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Diagrama de Voronoi

En matemáticas, a Diagrama de Voronoi, nombrado después Georgy Voronoi, también llamado a Voronoi tessellation, a Descomposición de Voronoi, o a Tessellation de Dirichlet (después Lejeune Dirichlet), es una clase especial de descomposición de a espacio métrico determinado por las distancias a especificadas sistema discreto de objetos en el espacio, e.g., por un sistema discreto de puntos.

En el caso más simple y más común, en el plano, nos dan un sistema de puntos S, y el diagrama de Voronoi para S es la partición del plano que asocia una región V(p) con cada punto p de S de una manera tal que todos los puntos adentro V(p) esté más cercano a p que a cualquier otro punto adentro S.

Contenido

Definición

Para cualesquiera (topológico) discreto fije S de puntos adentro Espacio euclidiano y para casi cualquier punto x, hay un punto de S lo más cerca posible a x. La palabra “casi” se utiliza para indicar las excepciones donde un punto x pueden estar igualmente cerca de dos o más puntos de S.

Si S contiene solamente dos puntos, a y b, entonces el sistema de todo señala equidistante de a y b es a hyperplane- afine subspace de codimension 1. Ese hyperplane es el límite entre el sistema de todos los puntos más cercano a a que a b, y el sistema de todos los puntos más cercano a b que a a. Es el perpendicular bisector de la línea segmento de a y b.

Generalmente el sistema de todos los puntos más cercano a un punto c de S que a cualquier otro punto de S es el interior del cuerpo de a (en algunos casos ilimitada) polytope llamó Dominio de Dirichlet o Célula de Voronoi para c. El sistema de tales polytopes tessellates el espacio entero, y es Tessellation de Voronoi el corresponder al sistema S. Si la dimensión del espacio es solamente 2, entonces es fácil dibujar cuadros de los tessellations de Voronoi, y en que el caso ellos está llamado a veces Diagramas de Voronoi.

Características

  • Dos puntos son adyacentes en casco convexo si y solamente si sus células de Voronoi comparten un lado infinitamente largo.

Historia

El uso informal de los diagramas de Voronoi se puede remontar de nuevo a Descartes en 1644. Dirichlet diagramas de 2 dimensiones y de 3 dimensiones usados de Voronoi en su estudio de formas cuadráticas en 1850. Médico británico Nieve de Juan utilizó un diagrama de Voronoi en 1854 para ilustrar cómo la mayoría de la gente que murió en Soho la epidemia del cólera vivió más cercano a la amplia bomba infectada de la calle que a cualquier otra bomba de agua.

Los diagramas de Voronoi se nombran después del matemático ruso Georgy Fedoseevich Voronoi (o Voronoy) quién definió y estudió a general n- caso dimensional en 1908. Diagramas de Voronoi que se utilizan adentro geofísica y meteorología para analizar datos espacial distribuidos (tales como medidas de la precipitación) se llaman Polígonos de Thiessen después de meteorologist americano Alfred H. Thiessen. En física condensada de la materia, tales tessellations también se conocen como Células de la unidad de Wigner-Seitz. Tessellations de Voronoi del enrejado recíproco de ímpetus se llaman Zonas de Brillouin. Para los enrejados generales adentro Grupos de mentira, las células se llaman simplemente dominios fundamentales. En el caso de general espacios métricos, las células a menudo se llaman métricas polígonos fundamentales.

Ejemplos

Tessellations de Voronoi de regular enrejados de puntos en dos o tres dimensiones dé lugar a muchos tessellations familiares.

  • Un 2.o enrejado da un tessellation irregular del panal, con hexágonos iguales con simetría del punto; en el caso de un enrejado triangular regular es regular; en el caso de un enrejado rectangular los hexágonos reducen a los rectángulos en filas y columnas; a cuadrado el enrejado da el tessellation regular de cuadrados.
  • Un par de planos con enrejados triangulares alineó con cada otros se centra da el arreglo de los prismas hexagonales rombo-capsulados considerados en panal
  • A cúbico cara-centrada el enrejado da un tessellation del espacio con dodecahedra rombal
  • A cúbico cuerpo-centrada el enrejado da un tessellation del espacio con octaedros truncados

Para el sistema de puntos (x, y) con x en un sistema discreto X y y en un sistema discreto Y, conseguimos los azulejos rectangulares con los puntos no no necesariamente en sus centros.

