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Metodo spettrale

Metodi spettrali è un codice categoria delle tecniche usate dentro matematica applicata e computazione scientifica risolvere numericamente sicuro equazioni differenziali parziali, spesso coinvolgendo l'uso del Trasformata di fourier veloce. Dove applicabili, i metodi spettrali hanno proprietà eccellenti di errore, con la cosiddetta “convergenza esponenziale„ che è il possibile più veloce.

Le equazioni differenziali parziali (PDEs) descrivono una grande selezione dei processi fisici quali conduzione di calore, quantità di fluido e la propagazione del suono. In molte tali equazioni, ci sono “onde di base„ di fondo che possono essere usate danno a procedure efficienti per le soluzioni di calcolo ai questi PDEs. In un caso tipico, i metodi spettrali approfittano di questo fatto scrivendo la soluzione come relativa Serie di Fourier, sostituendo questa serie nel PDE per ottenere un sistema di ODEs nei coefficenti dipendenti dal tempo dei termini trigonometrici in serie (scritta nella forma esponenziale complessa) ed in usando un metodo tempo-fare un passo risolvere quei ODEs.

Il metodo spettrale e metodo di elemento limitato molto attentamente sono riferiti e costruiti sulle stesse idee; la differenza principale fra loro è che il metodo spettrale si approssima alla soluzione As combinazione lineare delle funzioni continue che sono generalmente diverse da zero sopra il dominio della soluzione (solitamente sinusoids o Polinomi di Chebyshev), mentre il metodo di elemento limitato si approssima alla soluzione poichè una combinazione lineare a tratti delle funzioni che sono diverse da zero sui piccoli subdomains. A causa di questo, il metodo spettrale intraprende la a metodo globale mentre il metodo di elemento limitato è a metodo locale. Ciò fa parte di perchè il lavoro spettrale di metodo il più bene quando la soluzione è liscio.

Nella Comunità limitata dell'elemento, in un metodo dove il grado degli elementi è molto alto o negli aumenti come le diminuzioni di parametro h di griglia a zero a volte è denominata a metodo spettrale dell'elemento.

L'esecuzione del metodo spettrale normalmente è compiuta uno con collocazione o a Galerkin metodo.

Un esempio concreto

Qui presumiamo una comprensione di base di a più variabili di base calcolo e Serie di Fourier. Se il g (x, y) è saputo, una funzione complesso-stimata di due variabili reali ed il g è periodici nella x ed in y (cioè =g del =g di g (x, y) (x+2π, y) (x, y+2π)) allora siamo interessati nell'individuazione della funzione la f (x, y) in modo che

dove l'espressione a sinistra denota i secondi derivati parziali della f nella x ed in y, rispettivamente. Ciò è Equazione del Poissone può essere interpretato fisicamente come certa specie del problema di conduzione di calore.

Se scriviamo la f ed il g nella serie di Fourier:

e sostituisca nell'equazione differenziale, noi ottengono questa equazione:

Abbiamo scambiato la differenziazione parziale con una somma infinita, che è legittima se ammettiamo per esempio quello f ha un secondo derivato continuo. Dal teorema di unicità per le espansioni del Fourier, dobbiamo allora identificare il termine di coefficenti del Fourier dal termine, dante

(*)

quale è una formula esplicita per i coefficenti del Fourier a_J,K.

Per trasformare in questa una procedura, soltanto in modo limitato molte frequenze sono risolte per. Ciò introduce un errore a cui può essere indicato per essere proporzionale hⁿ, dove h = 1 / n e n è l'più alta frequenza trattata.

Procedura

1. Computi la trasformata di fourier (b_{J, K}) di g.
2. Computi la trasformata di fourier (a_{J, K}) di f via la formula (*) e la trasformata di fourier di g.
3. Calcolo f prendendo una trasformata di fourier inversa di (a_{J, K}).

Poiché siamo soltanto interessati in una finestra limitata delle frequenze (del formato n, l'ad esempio) questo può essere fatto usando la a Trasformata di fourier veloce procedura. Di conseguenza, globalmente la procedura funziona a tempo O(n ceppo n).

Un rapporto con il metodo spettrale dell'elemento

Uno può mostrare quello se g è infinitamente differenziabile, allora la procedura numerica che usando Fourier veloce trasforma convergerà più velocemente affatto polinomio nel formato H. di griglia. Cioè per qualsiasi n> 0, ci è a tali che l'errore è di meno che Chⁿ per i valori tutto il sufficiente piccoli di h. Diciamo che il metodo spettrale è di ordine n, per ogni n> 0.

Poiché a metodo spettrale dell'elemento è la a metodo di elemento limitato di ordine molto alto, ci è una somiglianza nelle proprietà di convergenza. Tuttavia, mentre il metodo spettrale è basato sul eigendecomposition del problema di valore di contorno particolare, il metodo spettrale dell'elemento non usa quelle informazioni e non funziona per arbitrario problemi di valore di contorno ellittici.

Veda inoltre

• Metodo discreto dell'elemento
• Metodo di elemento limitato
• Metodo limitato del volume
• Griglia gaussiana
• metodo Pseudo-spettrale
• Metodo spettrale dell'elemento
• Metodo del Galerkin
• Metodo di collocazione

Riferimenti

• Chebyshev e metodi spettrali del Fourier da John P. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo: Un metodo spettrale dell'elemento per il Navier--Rifornisce le equazioni con esattezza migliorata
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A. e Zang T.A. (2006) Metodi spettrali. Fondamenti nei singoli dominii. Springer-Verlag, Berlino Heidelberg