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La geometria euclidea

La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito al Greco matematico Euclid di Alessandria. Testo del Euclid Elementi è la discussione sistematica il più presto conosciuta su la geometria. È stato uno dei libri più influenti nella storia, tanto per il relativo metodo quanto per il relativo soddisfare matematico. Il metodo consiste di presupporre un piccolo insieme intuitivo di fare appello assiomied allora dimostrando molto altro proposte (teoremi) da quegli assiomi. Anche se molti dei risultati del Euclid erano stati dichiarati dai matematici greci più in anticipo, Euclid era il primo per mostrare come queste proposte potrebbero essere inserite insieme in un deduttivo completo e sistema logico.

Elementi cominci con la geometria piana, ancora insegnato dentro scuola secondaria come il primo sistema assiomatico ed i primi esempi di prova convenzionale. Elementi accende al la geometria solida di tre dimensionie la geometria euclidea successivamente è stata estendere a tutto il numero limitato di dimensioni. Gran parte del Elementi dichiara i risultati di che cosa ora è denominato teoria di numero, risultato usando i metodi geometrici.

Per oltre due mila anni, l'aggettivo “euclideo„ era inutile perché nessuna altra specie della geometria era stata concepita. Gli assiomi del Euclid hanno sembrato così intuitivo evidenti che tutto il teorema provato da loro è stato ritenuto allineare in un senso assoluto. Oggi, tuttavia, molto altro lattulosio Geometries non-Euclidei sono conosciuti, quei primi che sono scoperti nel diciannovesimo secolo in anticipo. Inoltre più non è preso per ammesso che la geometria euclidea descrive lo spazio fisico. Un'implicazione di Einstein'teoria di s di relatività generale è quello che la geometria euclidea è una buona approssimazione alle proprietà di spazio fisico soltanto se campo gravitazionale non è troppo forte.

Indice

Metodo assiomatico

La geometria euclidea è sistema assiomatico, in che tutto teoremi (“dichiarazione allineare„) sono derivati da un numero limitato di assiomi. Vicino all'inizio del primo libro del Elementi, Euclid dà cinque postulati (assiomi):

  1. Qualsiasi due punti può unirsi dalla a linea retta.
  2. C'è ne linea retta segmento può estendersi indefinitamente in una linea retta.
  3. Dato qualsiasi linea retta segmento, a cerchio può essere disegnato avendo il segmento As raggio ed un punto finale come centro.
  4. Tutti angoli retti sia conforme.
  5. Postulato parallelo. Se due linee intersecano un terzo im modo tale che la somma degli angoli interni da un lato è più meno di due angoli retti, quindi le due linee devono intersecarsi inevitabilmente da quel lato se estese abbastanza lontano.

Questi assiomi invocano i seguenti concetti: indichi, linea retta segmento e linea, il lato di una linea, cerchio con gli angoli retti interni e del raggio e del centro, di angolo retto, di congruenza, somma. I seguenti verbi compaiono: unisca, estenda, disegni, intersechi. Il cerchio descritto nel postulato 3 è tacitamente unico. I postulati 3 e 5 tengono soltanto per la geometria piana; in tre dimensioni, il postulato 3 definisce una sfera.

Il postulato 5 conduce alla stessa geometria di seguente dichiarazione, conosciuta come Assioma del Playfair, che inoltre tiene soltanto nell'aereo:

Attraverso un punto non su una data linea retta, una e soltanto una linea può essere disegnata che non viene a contatto mai di data linea.

I postulati 1, 2, 3 e 5 assericono l'esistenza e l'unicità di determinate figure geometriche e queste asserzioni sono di natura costruttiva: cioè non solo ci diciamo a che determinate cose esistano, ma inoltre siamo dati i metodi per la generazione loro senza più della a la bussola e unmarked lo straightedge. In questo senso, la geometria euclidea è più concreta di molti sistemi assiomatici moderni come la teoria degli insiemi, che assericono spesso l'esistenza degli oggetti senza dire come costruirli, o persino asserire l'esistenza degli oggetti che non possono essere costruiti all'interno della teoria.

In senso stretto, le costruzioni delle linee su carta ecc sia modelli degli oggetti definiti all'interno del sistema convenzionale, piuttosto che dei casi di quegli oggetti. Per esempio una linea retta euclidea non ha larghezza, ma tutta la linea disegnata reale.

