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分離した余弦は変形する
A 分離した余弦は変形する(DCT) 合計の点では多くのデータ点の順序をの有限に表現する 余弦 別で振動する機能 頻度. DCTsは科学そして工学の多数の適用にとって重要、からである 損失のある圧縮 の 可聴周波 そして イメージ 小さいところで(高周波部品は)放棄することができる、に 分光方法 数値解法のための 偏微分方程式. 余弦の使用よりもむしろ 正弦 機能はこれらの適用で重大である: 圧縮のために、それは余弦機能がはるかに有効であることなる(後で説明されるように、典型的の近づけるために少数は必要である 信号)、微分方程式のために余弦が特定の選択をの表現する一方 境界条件.
特に、DCTはaである フーリエ関係した変形させなさい に類似した 分離したフーリエ変換 (DFT)、しかしただ使用する 実数. DCTsは二度実質データでとの作動する大体長さのDFTsと同等である 均一 ある変形で入力やアウトプットデータがサンプル半分のによって移るところ、対称(実質および均一な機能のフーリエ変換が実質および均一であるので)。 4つが共通の8つの標準的なDCTの変形がある。
分離した余弦の共通の変形はである頻繁に「DCT」と単に呼ばれるタイプII DCT変形する、; そのinverse、タイプIII DCTは頻繁に、相応じて「反対DCT」か「IDCT」と単に呼ばれる。 関連する2つはである変形する 分離した正弦は変形する (DST)、実質のDFTと同等である 異様 機能、および 変更された分離した余弦は変形する (MDCT)、DCTに基づかせている 重複 データ。
目次 |
適用
DCTおよび特にDCT-IIは、lossyのデータ圧縮のための信号および、強い「エネルギー圧縮」の特性を有するので、特に画像処理で頻繁に使用される(Raoはおよび1990年甲高い声で話す): 信号情報のほとんどはDCTの少数の低頻度の部品、接近に集中されがちである Karhunen-Loèveは変形する (decorrelationの感覚で最適)の信号のためにある特定の限界にの基づいていた Markovプロセス. 後で説明されるように、これは余弦機能で暗黙境界条件から生じる。
関係したの、変形する 変更される 分離した余弦は変形する、またはMDCTは(DCT-IVに基づく)、使用される AAC, Vorbis, WMA、 エムピー・スリー オーディオ圧縮。
DCTsはまたDCTの異なった変形が配列の2つの終わりにわずかに異なる均一か異様な境界条件に対応する分光方法によって偏微分方程式の解決で広く用いられる。
DCTsはまた密接にと関連している Chebyshevの整式、速いDCTのアルゴリズムは(次に)使用され Chebyshevの近似 一連のChebyshevの整式任意機能の、例えば Clenshaw-Curtisの求積法.
JPEG
DCTは使用される JPEG 画像圧縮、 MJPEG, MPEG、 DV 画像圧縮。 そこでは、二次元DCT-IIの ブロックは計算され、結果はある 量子化された そして エントロピーはコードした. この場合、 N 普通8つはあり、DCT-IIの方式はブロックの各列そしてコラムに適用される。 結果は× 8が係数の配列を変形させる8である (0,0) 要素は(上左)縦および横のインデックス値の増加を用いるDC (ゼロ頻度)の部品そして記入項目表すより高い縦および横の空間周波数をである。
非公式の概観
フーリエ関係したのように変形させなさい、分離した余弦は(DCTs)表現する機能か信号をの変形する合計の点では sinusoids 別と 頻度 そして 広さ. のように 分離したフーリエ変換 (DFT)、DCTは離散データポイントの有限な数で機能を作動させる。 DCTとDFT間の明らかな区別は後者は余弦および正弦を両方使用するが、こと前の使用余弦機能だけである(の形で 複雑なexponentials). 但し、この目に見える相違はただより深い区別の結果である: DCTは別を意味する 境界条件 関連するDFTまたは他より変形する。
有限の上の機能を作動させるフーリエ関係したの変形する 範囲、DFTのようなかDCTまたはa フーリエシリーズ、暗示的に定義としてについて考えることができる 延長 範囲の外のその機能の。 すなわち、機能を書けば f(X) sinusoidsの合計として、でその合計を評価できる X、のために均等にしなさい X 原物一方、 f(X) 指定されなかった。 DFTは、フーリエシリーズのような、aを意味する 周期的 元の機能の延長。 aのようなDCT、 余弦は変形する、意味する 均一 元の機能の延長。
