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Funciones trigonométricas

El “seno” vuelve a dirigir aquí. Para otras aplicaciones, vea Seno (desambiguación).

En matemáticas, funciones trigonométricas (también llamado funciones circulares) sea funciones de ángulo. Son importantes en estudio de triángulos y el modelar fenómenos periódicos, entre muchos otros usos. Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como cocientes de dos lados de un triángulo derecho contener el ángulo, y se puede equivalente definir como las longitudes de la varia línea segmentos de a círculo de la unidad. Definiciones más modernas los expresan como serie infinita o como soluciones de seguro ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a los valores positivos y negativos arbitrarios e iguale a números complejos.

En uso moderno, hay seis funciones trigonométricas básicas, que se tabulan aquí junto con las ecuaciones que las relacionan con una otra. Especialmente en el caso de los cuatro pasados, estas relaciones se toman a menudo como definiciones de esas funciones, pero una puede definirlos igualmente bien geométrico o por otros medios y después derivar estas relaciones.

Función Abreviatura Identidades (usando radianes)
Seno pecado
Coseno lechuga romana
Tangente tan
(o tg)
Cosecante csc
(o cosec)
Secante sec
Cotangente cot
(o ctg o ctn)

Contenido

Historia

Artículo principal: Historia de funciones trigonométricas

La noción que debe haber una cierta correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo y los ángulos del triángulo viene tan pronto como uno reconozca eso triángulos similares mantenga los mismos cocientes entre sus lados. Es decir, para cualquier triángulo similar el cociente de la hipotenusa (por ejemplo) y de otra de los lados sigue siendo igual. Si la hipotenusa está dos veces tan de largo, están tan los lados. Es estos cocientes que las funciones trigonométricas expresas.

Las funciones trigonométricas fueron estudiadas cerca Hipparchus de Nicaea (180-125 A.C.), Ptolemy de Egipto (ANUNCIO 90-165), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Al-Ḵwārizmī de Mūsā del ibn de Muḥammad, Al-Būzjānī del al-Wafā' de Abū, Omar Khayyam, Bhāskara II, Al-Tusi del al-Dinar de Nasir, Al-Kashi de Ghiyath (14to siglo), Ulugh pide (14to siglo), Regiomontanus (1464), Rheticus, y estudiante de Rheticus Valentin Otho.

Madhava de Sangamagramma (C. 1400) pasos grandes tempranos hechos en análisis de funciones trigonométricas en términos de serie infinita. Leonhard Euler's Introductio en infinitorum del analysin (1748) era sobre todo responsable de establecer el tratamiento analítico de funciones trigonométricas en Europa, también definirlas como series y presentación infinitas “Fórmula de Euler“, así como las abreviaturas cercano-modernas pecado., lechuga romana., espiga., cot., sec., y cosec.

Algunas funciones eran comunes históricamente (y aparecido en las tablas más tempranas), pero ahora se utilizan raramente, por ejemplo acorde pecado 2 (del crd (θ) = (θ/2)), versine (versin (θ) = 1 pecado 2 de lechuga romana del − (θ) =2(θ/2)), haversine (haversin (θ) = versin ()/2 del θ = pecado2(θ/2)), exsecant (exsec (θ) = − 1 del sec (θ)) y excosecant (excsc (θ) = exsec (θ del − π/2) = − 1 del csc (θ)). Muchas más relaciones entre estas funciones se enumeran en el artículo alrededor identidades trigonometric.

Definiciones derechas del triángulo

Trigonometría

Historia
Uso
Funciones
Funciones inversas
Lectura adicional
Referencia

Lista de identidades
Constantes exactas
Generación de las tablas trigonometric
CORDIC
Euclidiano teoría

Ley de senos
Ley de cosenos
Ley de tangentes
Teorema Pythagorean
Cálculo

Integral Trigonometric
Substitución Trigonometric
Integrales de funciones
Integrales de lo contrario

Para definir las funciones trigonométricas para el ángulo A, comienzo con un arbitrario triángulo derecho eso contiene el ángulo A:

Utilizamos los nombres siguientes para los lados del triángulo:

  • hipotenusa es el lateral enfrente del angulo recto, o definido como el lado más largo de un triángulo derecho-anguloso, en este caso h.
  • lado opuesto está el lado frente al ángulo que estamos interesados adentro, en este caso a.
  • lado adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo que estamos interesados adentro y el angulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el lado adyacente está b.

