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Singularité mathématique

Dans mathématiques, a singularité est en général un point auquel un objet mathématique donné n'est pas défini, ou un point d'un exceptionnel ensemble là où il n'est pas poli d'une certaine manière particulière, comme differentiability. Voyez théorie de singularité pour la discussion générale du géométrique théorie, qui couvre seulement quelques aspects.

Par exemple, fonction

sur vraie ligne a une singularité à X = 0, où il semble « éclatent » au ±∞ et ne sont pas définis. La fonction g(X) = |X| (voyez valeur absolue) a également une singularité à X = 0, puisqu'il n'est pas différentiable là. De même, le graphique défini près y² = X a également une singularité à (0.0), cette fois parce qu'elle a un « coin » (tangente verticale) à ce point.

L'ensemble algébrique défini près y² = X² dans (X, y) le système du même rang a une singularité (point singulier) à (0, 0) parce qu'il n'admet pas a tangente là.

Analyse complexe

Dans analyse complexe, il y a quatre genres de singularité, pour être décrit ci-dessous. Supposez U est ouvrez le sous-ensemble du nombres complexes C, a est un élément de U, et f est a fonction holoèdre défini dessus U \ {a}.

• Singularités d'isolement:
  • Le point a est a singularité démontable de f si là existe un holoèdre fonctionnez g défini sur tous de U tels que f(z) = g(z) pour tous z dans U − {a}. En d'autres termes, quand nous définissons un détail fini la valeur pour la fonction au point singulier la fonction devient continue à ce point.
  • Le point a est a poteau ou singularité non essentielle de f si là existe un holoèdre fonctionnez g défini dessus U et a nombre normal n tels que f(z) = g(z) / (z − a)ⁿ pour tous z dans U − {a}. Le dérivé à une singularité non essentielle peut ou peut ne pas exister.
  • Le point a est singularité essentielle de f si n'est ni une singularité démontable ni un poteau. Le point a est une singularité essentielle si et seulement si Série de Laurent a infiniment beaucoup de puissances de degré négatif.
• Points de branchement. En bref, les points de branchement sont généralement le résultat d'a fonction à valeurs multiples, comme étant défini dans un certain intervalle de sorte qu'il se comporte comme une fonction simple-évaluée. La fonction peut avoir différentes valeurs de chaque côté de la branche a coupé ainsi chaque point le long de la coupe de branche n'a aucun dérivé.

Du point de vue de la dynamique

Une singularité de fini-temps se produit quand une variable cinématique augmente vers l'infini à un temps fini. Un exemple serait le mouvement de rebondissement d'une boule non élastique sur un avion. S'idéalisé le mouvement est considéré, dans du lequel la même fraction énergie cinétique est perdu sur chaque rebond, fréquence des rebonds devient infini pendant que la boule vient pour se reposer dans un temps fini. D'autres exemples des singularités de fini-temps incluent Le disque d'Euler, Paradoxe de Painlevé, et Heinz von Foerster's L'équation du jour du Jugement dernier.

La géométrie algébrique et algèbre commutative

Dans la géométrie algébrique et algèbre commutative, une singularité est a idéal principal à qui localisation n'est pas a anneau local régulier (alternativement a arrangement avec a tige ce n'est pas a anneau local régulier). Par exemple, y² − X³ = 0 définit un point singulier d'isolement (au tranchant) X = y = 0. L'anneau en question est donné près

L'idéal maximal de la localisation à (t²,t³) est un anneau local de la taille une produit par deux éléments et ainsi non régulier.

Matrices singulières

Dans algèbre linéaire une place matrice serait singulier quand il n'est pas inversible, c'est quand son déterminant est zéro.

Décomposition singulière de valeur

Décomposition singulière de valeur (SVD) est une méthode de factoriser des matrices. Un vrai σ non négatif de nombre est a valeur singulière pour M si et seulement si là existent des vecteurs normaux u dans K^m et v dans Kⁿ tels que

Les vecteurs u et v s'appellent gauche-singulier et vecteurs droit-singuliers pour le σ, respectivement. La factorisation est

de là où diagonal les entrées de Σ sont égales aux valeurs singulières M. Les colonnes de U et V sont laissés le resp. vecteurs droit-singuliers pour les valeurs singulières correspondantes. Il est employé couramment dedans statistiques là où il est employé comme technique pour la solution des moindres carrés linéaire des problèmes et est liés à analyse de composants principaux.

Voyez également

• Solution singulière d'a équation
• Théorie de catastrophe