但し、DCTsが作動するので 有限, 分離した 順序、連続的な余弦のための変形しない2つの問題は起こる。 最初に、1つは機能が均一または異様であるかどうかで指定しなければならない 両方 範囲の左右の境界(すなわち。 分n そして最高n 後で、それぞれ定義の境界)。 2番目に、1つは指定しなければならない どんなポイントか 機能は均一または異様である。 特に、順序を考慮しなさい abcd 4つの等間隔のデータ点の、私達が均一の指定すると言えば 左 境界。 2つの良識がある可能性がある: どちらかデータはサンプルについて均一である a、均一な延長があれば dcbabcd、またはデータはポイントについて均一である 中途半端に 間 a そして均一な延長があれば、前のポイント dcbaabcd (a 繰り返される)。
これらの選択はのそしてまた標準的な変化すべてDCTsをもたらす 分離した正弦は変形する (DSTs)。 各境界は(境界ごとの2つの選択)均一または異様であり、合計のための2つのデータ点(境界ごとの2つの選択)間で中途半端のデータ点かポイントについて対称的、のである場合もある 可能性。 これらの可能性、それらの半分ところ 左 境界は8つのタイプのDCTに均一、対応するである; 残りの半分は8つのタイプのDSTである。
これらの異なった境界条件は強く変形の適用に影響を与え、様々なDCTのタイプのための独特に有用な特性をもたらす。 最も直接、時フーリエ関係した使用は解決するために変形する 偏微分方程式 によって 分光方法、境界条件は直接ように解決する問題の部分指定される。 または、のために MDCT (タイプIV DCTに基づいて)、境界条件はMDCTの時間範囲のエイリアシングの取り消しの重大な特性に密接にかかわる。 より微妙な方法では、境界条件は境界がシリーズフーリエのようにの集中性の率に影響を与えるので、DCTsをイメージおよびオーディオ圧縮のために有用に作る「エネルギー圧縮」の特性に責任がある。
特に、それは有名ことである 不連続 機能で減らしなさい 集中性の率 フーリエシリーズの、ある特定の正確さと機能を表すためにより多くのsinusoidsが必要であるように。 同じ主義はDFTの実用性を支配し、他は信号の圧縮のために変形する: スムーザーは機能あるそれを正確に表すように、DFTまたはDCTの少数の言葉は要求され多く圧縮されるである場合もある。 (ここに、私達はのための近似としてDFTかDCTについて考える フーリエシリーズ または 余弦シリーズ 機能の、それぞれ、「滑らかさ述べるため。」しかし)、DFTの暗黙の周律は不連続が通常境界に起こることを意味する: 信号のどの任意区分でも両方の左右の境界で同じ価値を持ってまずない。 (Aの同じような問題は異様な左の境界条件が。その境界でゼロであることを起こらないあらゆる機能のための不連続を意味するDSTのために起こる、)対照的に、DCT 両方 境界は均一である 常に 境界で連続的な延長をもたらす(が 斜面 一般に不連続がある)。 こういうわけでタイプのDCTsおよび特にDCTs I、II、V、およびVI (2つの境界があるタイプ)一般にDFTsおよびDSTsより信号の圧縮のためによく行うため。 実際には、タイプII DCTは通常計算の便利という理由から一部にはそのような適用のために優先する。
公式の定義
形式的に、分離した余弦はであるa変形する 線形、invertible 機能 F : RN -> RN (ところ R セットをの表示する 実数)、または同等にinvertible N × N 正方形マトリックス. わずかに変更された定義を含むDCTの複数の変形がある。 N 実数 X0, ..., XN-1 に変形させる N 実数 X0, ..., XN-1 方式の1つに従って:
DCT-I
それ以上の何人かの著者は増加する X0 そして XN-1 √2による言葉は、相応じて増加し X0 そして XN-1 1/√2による言葉。 これはDCT-Iのマトリックスを作る 直角、それ以上の1つが全面的な計数逓減率によっての増加すれば 、しかし実質均一なDFTの直接一致を壊す。
DCT-IはDFTへ丁度等量(2の全面的な計数逓減率まで)、のである 2N − 2 均一な対称の実数。 例えば、DCT-Iの N=5実数 abcde 等量は8つの実数のDFTに丁度ある abcdedcb (対称)、2で割ることによって求められる。 (対照的に、DCTのタイプII-IVは同等のDFTで半分サンプル転位を。含む)
しかしDCT-Iがのために定義されないことノート N より少しにより2。 (他のDCTのタイプはすべて陽性のために定義される N.)
