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Méthode spectrale

Méthodes spectrales sont une classe des techniques utilisées dedans mathématiques appliquées et calcul scientifique pour résoudre numériquement certain équations partielles, souvent comportant l'utilisation du Transformée de Fourier rapide. Là où applicables, les méthodes spectrales ont d'excellentes propriétés d'erreur, avec la prétendue « convergence exponentielle » étant les possibles le plus rapide.

Les équations partielles (PDEs) décrivent une grande sélection de processus physiques tels que la conduction de la chaleur, le flux de fluide, et la propagation de bruit. Dans beaucoup de telles équations, il y a « des vagues de base » fondamentales qui peuvent être employées donnent à des algorithmes efficaces pour les solutions de calcul aux ces PDEs. Dans un cas typique, les méthodes spectrales tirent profit de ce fait en écrivant la solution en tant que sa Série de Fourier, substituant cette série dans le PDE pour obtenir un système de Odes dans les coefficients dépendant du temps des limites trigonométriques de la série (écrite sous la forme exponentielle complexe), et d'employer une méthode de temps-progression de résoudre ces odes.

La méthode spectrale et méthode d'élément fini sont étroitement reliés et construits sur les mêmes idées ; la différence principale entre eux est que la méthode spectrale rapproche la solution As combinaison linéaire des fonctions continues qui sont généralement de non zéro au-dessus du domaine de la solution (habituellement sinusoids ou Polynômes de Chebyshev), alors que la méthode d'élément fini rapproche la solution car une combinaison linéaire par morceaux des fonctions qui sont de non zéro sur de petits subdomains. Pour cette raison, la méthode spectrale prend a approche globale tandis que la méthode d'élément fini est a approche locale. Ce fait partie de pourquoi le travail spectral de méthode mieux quand la solution est lisse.

Dans la communauté finie d'élément, une méthode où le degré des éléments est très haut ou des augmentations comme les diminutions du paramètre h de grille à zéro s'appelle parfois l'a méthode spectrale d'élément.

L'exécution de la méthode spectrale est normalement accomplie l'un ou l'autre avec collocation ou a Galerkin approche.

Un exemple concret

Ici nous présumons un arrangement de base de multivariable de base calcul et Série de Fourier. Si g (x, y) est connu, la fonction complexe-évaluée de deux vraies variables, et le g est périodique dans x et y (c'est-à-dire, =g de =g de g (x, y) (x+2π, y) (x, y+2π)) alors nous sommes intéressés à trouver une fonction f (x, y) de sorte que

là où l'expression du côté gauche dénote les deuxièmes dérivés partiels de f dans x et y, respectivement. C'est Équation de Poisson, et peut être physiquement interprété en tant que certaine sorte de problème de conduction de la chaleur.

Si nous écrivons f et g dans la série de Fourier :

et substituez dans l'équation, nous obtiennent cette équation :

Nous avons échangé la différentiation partielle avec une somme infinie, qui est légitime si nous assumons par exemple cela f a un deuxième dérivé continu. Par le théorème d'unicité pour des expansions de Fourier, nous devons alors égaliser la limite de coefficients de Fourier par la limite, donnant

(*)

ce qui est une formule explicite pour les coefficients de Fourier a_j,k.

Pour transformer ceci en algorithme, seulement de façon finie beaucoup de fréquences sont résolues pour. Ceci présente une erreur à la laquelle peut s'avérer proportionnel hⁿ, où h = 1 / n et n est la fréquence la plus élevée traitée.

Algorithme

1. Calculez la transformée de Fourier (b_{j, k}) de g.
2. Calculez la transformée de Fourier (a_{j, k}) de f par l'intermédiaire de la formule (*) et de la transformée de Fourier de g.
3. Calcul f en prenant une transformée de Fourier inverse de (a_{j, k}).

Puisque nous sommes seulement intéressés par une fenêtre finie des fréquences (de la taille n, la parole) ceci peut être faite en utilisant a Transformée de Fourier rapide algorithme. Par conséquent, globalement l'algorithme fonctionne à temps O(n notation n).

Un rapport avec la méthode spectrale d'élément

On peut montrer cela si g est infiniment différentiable, alors l'algorithme numérique employant Fourier rapide transforme convergera plus rapidement que polynôme dans la taille H. de grille. C'est-à-dire, pour tout n> 0, il y a d'a tels que l'erreur est moins que Chⁿ pour des valeurs tout suffisamment petites de h. Nous disons que la méthode spectrale est d'ordre n, pour chaque n> 0.

Puisqu'a méthode spectrale d'élément est a méthode d'élément fini de l'ordre très supérieur, il y a une similitude dans les propriétés de convergence. Cependant, tandis que la méthode spectrale est basée sur l'eigendecomposition du problème de valeur particulier, la méthode spectrale d'élément n'emploie pas cette information et ne fonctionne pas pour arbitraire problèmes de valeur elliptiques.

Voyez également

• Méthode discrète d'élément
• Méthode d'élément fini
• Méthode finie de volume
• Grille gaussienne
• méthode Pseudo-spectrale
• Méthode spectrale d'élément
• Méthode de Galerkin
• Méthode de collocation

Références

• Chebyshev et méthodes spectrales de Fourier par John P. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo : Une méthode spectrale d'élément pour le Navier--Charge des équations avec l'exactitude améliorée
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., et Zang T.A. (2006) Méthodes spectrales. Principes fondamentaux dans des domaines simples. Sauteur-Verlag, Berlin Heidelberg