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Espacio del vector

En matemáticas, a espacio del vector (o espacio linear) es una colección de objetos (llamados vectores) eso, informal hablando, puede ser escalada y ser agregada. Más formalmente, un espacio del vector es a sistema en cuál se definen y satisfacen dos operaciones, llamadas adición (del vector) y multiplicación (del escalar), cierto natural axiomas cuáles se enumeran abajo. Los espacios del vector son los objetos básicos del estudio adentro álgebra linear, y se utilizan a través de matemáticas, de ciencia, y de la ingeniería.

Los espacios más familiares del vector son dos y tridimensionales Espacios euclidianos. Los vectores en estos espacios se pueden representar por pares o triples pedidos de números verdaderos, y sea isomorfo a vectores geométricos- cantidades con una magnitud y una dirección, representadas generalmente como flechas. Estos vectores pueden ser juntos el usar agregado regla del paralelogramo (adición de vector) o multiplicado por números verdaderos (multiplicación escalar). El comportamiento de vectores geométricos bajo estas operaciones proporciona un buen modelo intuitivo para el comportamiento de vectores en espacios más abstractos del vector, que no necesitan tener una interpretación geométrica. Por ejemplo, el sistema de (verdadero) polinomios forma un espacio del vector.

Contenido 1 Definición formal 2 Características elementales 3 Ejemplos 4 Subspaces y bases 5 Mapas lineares 6 Generalizaciones 7 Estructuras adicionales 8 Notas 9 Referencias 10 Vea también

Definición formal

Dejado F sea a campo (por ejemplo números verdaderos o números complejos), que elementos será llamado escalares. A espacio del vector sobre el campo F es a sistema V junto con dos operaciones binarias,

• adición de vector: V × V → V denotado v + W, donde v, W ∈ V, y
• multiplicación escalar: F × V → V denotado av, donde a ∈ F y v ∈ V,

satisfacción axiomas debajo. Cuatro de los axiomas requieren vectores bajo adición formar grupo abelian, y dos son leyes distributivos.

1. La adición de vector es sociable:

   Para todos u, v, W ∈ V, tenemos u + (v + W) = (u + v) + W.

2. La adición de vector es comutativo:

   Para todos v, W ∈ V, tenemos v + W = W + v.

3. La adición de vector tiene elemento de la identidad:

   Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero, tales que v + 0 = v para todos v ∈ V.

4. La adición de vector tiene elementos inversos:

   Para todos v El ∈ V, allí existe un elemento W ∈ V, llamado lo contrario aditivo de v, tales que v + W = 0.

5. Distributivity sostiene para la multiplicación escalar sobre la adición de vector:

   Para todos a ∈ F y v, W ∈ V, tenemos a (v + W) = a v + a W.

6. Distributivity sostiene para la multiplicación escalar sobre la adición del campo:

   Para todos a, b ∈ F y v ∈ V, tenemos (a + b) v = a v + b v.

7. La multiplicación escalar es compatible con la multiplicación en el campo de escalares:

   Para todos a, b ∈ F y v ∈ V, tenemos a (b v) = (ab) v.

8. La multiplicación escalar tiene elemento de la identidad:

   Para todos v ∈ V, tenemos 1 v = v, donde 1 denota identidad multiplicative en F.

Formalmente, éstos son los axiomas para a módulo, así que un espacio del vector se puede describir sucinto como un módulo sobre un campo.

Observe que el séptimo axioma arriba, indicando a (b v) = (ab) v, no es la afirmación associativity de una operación, puesto que hay dos operaciones en la pregunta, multiplicación escalar: b v; y multiplicación del campo: ab.

Algunas fuentes eligen también incluir dos axiomas de encierro:

1. V es cerrado bajo adición de vector:

   Si u, v ∈ V, entonces u + v ∈ V.

2. V es cerrado bajo multiplicación escalar:

   Si a ∈ F, v ∈ V, entonces a v ∈ V.

