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Fonctions même et impaires

Dans mathématiques, fonctions égales et fonctions impaires soyez fonctions ce qui satisfont le détail symétrie relations, en ce qui concerne la prise inverses additifs. Ils sont importants dans beaucoup de secteurs de analyse mathématique, particulièrement la théorie de série entière et Série de Fourier. Ils sont appelés pour parité des puissances du fonctions de puissance ce qui satisfont chaque condition : la fonction Xⁿ est une fonction égale si n est un nombre entier égal, et c'est une fonction impaire si n est un nombre entier impair.

Fonctions même

Laissé f(X) soyez a vrai- fonction évaluée d'une vraie variable. Puis f est égal si l'équation suivante se tient pour tous X dans le domaine de f:

.

Géométriquement, une fonction égale est symétrique en ce qui concerne y- axe, signifiant que son graphique restes inchangés ensuite réflexion au sujet du y- axe.

Les exemples des fonctions égales sont |X|, X², X⁴, cos(X), et matraque(X).

Fonctions impaires

Encore, laissez f(X) soyez a vrai- fonction évaluée d'une vraie variable. Puis f est impair si l'équation suivante se tient pour tous X dans le domaine de f:

.

Géométriquement, une fonction impaire a la symétrie de rotation en ce qui concerne origine, signifiant que son graphique restes inchangés ensuite rotation de 180 degrés au sujet de l'origine.

Les exemples des fonctions impaires sont X, X³, péché(X), sinh(X), et erf (X).

Quelques faits

Note : Une fonction étant impaire ou même n'implique pas le differentiability, ou même la continuité. Des propriétés impliquant des séries de Fourier, Série de Taylor, dérivés et ainsi de suite peuvent seulement être employées quand on peut assumer qu'elles existent.

Propriétés de base

• La seule fonction qui est tous les deux même et impair est fonction constante ce qui est identiquement zéro (c.-à-d., f(X) = 0 pour tous X).
• somme d'une fonction égale et impaire n'est ni égal ni impair, à moins qu'une des fonctions soit identiquement zéro.
• La somme de deux même fonctions est égale, et n'importe quel multiple constant d'une fonction égale est égal.
• La somme de deux fonctions impaires est impaire, et n'importe quel multiple constant d'une fonction impaire est impair.
• produit de deux même fonctions est une fonction égale.
• Le produit de deux fonctions impaires est une fonction égale.
• Le produit d'une fonction égale et d'une fonction impaire est une fonction impaire.
• quotient de deux même fonctions est une fonction égale.
• Le quotient de deux fonctions impaires est une fonction égale.
• Le quotient d'une fonction égale et d'une fonction impaire est une fonction impaire.
• dérivé d'une fonction égale est impair.
• Le dérivé d'une fonction impaire est égal.
• composition de deux même fonctions est égal, et la composition de deux fonctions impaires est impaire.
• La composition d'une fonction égale et d'une fonction impaire est égale.
• La composition de n'importe quelle fonction avec une fonction égale est même (mais pas vice versa).
• intégral d'une fonction impaire - A +A est zéro (où A est un fini, et la fonction n'a aucun asymptotes vertical entre - d'A et d'A).
• L'intégrale d'une fonction égale - A +A est deux fois l'intégrale de 0 à +A (où A est un fini, et la fonction n'a aucun asymptotes vertical entre - d'A et d'A).

Série

• Série de Maclaurin d'une fonction égale inclut seulement des puissances égales.
• La série de Maclaurin d'une fonction impaire inclut seulement des puissances impaires.
• Série de Fourier d'a périodique même la fonction inclut seulement cosinus limites.
• La série de Fourier D'une fonction impaire périodique inclut seulement sinus limites.

Structure algébrique

• Quels combinaison linéaire des fonctions égales est égal, et les fonctions égales forment a l'espace de vecteur au-dessus du reals. De même, n'importe quelle combinaison linéaire des fonctions impaires est impaire, et les fonctions impaires forment également un espace de vecteur au-dessus des reals. En fait, l'espace de vecteur de tous les fonctions à valeurs réelles est somme directe du sous-espaces des fonctions égales et impaires. En d'autres termes, chaque fonction peut être écrite uniquement comme somme d'une fonction égale et d'une fonction impaire :

• Les fonctions égales forment a algèbre commutative au-dessus des reals. Cependant, les fonctions impaires pas formez une algèbre au-dessus des reals.

Harmoniques

Dans traitement des signaux, déformation harmonique se produit quand a vague de sinus le signal est multiplié par un non linéaire fonction de transfert. Le type de harmoniques produit dépendez de la fonction de transfert^[1]:

• Quand la fonction de transfert est égale, le signal résultant se composera seulement des harmoniques égaux de la vague de sinus d'entrée ;
  • fondamental est également un harmonique impair, ainsi ne sera pas présent.
  • Un exemple simple est a redresseur double alternance.
• Quand il est impair, le signal résultant se composera seulement des harmoniques impairs de la vague de sinus d'entrée ;
  • Le signal de sortie sera à demi onde symétrique.
  • Un exemple simple est coupure dans un symétrique amplificateur va-et-vient.
• Quand il est asymétrique, le signal résultant peut contenir les harmoniques égaux ou impairs ;
  • Un exemple simple coupe dans un asymétrique amplificateur de la classe A.

Références

1. ^ Demandez aux médecins : Tube contre Harmoniques à semi-conducteurs

Voyez également

• Fonction hermitienne pour une généralisation dans des nombres complexes.
• Série de Taylor
• Série de Fourier