Elementi inoltre includa i seguenti cinque “nozioni comuni„:

  1. Le cose che sono uguale la stessa cosa inoltre sono uguale uno un altro.
  2. Se i uguali sono aggiunti ai uguali, quindi i wholes sono uguali.
  3. Se i uguali sono sottratti dai uguali, quindi i resti sono uguali.
  4. Cose che coincidono tra loro uguale uno un altro.
  5. Il tutto è più grande del divisorio.

Euclid inoltre ha invocato altre proprietà pertinente a grandezze. 1 è l'unica parte della logica di fondo che Euclid ha articolato esplicitamente. 2 e 3 sono principii “aritmetici„; si noti che i significati di “aggiungono„ e “sottragga„ in questo contesto puramente geometrico sono presi come dato. da 1 a 4 definiscono funzionalmente uguaglianza, che può anche essere preso come componente della logica di fondo o come rapporto equivalente richiedendo, come “coincide,„ definizione anteriore attenta. 5 sono un principio di mereology. “Intero„, “parte„ e “resto„ elemosini le definizioni precise.

Nel diciannovesimo secolo, è stato realizzato che dieci assiomi e le nozioni comuni del Euclid non bastano dimostrare tutti i teoremi dichiarati in Elementi. Per esempio, Euclid ha supposto implicitamente che tutta la linea contiene almeno due punti, ma questo presupposto non può essere dimostrato dagli altri assiomi e quindi dalle necessità essere un assioma in se. La primissima prova geometrica in Elementi, è indicato nella la figura a destra, che tutta la linea segmento fa parte di un triangolo; Euclid costruisce questo nel senso usuale, disegnando i cerchi intorno ad entrambi i punti finali e prendendo la loro intersezione come il terzo vertice. I suoi assiomi, tuttavia, non garantiscono che i cerchi realmente intersecano, perché sono costanti con discreto, piuttosto che continuo, spazio. Cominciando da Moritz Pasch in 1882, molti sistemi assiomatici migliorati per la geometria sono stati proposti, essere più noto quelli di Hilbert, George Birkhoffe Tarski.

Per essere giusto a Euclid, il primo logica convenzionale capace del sostegno della sua geometria era quello di Frege's 1879 Begriffsschrift, piccolo ha letto fino agli anni 50. Ora vediamo che la geometria euclidea dovrebbe essere inclusa dentro logica di prim'ordine con identità, un sistema convenzionale in primo luogo precisato dentro Hilbert e Wilhelm Ackermann's 1928 Principii di logica teorica. Convenzionale mereology ha cominciato soltanto in 1916, con il lavoro di Lesniewski e A. N. Whitehead. Tarski ed i suoi allievi hanno fatto il lavoro principale sul fondamenti della geometria elementare recentemente quanto fra 1959 e la sua morte in 1983.

Il postulato parallelo

Articolo principale: Postulato parallelo

Ai ancients, il postulato parallelo ha sembrato meno evidente che gli altri; la verificazione esso ci richiederebbe fisicamente di controllare due linee per controllare che non intersecassero mai, anche ad un certo punto molto distante e questo controllo potrebbe potenzialmente occorrere un tempo infinito.[1] Euclid egli stesso sembra considerarlo come essendo qualitativamente differente dagli altri, come provato dall'organizzazione del Elementi: le prime 28 proposte che si presenta sono quelle che possono essere dimostrati senza esso.

Molti geometri hanno provato in inutile a dimostrare il quinto postulato dai primi quattro. Da 1763 almeno 28 prove differenti era stato pubblicato, ma tutti sono risultati errati.[2] In effetti il postulato parallelo non può essere dimostrato dagli altri quattro: ciò è stata indicata in diciannovesimo secolo tramite la costruzione dell'alternativa (Non-Euclideo) i sistemi della geometria dove gli altri assiomi sono ancora allineare ma del postulato parallelo è sostituito da un assioma stante in conflitto. Una funzione di distinzione di questi sistemi è che i tre angoli della a triangolo non aggiunga a 180°: in la geometria iperbolica la somma dei tre angoli è sempre di meno che 180° e può avvicinarsi a zero, mentre dentro la geometria ellittica è più grande di 180°. Se il postulato parallelo è caduto dalla lista degli assiomi senza rimontaggio, il risultato è la geometria più generale denominata la geometria assoluta.