Todos los triángulos se toman para existir en Plano euclidiano de modo que los ángulos interiores de cada suma del triángulo del π radianes (o 180°); por lo tanto, porque un triángulo derecho los dos ángulos no-derechos están entre cero y los radianes π/2 (o 90°). El lector debe observar que las definiciones siguientes, en sentido estricto, sólo defina las funciones trigonométricas para los ángulos en esta gama. Los extendemos al máximo fijamos de discusiones verdaderas usando círculo de la unidad, o requiriendo ciertas simetrías y ésa estén funciones periódicas.

1) seno de un ángulo está el cociente de la longitud del lado opuesto a la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

Observe que este cociente no depende del triángulo derecho particular elegido, mientras contenga el ángulo A, puesto que son todos esos triángulos similar.

El sistema de ceros del seno (es decir, los valores de x para cuál pecadox = 0) es

2) coseno de un ángulo está el cociente de la longitud del lado adyacente a la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

El sistema de ceros del coseno es

3) tangente de un ángulo está el cociente de la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente. En nuestro caso

El sistema de ceros de la tangente es

El mismo sistema de la función del seno desde entonces

Las tres funciones restantes se definen lo más mejor posible usando las tres funciones antedichas.

4) cosecante csc (A) es lo contrario multiplicative del pecado (A), es decir. el cociente de la longitud de la hipotenusa a la longitud del lado opuesto:

5) secante sec (A) es lo contrario multiplicative de lechuga romana (A), es decir. el cociente de la longitud de la hipotenusa a la longitud del lado adyacente:

6) cotangente cot (A) es lo contrario multiplicative del tan (A), es decir. el cociente de la longitud del lado adyacente a la longitud del lado opuesto:

Definiciones de la cuesta

El equivalente a las definiciones del derecho-triángulo, las funciones trigonométricas se puede definir en términos de subida, funcionamiento, y cuesta de una línea segmento concerniente a una cierta linea horizontal. La cuesta se enseña comúnmente como el “excedente de la subida funcionado” o subida/funcionada. Las tres funciones trigonométricas principales se enseñan comúnmente en el seno de la orden, coseno, tangente. Con a círculo de la unidad, la correspondencia siguiente de definiciones existe:

  1. El seno es primer, subida es primer. El seno toma un ángulo y dice la subida.
  2. El coseno está en segundo lugar, funcionamiento es segundo. El coseno toma un ángulo y dice el funcionamiento.
  3. La tangente es el fórmula de la cuesta que combina la subida y el funcionamiento. La tangente toma un ángulo y dice la cuesta.

Esto demuestra el uso principal de la tangente y del arctangent: convirtiendo entre las dos maneras de decir la inclinación de una línea, es decir, ángulos y cuestas. (Nota que el arctangent o la “tangente inversa” no debe ser confundido con cotangente, cuál es lechuga romana dividida por pecado.)

Mientras que el radio del círculo no diferencia ningún para la cuesta (la cuesta no depende de la longitud de la línea inclinada), afecta subida y funciona. Para ajustar y para encontrar la subida y el funcionamiento reales, apenas multiplique el seno y el coseno por el radio. Por ejemplo, si el círculo tiene radio 5, el funcionamiento en ángulo de 1° es 5 lechuga romana (1°)

definiciones del Unidad-círculo

Las seis funciones trigonométricas se pueden también definir en términos de círculo de la unidad, círculo de radio uno se centró en el origen. La definición del círculo de la unidad proporciona poco de la manera del cálculo práctico; confía de hecho en los triángulos derechos para la mayoría de los ángulos. La definición del círculo de la unidad, sin embargo, permite la definición de las funciones trigonométricas para todas las discusiones positivas y negativas, no apenas para los ángulos entre 0 y los radianes π/2. También proporciona un solo cuadro visual que encapsule inmediatamente todos los triángulos importantes. De Teorema Pythagorean la ecuación para el círculo de la unidad es:

En el cuadro, algunos ángulos del campo común, medidos en radianes, se dan. Las medidas en la dirección a la izquierda son positivas que los ángulos y las medidas en la dirección a la derecha son ángulos negativos. Deje una línea con el origen, haciendo un ángulo de θ con la mitad positiva del x- el eje, interseca el círculo de la unidad. x- y y- los coordenadas de este punto de la intersección son iguales al θ de lechuga romana y al θ del pecado, respectivamente. El triángulo en el gráfico hace cumplir el fórmula; el radio es igual a la hipotenusa y tiene longitud 1, así que tenemos θ del pecado = y/1 y θ de lechuga romana = x/1. El círculo de la unidad se puede pensar en como manera de mirar un número infinito de triángulos variando las longitudes de sus piernas pero guardando las longitudes de sus hipotenusas iguales a 1.