Generalizaciones

Las células de Voronoi se pueden definir para la métrica con excepción de euclidiano (tal como Mahalanobis o Manhattan distancias). No obstante en estos casos el tessellation de Voronoi no está garantizado para existir (o ser un tessellation “verdadero”), puesto que el lugar geométrico equidistante para dos puntos puede no poder ser subspace del codimension 1, incluso en el caso de 2 dimensiones.

Las células de Voronoi pueden también ser definidas midiendo distancias a los objetos que no son puntos. El diagrama de Voronoi con estas células también se llama eje intermedio. Aun cuando los objetos son línea segmentos, las células de Voronoi no son limitados por las líneas rectas. El eje intermedio se utiliza en la segmentación de la imagen, reconocimiento de caracteres ópticos y otros usos de cómputo. En la ciencia material, las microestructuras polycrystalline en aleaciones metálicas se representan comúnmente usando los tessellations de Voronoi. Una versión simplificada del diagrama de Voronoi de la línea segmentos es esqueleto recto.

El diagrama de Voronoi de n puntos adentro d- el espacio dimensional requiere espacio de almacenaje. Por lo tanto, los diagramas de Voronoi no son a menudo factibles para d>2. Un alternativa es utilizar los diagramas aproximados de Voronoi, donde las células de Voronoi tienen un límite borroso, que puede ser aproximado.[1]

Uso

A localización del punto la estructura de datos se puede construir encima del diagrama de Voronoi para contestar el vecino más cercano preguntas, donde usted desea encontrar el objeto que está el más cercano a un punto dado de la pregunta. Las preguntas vecinas más cercanas tienen usos numerosos. Por ejemplo, cuando usted desea encontrar el hospital más cercano, o el objeto más similar de a base de datos.

El diagrama de Voronoi es útil en la física del polímero. Puede ser utilizado para representar el volumen libre del polímero.

También se utiliza en las derivaciones de la capacidad de a red sin hilos.

En climatología, los diagramas de Voronoi se utilizan para calcular la precipitación de un área, basada en una serie de medidas del punto. En este uso, se refieren generalmente como polígonos de Thiessen.

Los diagramas de Voronoi también se utilizan en gráficos de computadora procedurally para generar algunas clases de texturas que miran orgánicas.

Vea también

Referencias

  • Gustav Lejeune Dirichlet (1850). El der de Reduktion del dado de Über positiven quadratischen drei del mit de Formen unbestimmten ganzen Zahlen. Und Angewandte Mathematik de Reine del dado del für del diario, 40:209-227.
  • Georgy Voronoi (1907). Quadratiques de los formes del DES del théorie del la del à del continus de los paramètres del DES de los usos de Nouvelles. Und Angewandte Mathematik de Reine del dado del für del diario, 133: 97-178, 1907
  • Atsuyuki Okabe, cargadores de Barry, Kokichi Sugihara y Nok cantado Chiu (2000). Tessellations espacial - conceptos y usos de los diagramas de Voronoi. 2da edición. Juan Wiley, 2000, 671 páginas ISBN 0-471-98635-6
  • Franz Aurenhammer (1991). Diagramas de Voronoi - un examen de una estructura de datos geométrica fundamental. Encuestas sobre que computan ACM, 23 (3): 345-405, 1991.
  1. ^ S. Arya, T. Malamatos, y D. M. Montaje, Diagramas aproximados Espacio-Eficientes de Voronoi, Proc. 34to ACM Symp. en la teoría de computar (STOC 2002), pp. 721-730.

Acoplamientos externos

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