Trattamento usando la geometria analitica

Lo sviluppo di la geometria analitica ha fornito un metodo alternativo per la formalizzazione della geometria. In questo metodo, un punto è rappresentato dal relativo Cartesiano (x, y) le coordinate, una linea è rappresentata dalla relativa equazione e così via. Nel ventesimo secolo, questa misura in David Hilbert'programma di s di ridurre tutta la matematica all'aritmetica ed allora di dimostrare la consistenza di aritmetica usando ragionamento finitistic. Nel metodo originale del Euclid, Teorema Pythagorean segue dagli assiomi del Euclid. Nel metodo cartesiano, gli assiomi sono gli assiomi di algebra e l'equazione che esprime il teorema Pythagorean è allora una definizione di uno dei termini negli assiomi del Euclid, che ora sono considerati come teoremi. L'equazione

definizione della distanza fra due punti P = (p,q) e Q = (r,s) allora è conosciuto come Euclideo metricoe l'altra metrica definisce Geometries non-Euclidei.

Come descrizione di realtà fisica

Euclid ha creduto che i suoi assiomi fossero dichiarazione manifeste circa la realtà fisica.

Ciò ha condotto alle difficoltà filosofiche profonde nella riconciliazione della condizione di conoscenza dall'osservazione in contrasto con conoscenza guadagnata tramite l'azione di pensiero e nel ragionamento. Un'indagine importante su questa zona è stata condotta vicino Immanuel Kant in La valutazione di motivo puro.

Tuttavia, Einstein teoria di relatività generale indica che la geometria allineare di spacetime è La geometria non-Euclidea. Per esempio, se un triangolo è costruito su tre raggi di luce, quindi generalmente gli angoli interni non aggiungono fino a 180 gradi dovuto gravità. Un campo gravitazionale relativamente debole, quali la terra o il sun, è rappresentato non esattamente da un metrico che è approssimativamente, ma, euclideo. Fino al ventesimo secolo, non ci era tecnologia capace di rilevazione delle deviazioni dalla geometria euclidea, ma Einstein ha predetto che tali deviazioni esisterebbero. Più successivamente sono stati verificati tramite le osservazioni quale l'osservazione della piegatura leggera dello starlight dal sole durante l'eclissi solare in 1919 e La geometria non-Euclidea è ora, per esempio, una parte integrante del software che fa funzionare GPS sistema. È possibile da obiettare all'interpretazione non-Euclidea della relatività generale considerando che i raggi luminosi potrebbero essere modelli fisici impropri delle linee del Euclid, o quella relatività potrebbe essere formulata nuovamente in modo da evitare le interpretazioni geometriche. Tuttavia, una delle conseguenze della teoria del Einstein è che non ci è prova fisica possibile che può fare affatto per migliorare che un fascio luminoso come modello della geometria. Quindi, le uniche possibilità logiche sono di accettare La geometria non-Euclidea come fisicamente reale, o rifiutare l'intera nozione delle prove fisiche degli assiomi della geometria, che possono allora essere immaginati come sistema convenzionale senza alcun significato nell'ambiente intrinseco.

A causa dell'incompatibilità del Modello standard con relatività generaleed a causa di una certa prova empirica recente contro il precedente, entrambe le teorie sono esame accurato sotto ora aumentato e molte teorie sono state proposte per sostituire o estendere il precedente e, in molti casi, il posteriore pure. I disaccordi fra le due teorie succedono dai loro reclami spazio-tempoed ora è accettato che la geometria fisica deve descrivere il spazio-tempo piuttosto che soltanto lo spazio. Mentre la geometria euclidea, il modello standard e la relatività generale sono tutte in linea di principio compatibili con tutto il numero di dimensioni spaziali e di qualunque specifica quanto a cui di questi se c'è ne sono compresse (vedono teoria della stringa) e mentre quasi la geometria euclidea (che non distingue lo spazio da tempo) insistono su esattamente una dimensione temporale, alternative proposte, nessuno di cui è tuttavia parte di consenso scientifico, differisca da significativamente nelle loro previsioni o difetti di di ciò quanto a questi particolari di spazio-tempo. I disaccordi fra la preoccupazione fisica convenzionale di teorie se il spazio-tempo è euclideo (da allora teoria del campo di quantum nel campione il modello è sviluppato sul presupposto che è) e sopra se è quantized. Pochi se delle alternative proposte negano che il spazio-tempo sia quantized, con quantum della lunghezza e del tempo sia rispettivamente Lunghezza del Planck e Tempo del Planck. Tuttavia, che la geometria per usare - euclideo, Riemannian, de Stitter, anti de Stitter ed alcuni altri - è un punto importante di delimitazione fra loro. Molti fisici invitare una certa teoria euclidea della stringa finalmente per diventare Teoria di tutto, ma il loro punto di vista è affatto unanime e comunque il futuro di questa edizione è imprevedibile. Considerando come se a tutta la geometria euclidea sarà coinvolto nella fisica futura, che cosa è uncontroversial è che la definizione delle linee rette ancora sarà in termini di percorso in un vuoto di radiazione elettromagnetica (luce compresa) fino a spiegare la gravità con consistenza matematica in termini di fenomeno tranne curvatura di spazio-tempo e che la prova dei postulati geometrici (euclidei o al contrario) si troverà nello studiare come questi percorsi sono influenzati dai fenomeni. Per ora, la gravità è l'unico fenomeno relativo conosciuto ed il relativo effetto è uncontroversial (veda lensing gravitazionale).