Para los ángulos 2π mayor que o menos que −2π, continúe simplemente rotando alrededor del círculo. De esta manera, el seno y el coseno se convierten funciones periódicas con el período 2π:

para cualquier θ y cualquiera del ángulo número entero k.

el más pequeño el período positivo de una función periódica se llama período primitivo de la función. El período primitivo del seno, el coseno, la secante, o la cosecante es un círculo completo, es decir. radianes 2π o 360 grados; el período primitivo de la tangente o de la cotangente es solamente un semi-círculo, es decir. radianes del π o 180 grados. Sobre, solamente el seno y el coseno fueron definidos directamente por el círculo de la unidad, pero las otras cuatro funciones trigonométricas se pueden definir cerca:

A la derecha está una imagen que exhibe un gráfico perceptiblemente diverso de la función trigonométrica f (θ) = tan (θ) gráfico gráficamente en el plano cartesiano. Observe que su x-intercepta corresponden a el del pecado (θ) mientras que sus valores indefinidos corresponden a x-interceptan de la lechuga romana (θ). Observe que los resultados de la función cambian lentamente alrededor de ángulos de kπ, pero cambio rápidamente a los ángulos cerca de (k del + π 1/2). El gráfico de la función de la tangente también tiene una vertical asíntota en el θ = (k del + π 1/2). Éste es el caso porque la función acerca a infinito mientras que el θ se acerca (k del + π 1/2) de la izquierda y menos infinito como se acerca (k del + π 1/2) de la derecha.

Alternativomente, todos de las funciones trigonométricas básicas puede ser definido en términos de círculo de la unidad centrado en O (demostrado en la derecha, cerca de la tapa de la página), y similar tales definiciones geométricas fueron utilizadas históricamente. Particularmente, para un acorde AB del círculo, donde está el θ la mitad del subtended el ángulo, pecado (θ) es CA (mitad del acorde), una definición introducida adentro La India (véase arriba). lechuga romana (θ) es la distancia horizontal OC, y versin(θ) = 1 − lechuga romana (θ) es CD. el tan (θ) es la longitud del segmento AE de la línea de la tangente a través A, por lo tanto la palabra tangente para esta función. el cot (θ) es otro segmento de la tangente, AF. sec (θ) = OE y csc (θ) = DE son los segmentos de líneas secantes (intersecando el círculo en dos puntos), y puede también ser visto como proyecciones de OA a lo largo de la tangente en A a las hachas horizontales y verticales, respectivamente. DE es exsec(θ) = − 1 (la porción del sec (θ) del exterior secante, o ex, el círculo). De estas construcciones, es fácil ver que divergen las funciones de la secante y de la tangente mientras que el θ acerca a π/2 (90 grados) y que divergen la cosecante y la cotangente como los acercamientos cero del θ. (Muchas construcciones similares son posibles, y las identidades trigonometric básicas se pueden también probar gráficamente.)

Definiciones de la serie

Usar solamente geometría y características de límites, puede ser demostrado que derivado de seno está el coseno y el derivado del coseno es la negativa del seno. (Aquí, y generalmente adentro cálculo, todos los ángulos se miden adentro radianes; vea también la significación de radianes debajo.) de uno puede entonces utilizar la teoría de Serie de Taylor para demostrar que las identidades siguientes sostienen para todos números verdaderos x:

Estas identidades se toman a menudo como definiciones de la función del seno y de coseno. Son de uso frecuente como el punto de partida en un tratamiento riguroso de funciones trigonométricas y de sus usos (e.g., en Serie de Fourier), desde la teoría de serie infinita puede ser convertido de las fundaciones del sistema de numeración verdadero, independiente de cualquieres consideraciones geométricas. differentiability y continuidad de estas funciones entonces se establecen de las definiciones de la serie solamente.