Sin embargo, la comprensión formal moderna de las operaciones como mapas con el codomain V implica estas declaraciones por la definición, y evita así la necesidad de enumerarlas como axiomas independientes. La validez de los axiomas del encierro es dominante a determinar si un subconjunto de un espacio del vector es a subspace.

Observe que expresiones de la forma “v a”, donde v ∈ V y a ∈ F, en sentido estricto, no se definen. Debido a el commutativity del campo subyacente, sin embargo, “a v” y “v a” se tratan a menudo sinónimo. Además, si v ∈ V, W ∈ V, y a ∈ F donde espacio del vector V es además álgebra sobre el campo F entonces a v W = v a W, que hace conveniente considerar “a v” y “v a” para representar el mismo vector.

Características elementales

Hay un número de características que siguen fácilmente de los axiomas del espacio del vector.

• El vector cero 0 ∈ V es único:

  Si 0₁ y 0₂ están los vectores cero adentro V, tales que 0₁ + v = v y 0₂ + v = v para todos v ∈ V, entonces 0₁ = 0₂ = 0.

• La multiplicación escalar con el vector cero rinde el vector cero:

  Para todos a ∈ F, tenemos a 0 = 0.

• La multiplicación escalar por cero rinde el vector cero:

  Para todos v ∈ V, tenemos 0 v = 0, donde 0 denota la identidad aditiva adentro F.

• Ninguna otra multiplicación escalar rinde el vector cero:

  Tenemos a v = 0 si y solamente si a = 0 o v = 0.

• El − inverso aditivov de un vector v es único:

  Si W₁ y W₂ son lo contrario aditivos de v ∈ V, tales que v + W₁ = 0 y v + W₂ = 0, entonces W₁ = W₂. Llamamos el − inversov y defina W − v ≡ W + (−v).

• La multiplicación escalar por la unidad negativa rinde lo contrario del añadido del vector:

  Para todos v ∈ V, tenemos (−1) v = −v, donde 1 denota la identidad multiplicative adentro F.

• La negación conmuta libremente:

  Para todos a ∈ F y v ∈ V, tenemos (−a) v = a (−v) = − (a v).

Ejemplos

Artículo principal: Ejemplos de los espacios del vector

Subspaces y bases

Artículos principales: Subspace linear, Base

Dado un espacio del vector V, un no vacío subconjunto W de V eso es cerrado bajo adición y la multiplicación escalar se llama a subspace del V. Subspaces de V son los espacios del vector (excedente el mismo campo) en la su propia derecha. La intersección de todos los subspaces que contienen un sistema dado de vectores se llama su palmo; si ningún vector no puede ser quitado sin cambiar el palmo, el sistema reputa linear independiente. Linear una independiente fijada que es palmo V se llama a base para V.

El usar Lema de Zorn (que es equivalente a axioma de la opción), puede ser probado que cada espacio del vector tiene una base. Sigue de lema del ultrafilter, que es más débil que el axioma de la opción, que todas las bases de un espacio dado del vector tienen igual cardinality. Así el excedente de los espacios del vector un campo dado está fijado hasta isomorfismo por un solo número cardinal (llamado dimensión del espacio del vector) que representa el tamaño de la base. Por ejemplo, los espacios finito-dimensionales verdaderos del vector son justos R⁰, R¹, R², R³, …. La dimensión del espacio verdadero del vector R³ es tres.

Era F. Hausdorff que primero probó que cada espacio del vector tiene una base. Andreas Blass^[1] demostró que este teorema conduce a axioma de la opción.

Una base permite expresar cada vector del espacio como tuple único de los elementos del campo, aunque la precaución debe ser ejercitada cuando un espacio del vector no tiene a finito base. Los espacios del vector se introducen a veces de esto coordinatised punto de vista.