Sezioni Conic e teoria gravitazionale

Apollonius ed altri geometri del Greco antico hanno effettuato un vasto studio delle sezioni conic - curve generate intersecando un cono e un aereo. Quei (nondegenerate) sono ellisse, parabola e hyperbola, distinto avendo zero, un', o due intersezioni con l'infinità. Ciò è risultato facilitare il lavoro di Galileo, Kepler e Newton nel diciassettesimo secolo, come queste curve hanno modellato esattamente il movimento dei corpi sotto l'influenza di gravità. Usando Legge del Newton di gravitazione universale, l'orbita della a cometa intorno al Sole è

  • un ellisse, se sta muovendosi troppo lentamente per la relativa posizione (sotto velocità di fuga), nel qual caso finalmente rinvierà;
  • una parabola, se sta muovendosi con velocità esatta di fuga (improbabile) e non rinvierà mai perché la curva raggiunge all'infinità; o
  • un hyperbola, se è commovente abbastanza velocemente (sopra velocità di fuga) e non rinvierà similarmente mai.

In ogni caso il sole sarà ad uno fuoco del conic e del movimento scoperà fuori le zone uguali nei periodi uguali.

Galileo ha sperimentato con distanze cadenti degli oggetti le piccole alla superficie della terra ed empiricamente ha determinato che la distanza viaggiasse fosse proporzionale al quadrato del tempo. Dato la suoi sincronizzazione e strumento di misura, questa era un'approssimazione eccellente. Sopra tali piccole distanze che l'accelerazione di gravità può essere considerata costante ed ignorare gli effetti di aria (come su una piuma cadente) e la rotazione del Terra, traiettoria della a proiettile sia un percorso parabolico.

I calcoli successivi di questi percorsi per i corpi che si muovono sotto la gravità sarebbero effettuati usando le tecniche della geometria analitica (usando le coordinate ed algebra) e del calcolo differenziale, che forniscono le prove dirette. Naturalmente queste tecniche non erano state inventate allora che Galileo ha studiato il movimento dei corpi cadenti. Una volta che trovasse che i corpi cadono alla terra con accelerazione costante (all'interno dell'esattezza dei suoi metodi), ha dimostrato che i proiettili si muoveranno in un percorso parabolico seguendo le procedure della geometria euclidea.

Similmente, il Newton ha usato le prove quasi-Euclidee per dimostrare la derivazione dei movimenti orbitali di Keplerian dalle sue leggi di movimento e di gravitazione.

Secoli più successivamente, una delle prime misure sperimentali da sostenere Einstein's teoria generale di relatività, che ha postulato la a La geometria non-Euclidea per spazio, era l'orbita del pianeta Mercurio. Kepler ha descritto l'orbita come ellisse perfetto. La teoria newtoniana ha predetto che l'influenza gravitazionale di altri corpi dare un'orbita più complicata. Ma finalmente tutte le tali correzioni newtoniane hanno stato a corto di risultati sperimentali; una piccola perturbazione è rimasto. Einstein ha postulato che la piegatura dello spazio rappresenterebbe precisamente quella perturbazione.

Condizione logica

La geometria euclidea è a teoria di prim'ordine. Cioè permette le dichiarazione come quelli che cominciano come “per tutti i triangoli…„, ma sono incapaci di formare le dichiarazione come “per tutti gli insiemi dei triangoli…„. Le dichiarazione del tipo posteriore sono ritenute per essere fuori della portata della teoria.