La otra serie puede ser encontrada:[1]

donde

Un es nth número up/down,
Bn es nth Número de Bernoulli, y
En (abajo) es nth Número de Euler.

Cuando esto se expresa en una forma en la cual los denominadores sean los factorials correspondientes, y los numeradores, llamó la “tangente numera”, tienen a combinatorio interpretación: enumeran permutaciones que se alternan de sistemas finitos de cardinality impar.


Cuando esto se expresa en una forma en la cual los denominadores sean los factorials correspondientes, los numeradores, llamaron los “números secantes”, tienen a combinatorio interpretación: enumeran permutaciones que se alternan de sistemas finitos de cardinality uniforme.

De un teorema adentro análisis complejo, hay una extensión analítica única de esta función verdadera a los números complejos. Tienen la misma serie de Taylor, y así que las funciones trigonométricas se definen en los números complejos usando la serie de Taylor arriba.

Relación a la función exponencial y a los números complejos

Puede ser demostrado de las definiciones de la serie que las funciones del seno y de coseno son imaginario y partes reales, respectivamente, de función exponencial compleja cuando su discusión es puramente imaginaria:

Se llama esta identidad Fórmula de Euler. De esta manera, las funciones trigonométricas llegan a ser esenciales en la interpretación geométrica del análisis complejo. Por ejemplo, con la identidad antedicha, si uno considera el círculo de la unidad en plano complejo, definido cerca eix, y como arriba, podemos parametrize este círculo en términos de cosenos y los senos, la relación entre las funciones exponenciales y trigonométricas complejas llegan a ser más evidentes.

Además, esto permite la definición de las funciones trigonométricas para las discusiones complejas z:

donde i 2 = −1. También, para puramente verdadero x,

lechuga romanax = Re (eix)
pecadox = Im (eix)

También se sabe que los procesos exponenciales están ligados íntimo al comportamiento periódico.


Funciones trigonométricas en el plano complejo
pecado (z) lechuga romana (z) tan (z) cot (z) sec (z) csc (z)

Definiciones vía ecuaciones diferenciales

Las funciones del seno y de coseno satisfacen ecuación diferencial

y'' = − y.

Es decir, cada uno es la negativa de su propio segundo derivado. Dentro del de 2 dimensiones espacio de la función V consistiendo en todas las soluciones de esta ecuación, la función del seno es la solución única que satisface las condiciones iniciales y(0) = 0 y yel ′ (0) = 1, y la función de coseno es la solución única que satisface las condiciones iniciales y(0) = 1 y y′(0) = 0. Desde el seno y el coseno las funciones son linear independiente, juntas ellas forman a base de V. Este método de definir las funciones del seno y de coseno es esencialmente equivalente a usar el fórmula de Euler. (Véase ecuación diferencial linear.) Resulta que esta ecuación diferencial se puede utilizar no sólo para definir las funciones del seno y de coseno pero también para probar identidades trigonometric para las funciones del seno y de coseno. Además, la observación que el seno y el coseno satisface y'' = − y significa que son funciones propias del operador del segundo-derivado.

La función de la tangente es la solución única de la ecuación diferencial no lineal

y' = 1 + y2

satisfacción de la condición inicial y(0) = 0. Hay una prueba visual muy interesante que la función de la tangente satisface esta ecuación diferencial; vea Needham Análisis complejo visual.[2]

La significación de radianes

Los radianes especifican un ángulo midiendo la longitud alrededor de la trayectoria del círculo de la unidad y constituyen una discusión especial a las funciones del seno y de coseno. Particularmente, solamente esos senos y cosenos que traz radianes a los cocientes satisfacen las ecuaciones diferenciales que clásico las describen. Si una discusión al seno o al coseno en radianes es escalada por la frecuencia,

entonces los derivados escalarán cerca amplitud.

Aquí, k es una constante que representa traz entre las unidades. Si x está grados, entonces

Esto significa que el segundo derivado de un seno grados satisface no la ecuación diferencial

pero algo

El derivado del coseno segundo se comporta semejantemente.

Esto significa que estos senos y cosenos son diversas funciones, y que el cuarto derivado del seno será seno otra vez solamente si la discusión está en radianes.