従って、DCT-Iは境界条件に対応する: Xn 均一がある n=0は均等になり、 n=N-1; 同様にのために Xk.
DCT-II
DCT-IIはおそらく最も一般的な形態単に、「DCT」と頻繁に言われる。
これはDFTへである丁度等量(2の全面的な計数逓減率まで)の変形する 4N 均一指示された要素がゼロである均一な対称の実質の入力。 すなわち、それはのDFTの半分である 4N 入力 yn、ところ y2n = 0, y2n + 1 = Xn のため 、 y4N − n = yn のため 0 < n < 2N.
それ以上の何人かの著者は増加する X0 1/√2による言葉(DCT-IIIの対応する変更については次に見なさい)。 これはDCT-IIのマトリックスを作る 直角、それ以上の1つが全面的な計数逓減率によっての増加すれば 、しかし半分移された入力の実質均一なDFTの直接一致を壊す。
DCT-IIは境界条件を意味する: Xn 均一がある n=-1/2は均等になり、 n=N-1/2; Xk 均一がある k=0および異様 k=N.
DCT-III
それがDCT-IIのinverse (計数逓減率まで、次に見なさい)であるので、この形態は「反対DCT」と時々単に言われる(「IDCT」)。
それ以上の何人かの著者は増加する X0 DCT-IIおよびDCT-IIIがあるように1/√2による言葉は互いの(DCT-IIの対応する変更については上で見なさい)、置き換わる。 これはDCT-IIIのマトリックスを作る 直角、それ以上の1つが全面的な計数逓減率によっての増加すれば 、しかし半分移された出力の実質均一なDFTの直接一致を壊す。
DCT-IIIは境界条件を意味する: Xn 均一がある n=0および異様 n=N; Xk 均一がある k=-1/2は均等になり、 k=N-1/2.
DCT-IV
DCT-IVのマトリックスはなる 直角 それ以上の1つが全面的な計数逓減率によっての増加すれば .
別からのデータが変形するDCT-IVの変形は、ある 重複される、呼ばれる 変更された分離した余弦は変形する (MDCT)。
DCT-IVは境界条件を意味する: Xn 均一がある n=-1/2および異様 n=N-1/2; 同様にのために Xk.
DCT V-VIII
DCTのタイプI-IVは均一な順序の実質均一なDFTsと同等である(にもかかわらずかどうか N 対応するDFTが長さ2 (であるので、均一または異様が)あるN−1) (DCT-Iのために)または4N (DCT-II/IIIのために)または8N (DCT-VIIIのために)。 原則的には、実際に要因を持ちなさい4つの付加的なタイプの分離した余弦が変形し(Martucci 1994年)あり、論理的に異様な順序の実質均一なDFTs本質的に対応する、 余弦の議論の分母。
同等に、タイプI-IVのDCTsは両方の境界のためのデータ点のまわりでまたは中途半端に両方の境界のための2つのデータ点間で均一または異様である境界を意味する。 タイプV-VIIIのDCTsはまたは1つの境界のためのそして中途半端に他の境界のための2つのデータ点間のデータ点のまわりで異様均等になる境界を意味する。
但し、これらの変形は稀に実際に使用されるようではない。 1つの理由は、多分、異様長さDFTsのためのFFTのアルゴリズムが一般に均一長さDFTsのためのFFTのアルゴリズムより複雑であることである(例えば。 最も簡単な底2のアルゴリズムは均一な長さのためだけ)であり、この高められた複雑さはDCTsに下記に記されているように引き継ぐ。
(とるに足らなく実質均一な配列、1桁の長さ1 DFT (異様な長さ) a、長さのDCT-Vに対応する N=1.)
Inverseは変形する
DCT-Iのinverseはである2によって増加するDCT-I (N-1). DCT-IVのinverseは2によって増加するDCT-IVであるN. DCT-IIのinverseは2によって増加するDCT-IIIであるN (またその逆にも)。
のためにのように DFT、これらの前の標準化の要因は定義を、ただ大会処置の間で異なる変形させる。 例えば、何人かの著者は変形する増加する inverseが付加的な増加する要因を要求しないように。 √2の適切な要因と結合されて(上で見なさい)、これが変形のマトリックスを作るのに使用することができる 直角.