Uno considera a menudo los espacios del vector que también llevan un compatible topología. Compatible aquí significa que la adición y la multiplicación escalar deben ser operaciones continuas. Este requisito se asegura realmente de que la topología dé lugar a a estructura uniforme. Cuando la dimensión es infinita, hay generalmente más de una topología inequivalent, que hace el estudio de espacios topológicos del vector más rico que el de los espacios generales del vector.

Solamente en tales espacios topológicos del vector la poder una considera infinito sumas de vectores, es decir. serie, con la noción de convergencia. Esto es de importancia en matemáticas puras y aplicadas, por ejemplo adentro mecánicos del quántum, donde se definen los sistemas físicos como Los espacios de Hilbert, o donde Extensiones de Fourier se utilizan.

Mapas lineares

Artículo principal: Mapa linear

Dado dos espacios del vector V y W sobre el mismo campo F, uno puede definir mapas lineares o “transformaciones lineares” de V a W. Éstos son funciones f:V → W eso es compatible con la estructura relevante - es decir, preservan sumas y productos escalares. El sistema de todos los mapas lineares de V a W, Hom denotado_F (V, W), está también un espacio del vector encima F. Cuando bases para ambos V y W se dan, los mapas lineares puede ser expresado en términos de componentes como matrices.

isomorfismo es un linear mapa tales que existe mapa inverso tales que y sea mapas de la identidad. Un mapa linear que es ambo uno por (injective) y sobre (surjective) está necesariamente un isomorfismo. Si existe un isomorfismo en medio V y W, los dos espacios serían isomorfo; son entonces esencialmente idénticos como espacios del vector.

Los espacios del vector sobre un campo fijo F junto con los mapas lineares está a categoría, de hecho categoría abelian.

Generalizaciones

Desde un punto de vista abstracto, los espacios del vector son módulos sobre un campo, F. La práctica común de identificar a v y v a en vector un espacio hace el espacio del vector F-F bimodule. Los módulos en general no necesitan tener bases; se conocen los que lo hacen (todos los espacios incluyendo del vector) como módulos libres.

Una familia de los espacios del vector, parametrised continuamente por alguno subyacente espacio topológico, es a paquete del vector.

afine el espacio es un sistema con a transitivo acción del espacio del vector. Observe que un espacio del vector es un espacio de la afinación sobre sí mismo, por mapa de la estructura

Estructuras adicionales

Es común a los espacios del vector del estudio con ciertas estructuras adicionales. Esto es a menudo necesario para recuperar nociones ordinarias de geometría.

• Un espacio verdadero o complejo del vector con un concepto bien definido de longitud, es decir, a norma, se llama a normed el espacio del vector.
• A normed el espacio del vector con el concepto bien definido adicional de ángulo se llama espacio interno del producto.
• Un espacio del vector con a topología compatible con las operaciones - tales que son la adición y la multiplicación escalar mapas continuos - se llama a espacio topológico del vector. La estructura topológica es relevante cuando el espacio subyacente del vector es dimensional infinito.

• Un espacio del vector con un adicional operador bilineario definir la multiplicación de dos vectores es álgebra sobre un campo.
• espacio pedido del vector.

Notas

1. ^ Blass, Andreas (1984), la “existencia de bases implica el axioma de la opción”, Teoría determinada axiomática, Proc. AMS-IMS-SIAM Jt. Verano Res. Conf., Boulder/Colo. 1983, Contemp. Matemáticas. 31, 31-33., pp. 31–34 

Referencias

• Howard Antón y Chris Rorres. Álgebra linear elemental, Wiley, 9na edición, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann y rayo Kunze. Álgebra linear, Prentice Pasillo, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz y orujo Lipson. Contorno de Schaum de la álgebra linear, McGraw-Colina, 3ro edición, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. La axiomatización de la álgebra linear: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. “Introducción a la álgebra linear, tercera edición”, prensa de Wellesley-Cambridge, ISBN 0-9614088-9-8

Vea también

• Vector (espacial), para los vectores en la física
• Campo del vector
• Espacios del vector sin campos