Identidades

Artículo principal: Lista de identidades trigonometric

Muchas identidades existen que correlacionan las funciones trigonométricas. Entre lo más frecuentemente usado es Identidad Pythagorean, qué estados que para cualquier ángulo, el cuadrado del seno más el cuadrado del coseno son siempre 1. Esto es fácil de ver estudiando un triángulo derecho de la hipotenusa 1 y aplicándose Teorema Pythagorean. En forma simbólica, la identidad Pythagorean lee,

cuál se escribe más comunmente con el exponente “dos” al lado del símbolo del seno y del coseno:

En algunos casos paréntesis internos pueden ser omitidos.

Otras relaciones dominantes son fórmulas de la suma y de la diferencia, cuáles dan el seno y el coseno de la suma y de la diferencia de dos ángulos en términos de senos y cosenos de los ángulos ellos mismos. Éstos se pueden derivar geométrico, usando las discusiones de nuevo a las cuales vaya Ptolemy; uno puede también producirlos algebraico que usan el fórmula de Euler.

Cuando los dos ángulos son iguales, los fórmulas de la suma reducen a ecuaciones más simples conocidas como fórmulas del doble-ángulo.

Estas identidades se pueden también utilizar para derivar identidades de la producto-a-suma eso fue utilizada en antigüedad para transformar el producto de dos números en una suma de números y para apresurar grandemente operaciones, como función del logaritmo.

Cálculo

Para integrales y derivados de funciones trigonométricas, vea las secciones relevantes de tabla de derivados, tabla de integrales, y lista de integrales de funciones trigonométricas. Debajo está la lista de los derivados y de los integrales de las seis funciones trigonométricas básicas.

Definiciones usando ecuaciones funcionales

En análisis matemático, uno puede definir usar de las funciones trigonométricas ecuaciones funcionales de acuerdo con características tenga gusto de los fórmulas de la suma y de la diferencia. Tomando según lo dado estos fórmulas y la identidad Pythagorean, por ejemplo, una puede probar que solamente dos funciones verdaderas satisfaga esas condiciones. Simbólicamente, decimos que existe exactamente un par de funciones verdaderas y tales que para todos los números verdaderos x y y, el asimiento siguiente de las ecuaciones:[citación necesitada]

con la condición agregada eso

Otras derivaciones, a partir de otras ecuaciones funcionales, son también posibles, y tales derivaciones se pueden ampliar a los números complejos. Como ejemplo, esta derivación se puede utilizar para definir trigonometría en los campos de Galois.

Cómputo

El cómputo de funciones trigonométricas es un tema complicado, de el cual puede ser evitado hoy por la mayoría de la gente debido a la disponibilidad extensa computadoras y calculadoras científicas eso proporciona las funciones trigonométricas incorporadas para cualquier ángulo. En esta sección, sin embargo, describimos más detalles de su cómputo en tres contextos importantes: el uso histórico de tablas trigonometric, las técnicas modernas usadas por las computadoras, y algunos ángulos “importantes” donde los valores exactos simples se encuentran fácilmente.

El primer paso en computar cualquier función trigonométrica es reducción de la gama -- la reducción del ángulo dado del “redujo ángulo” dentro de una gama pequeña de ángulos, dice 0 a π/2, usando la periodicidad y las simetrías de las funciones trigonométricas.

Artículo principal: Generación de las tablas trigonometric

Antes de las computadoras, pueble las funciones trigonométricas típicamente cerca evaluadas interpolación de una tabla detallada de sus valores, calculada a muchos figuras significativas. Tales tablas han estado disponibles para mientras se hayan descrito las funciones trigonométricas (véase Historia sobre), y fueron generados típicamente por el uso repetido del mitad-ángulo y de la ángulo-adición identidades a partir de un valor conocido (tal como pecado (π/2) = 1).

Las computadoras modernas utilizan una variedad de técnicas.[3] Un método común, especialmente en procesadores del alto-extremo con coma flotante las unidades, están a la cosechadora a polinómico o racional aproximación (por ejemplo Aproximación de Chebyshev, la mejor aproximación uniforme, y Aproximación de Padé, y típicamente para precisiones más altas o variables, Taylor y Serie de Laurent) con la reducción de la gama y a operaciones de búsqueda de tabla - primero miran para arriba el ángulo más cercano de una tabla pequeña, y después utilizan el polinomio para computar la corrección.[4] En dispositivos más simples que carecen multiplicadores del hardware, hay un algoritmo llamado CORDIC (así como técnicas relacionadas) que es más eficiente, puesto que utiliza solamente cambios y adiciones. Todos estos métodos se ponen en ejecución comúnmente adentro hardware unidades de la coma flotante por razones del funcionamiento.