多次元DCTs
様々なDCTのタイプの多次元変形は1次元定義からまっすぐに続く: それらは各次元に沿うDCTsの分離可能なプロダクト(同等に、構成)単にである。
次に例えば、イメージまたはマトリックスの二次元DCT-IIは列とコラムに沿って行われる1次元DCT-II、上でから単にである(または逆に)。 すなわち、第2 DCT-IIは方式によって与えられ(標準化および他の計数逓減率を、上でとして省略する):
厳密には、2 (または多)次元DCTを各次元に沿う1次元DCTsの順序によって計算してaとして知られている 列コラム アルゴリズム(二次元の場合の後で)。 と同じように 多次元FFTのアルゴリズムしかし計算を別の順序で行っている間そこに他の方法同じ事を計算するある(すなわち。 異なった次元のためのアルゴリズムを入れ込むか、または結合する)。``
右へのイメージは示す8 x 8のための横および縦の頻度の組合せを(N1 = N2 = 8)二次元DCT。 各ステップ左から右へおよび上下は1/2周期によって頻度の増加行う。 例えば、上左の正方形からの移動権利1は横の頻度の半分周期の増加をもたらす(白いから黒に行く)。 右への別の移動は2つの半分周期をもたらす(白に黒に白い)。 移動は2つの半分周期および半分周期を縦に水平にもたらす。 原始データ(8x8)はaに変形する 線形組合せ この64の頻度正方形の。
計算
がこれらの方式の直接適用が要求するOを(N2)操作、であるOだけとの同じ事を計算することは可能(N 丸太 N)計算をに同様に因数分解することによる複雑さ 高速フーリエ変換 (FFT)。 1つはまたOと結合されるFFTsによってDCTsを計算できる(N)前そして後処理ステップ。
最も有効なアルゴリズムは、原則的には、通常Oと通常のFFTの使用に対してであるDCTのために直接専門にするアルゴリズム(N)余分操作(例外については次に見なさい)。 但し、DCTのアルゴリズムを「専門にした」 (最も低く知られていた算術計算を達成するそれらを含むすべて、少なくとものための 力の2 サイズはFFTとFFTを取り、この対称のために余分な操作を除去することによって)普通密接にDCTsが本質的に実質均一なデータのDFTsであるアルゴリズムので、1速いDCTのアルゴリズムを設計できる関連している。 これは自動的にすることができる(Frigo及びジョンソン2005年)。 に基づくアルゴリズム Cooley-Tukey FFTのアルゴリズム 共通がありなさい、しかし他のどのFFTのアルゴリズムもまた適当である。 例えば、Winograd FFTのアルゴリズムはDFTのための最低乗法のアルゴリズムをもたらす、とはいえ一般により多くの付加の費用、および同じようなアルゴリズムでDCTのためのFeig及びWinograd (1992年)によって提案された。 DFTs、DCTs、および類似したのためのアルゴリズムが他のための即時の利益にである密接に関連するすべてそう1つのためのアルゴリズムのあらゆる改善変形する論理上導くまた変形する変形するので(Duhamel及びVetterli 1990年)。
非修飾FFTを用いるDCTのアルゴリズムに頻繁に最もよい専門にされたDCTのアルゴリズムと比較される理論的な間接費がある間、前にまた明瞭な利点がある: 高度に最適化されたFFTプログラムは広く利用可能である。 従って、実際に、頻繁に一般的な長さのための高性能を得ることは容易である N FFT基づかせていたアルゴリズムを使って。 (現代ハードウェアの性能は算術計算によって普通単に支配されないし、最適化は相当な工学技術の成果を。要求する)広まった使用がのための小さいののような固定サイズの変形することを専門にされたDCTのアルゴリズムは、一方では、見る 使用されるDCT-II JPEG 圧縮、か小さいDCTs (またはMDCTsオーディオ圧縮で)普通使用した。 (減らされたコードサイズはまた。埋め込装置塗布のために専門にされたDCTを使用する理由であるかもしれない)