Dobbiamo molta della nostra comprensione attuale delle proprietà del logico e metamathematical proprietà della geometria euclidea al lavoro di Alfred Tarski ed i suoi allievi, comincianti negli anni 20. Tarski ha dimostrato suo formulazione assiomatica della geometria euclidea da essere completa in un sicuro senso: ci è una procedura che, per ogni proposta, può mostrarla per essere allineare o falsa. Teoremi di incompletezza del Gödel ha mostrato il futility del programma del Hilbert di dimostrare la consistenza di tutta la matematica usando il ragionamento finitistic. I risultati del Tarski non violano il teorema del Gödel, perché la geometria euclidea non può descrivere una quantità sufficiente di aritmetica per il teorema da applicarsi.[3]

Anche se completo in senso convenzionale usato nella logica moderna, ci sono cose che la geometria euclidea non può compire. Per esempio, il problema di trisecting un angolo con una bussola e uno straightedge è uno che si presenta naturalmente all'interno della teoria, poiché gli assiomi si riferiscono ai funzionamenti costruttivi che possono essere effettuati con quegli attrezzi. Tuttavia, i secoli degli sforzi non sono riuscito a trovare una soluzione a questo problema, fino a Pierre Wantzel ha pubblicato una prova in 1837 che una tal costruzione era impossibile.

La geometria assoluta, in primo luogo identificato vicino Bolyai, è la geometria euclidea indebolita dall'omissione del quinto postulato, di che le linee parallele non vengono a contatto. Dell'intermediario di resistenza fra la geometria assoluta ed euclidei sono i geometries derivati da Euclid tramite le alterazioni del postulato parallelo che può essere indicato per essere costante esibendo loro i modelli. Per esempio, la geometria sulla superficie di una sfera è un modello di la geometria ellittica. Un altro indebolimento della geometria euclidea è affini la geometria, in primo luogo identificato vicino Euler, che mantiene il quinto postulato invariato mentre si indeboliscono postula tre e quattro in un senso che elimina le nozioni dell'angolo (da dove i giusti triangoli diventano insignificanti) e di uguaglianza della lunghezza della linea segmenti generalmente (da dove i cerchi diventano insignificanti) mentre mantenendo le nozioni di parallelismo come rapporto equivalente fra le linee ed uguaglianza della lunghezza della linea segmenti parallela (così la linea segmenti continua ad avere un punto mediano).

Teoremi classici

Veda inoltre

Note

  1. ^ Per l'asserzione che questo era il motivo storico per i ancients che considerano il postulato parallelo meno evidente che gli altri, veda Nagel e Newman 1958, P. 9.
  2. ^ Hofstadter 1979, P. 91.
  3. ^ Franzén 2005.

Riferimenti

  • Sfera, W.W. Rouse (1960). Un cliente corto della storia di matematica, quarto E-D. [Ristampa. Pubblicazione originale: Londra: Macmillan & Co., 1908], New York: Pubblicazioni de Dover, pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0. 
  • Boyer, Carl B. (1991). Una storia di matematica, Seconda Edition, John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0471543977. 
  • Franzén, Torkel (2005). Teorema del Gödel: Una guida incompleta al relativi uso ed abuso. AK Peters. 
  • Brughiera, Thomas L. (1956). I tredici libri degli elementi del Euclid (3 vols.), secondo E-D. [Facsimile. Pubblicazione originale: Pressa dell'università di Cambridge, 1925], New York: Pubblicazioni de Dover. ISBN 0-486-60088-2 (volume. 1), ISBN 0-486-60089-0 (volume. 2), ISBN 0-486-60090-4 (volume. 3).  Traduzione autorevole della brughiera degli elementi del Euclid più la suoi vasta ricerca storica e commento dettagliato durante il testo.
  • Hofstadter, Douglas R. (1979). Gödel, Escher, Bach: Una treccia dorata eterna. New York: Libri di base. 
  • Nagel, E. e Newman, J.R. (1958). Prova del Gödel. Pressione dell'università de New York. 
  • Alfred Tarski (1951) Un metodo di decisione per algebra e la geometria elementari. Università. di pressione della California.

Collegamenti esterni

Elementi in linea

  • Un'edizione bilingue (typset nella disposizione del pdf, con una traduzione in inglese greca ed originale alle pagine dei rivestimenti; liberi nella forma del pdf, disponibile in stampa)
  • In inglese (HTML, con le figure sotto forma d'i Java applei Che l'utente può maneggiare)
  • Traduzione della brughiera (HTML, senza le figure, il public domain)
  • Nel Greco antico (composto nella disposizione, nel public domain del pdf)
  • Edizione 1847 del Oliver Byrne - una versione insolita usando colore piuttosto che etichette quale il ABC (immagini, public domain esplorati della pagina)
  • Lettura Euclid - un corso in come leggere Euclid nel Greco originale, con le traduzioni in inglese ed i commenti (HTML con le figure)
  • Programma di mente degli elementi Interattivo.
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