugustinルイCauchy そして Niels Henrikアベルおよび大胆に有名である成功の複素数を使用する第1だった特に後者。

Gauss 調査される 形態の複素数 a + Bi、ところ a そして b 必要、または理性的がありなさい( I 2つの根の1つはのある X2 + 1 = 0). 彼の学生、 Ferdinand Eisenstein、タイプ調査される a + bω、ところ ω 複雑な根はのある X3 − 1 = 0. 他のそのようなクラス(呼ばれる 円分法分野)複素数のから得られる 単一性の根 Xk 高い値のための− 1 = 0の k. この概括はのために主としてある Ernst Kummer、また発明した 理想的な数、幾何学的な実体として表現された Felix Klein 1893年に。 分野の一般的な理論は作成された Évariste Galois、調査した分野はあらゆる多項式同等化の根によって発生した F(X) = 0.

1850 勝利者Alexandre Puiseuxは棒とブランチ・ポイントの間で区別の主ステップを踏み、概念をのもたらした 必要な単一ポイント; これはの概念を結局もたらす 延長複雑な平面.

素数

素数 記録された歴史中調査された。 Euclidはの1冊の本を捧げた 要素 理論にの発動を促す; それで彼はのinfinitudeが発動を促すことを証明し、 算術の基本的な定理および示された ユークリッドのアルゴリズム 見つけることのため 最大公約数 2つの数の。

240紀元前に, Eratosthenes 使用した Eratosthenesのふるい すぐに素数を隔離するため。 しかし理論のほとんどのそれ以上の開発はのにヨーロッパの日付に発動を促す ルネサンス そしてより遅い時代。

1796, Adrien-Marie Legendre 推測した 素数の定理、漸近配分をの記述することは発動を促す。 の配分に関する他の結果はのreciprocalsの合計がそれる、発動を促すこと含んでいるEulerの証拠を発動を促し Goldbachの推量 どの十分大きい偶数でもあること2の合計を発動を促す要求するかどれが。 更に別の推量は素数の配分にである関連していた Riemannの仮説、作り出される Bernhard Riemann 1859. 素数の定理は最終的に証明された Jacques Hadamard そして チャールズde la Vallee-Poussinn 1896. GoldbachおよびRiemannの推量はけれども証明されるか、または論駁されることを残る。

参照

調べなさい 数 Wiktionary、自由な辞書。

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外部リンク

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