実際は、通常のFFTを使用してDCTのアルゴリズムは時々実質対称的なデータのより大きいFFTからの余分な操作を切り取ることへ等量であり、算術計算の観点から最適でもいい。 例えば、タイプII DCTはサイズのDFTと同等である 4N 均一指示した実質均一な対称によって要素はゼロである。 FFTによってこれを計算するための共通方法の1つ(例えば。 FFTPACKで使用される方法 FFTW) Makhoul (1980年)のためにそうなったものであり、この方法はDCT II.に相当して「論理的な」実質均一なDFTに適用される底4の殺害時間Cooley-Tukeyのアルゴリズムの1つのステップとして結果的に見ることができる。 (底4のステップはサイズを減らす 4N 4サイズへのDFTN 2つが均一な対称によって互いと等しくであって下さい2およびゼロであるそれ故に単一のサイズを与える実質データのDFTs、N 実質データのFFTと O(N) 蝶。) 均一指示された要素がゼロであるので、この底4のステップは裂底のステップと丁度同じである; それに続くサイズN 実質データFFTはまた実質データによって行われる 裂底のアルゴリズム (等Sorensen、1987年でように)、それから生じるアルゴリズムは実際に一致させるDCT-II力の2のための最も低く出版された算術計算に(2N丸太2N − N + 2 実質算術操作[1]). 従って、FFTによって対応するFFTのアルゴリズムは最適であるかどうか見通しそれによってが時々ただ質問のである算術からDCTを悪い何も本質的に計算することについてない。 (実際問題として別のFFTルーチンの実施の間接費を小さいのために重要があるかもしれない機能呼びなさい N、しかしこれはアルゴリズムの質問よりもむしろ広がるか、またはinliningによって。解決することができるので実施である)
ノート
- ^ 実質の算術演算の精密な計算、および特に実質の乗法の計算は変形定義のスケーリングによって、幾分決まる。 2N丸太2N − N + 2 計算はここに示されているDCT-II定義のためである; 2つの乗法は変形がオーバーオールによって量られれば救うことができる 要因。 付加的な乗法は新井によって1つが変形の出力がそれぞれ変更されるようにすればように等示されていた救うことができる。 (1988年) JPEGで使用されるサイズ8の例のために。
参照
- N. Ahmed、T。 NatarajanおよびK。 R. Raoは、「分離した余弦」変形する、 IEEE Trans。 コンピュータ、90-93、1974年1月。
- Y. 新井、T。 AguiおよびM。 Nakajima、「イメージのための速いDCT-SQの機構」、 Trans. IEICE 71 (11) 1095-1097年(1988年)。
- P. DuhamelおよびM。 Vetterliは、「速いフーリエ変形する: 個人指導の検討および最新式、「 信号処理 19、259-299 (1990年)。
- E. Feig、S。 Winograd。 「分離した余弦のための速いアルゴリズム変形する」、は 信号処理のIEEEトランザクション 40 (9)、2174-2193 (1992年)。
- Matteo FrigoおよびスティーブンG。 ジョンソン: FFTW, http://www.fftw.org/. 自由の(GPL)任意サイズの1つ以上の次元の速いDCTs (タイプI-IV)をできるCライブラリ、計算。 またM。 FrigoおよびS。 G. ジョンソン、「FFTW3の設計そして実施," IEEEの進行 93 (2)、216-231 (2005年)。
- ジョンMakhoulは1つそして2つの次元で、「速い余弦変形する」、 IEEE Trans。 Acoust。 スピーチのSIG。 Proc。 28 (1)、27-34 (1980年)。
- S. A. Martucciは、「対称的な回旋および分離した正弦および余弦変形する」、 IEEE Trans。 SIG。 処理 SP-42、1038-1051年(1994年)。
- A. V。 Oppenheim、R。 W. SchaferおよびJ。 R. 木びき台、 Discrete-Timeの信号処理、第2版(無経験ホール、ニュージャージー1999年)。
- K. R. Rao そしてP。 甲高い声で話しなさい、 分離した余弦は変形する: アルゴリズム、利点、適用 (学術出版物、ボストン1990年)。
- H. V。 Sorensen、D。 L. ジョーンズ、M。 T. HeidemanおよびC。 S. Burrus、「実数値高速フーリエ変換のアルゴリズム」、 IEEE Trans。 Acoust。 スピーチのSIG。 処理 ASSP-35、849-863 (1987年)。
また見なさい
- JPEG - DCTの変形の例を理解すること容易の含んでいる
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