Para los cálculos de la precisión muy alta, cuando la convergencia de la extensión de la serie llega a ser demasiado lenta, las funciones trigonométricas se pueden aproximar por medio aritmética-geométrico, que sí mismo aproxima la función trigonométrica por (complejo) integral elíptico.[5]

Artículo principal: Constantes trigonometric exactas

Finalmente, para algunos ángulos simples, los valores pueden ser a mano el usar fácilmente computado Teorema Pythagorean, como en los ejemplos siguientes. De hecho, el seno, el coseno y la tangente de cualquier múltiplo de número entero de π/60 radianes (3°) puede ser encontrado exactamente a mano.

Considere un triángulo derecho donde están iguales los dos otros ángulos, y por lo tanto sea ambos π/4 radianes (45°). Entonces la longitud del lado b y la longitud del lado a sea igual; podemos elegir a = b = 1. Los valores del seno, del coseno y de la tangente de un ángulo de π/4 los radianes (45°) se pueden entonces encontrar el usar del teorema Pythagorean:

Por lo tanto:

A determinar las funciones trigonométricas para los ángulos de los radianes π/3 (60 grados) y de los radianes π/6 (30 grados), comenzamos con un triángulo equilátero de la longitud lateral 1. Todos sus ángulos son los radianes π/3 (60 grados). Dividiéndolo en dos, obtenemos un triángulo derecho con ángulos de los radianes π/6 (30 grados) y de los radianes π/3 (60 grados). Para este triángulo, el lado más corto el = 1/2, el lado más grande siguiente = (√3) /2 y la hipotenusa = 1. Esto rinde:

Funciones inversas

Artículo principal: Función trigonométrica inversa

Las funciones trigonométricas son periódicas, y por lo tanto no injective, no tienen tan terminantemente función inversa. Por lo tanto para definir una función inversa debemos restringir sus dominios de modo que sea la función trigonométrica bijective. En el siguiente, las funciones a la izquierda están definido por la ecuación a la derecha; éstas no son identidades probadas. Lo contrario principales se definen generalmente como:

Para las funciones trigonométricas inversas, el pecado de las notaciones−1 y lechuga romana−1 son de uso frecuente para el arcsin y los arccos, los etc. Cuando se utiliza esta notación, las funciones inversas se podrían confundir con lo contrario multiplicative de las funciones. La notación que usa el “arco” prefijo evita tal confusión, aunque el “arcsec” se puede confundir con”arcsecond".

Justo como el seno y el coseno, las funciones trigonométricas inversas se pueden también definir en términos de serie infinita. Por ejemplo,

Estas funciones pueden también ser definidas probando que son antiderivatives de otras funciones. El arcoseno, por ejemplo, se puede escribir como el integral siguiente:

Los fórmulas análogos para las otras funciones se pueden encontrar en Función trigonométrica inversa. El usar logaritmo complejo, uno puede generalizar todas estas funciones a las discusiones complejas:

Características y usos

Artículo principal: Aplicaciones de la trigonometría

Las funciones trigonométricas, como el nombre sugieren, son de importancia crucial adentro trigonometría, principalmente debido a los dos resultados siguientes.

Ley de senos

ley de senos estados que para un arbitrario triángulo con los lados a, b, y c y ángulos enfrente de esos lados A, B y C:

también conocido como:

donde R es el radio del triángulo circumcircle.

Puede ser probado dividiendo el triángulo en la derecha dos unas y usando la definición antedicha del seno. La ley de senos es útil para computar las longitudes de los lados desconocidos en un triángulo si se saben dos ángulos y un lado. Esto es una situación común que ocurre adentro triangulación, una técnica para determinar distancias desconocidas midiendo dos ángulos y una distancia incluida accesible.

Ley de cosenos

ley de cosenos (también conocido como el fórmula del coseno) es una extensión del Teorema Pythagorean:

también conocido como:

En este fórmula el ángulo en C está frente al lado C. Este teorema puede ser probado dividiendo el triángulo en la derecha dos unas y usándolo Teorema Pythagorean.

La ley de cosenos se utiliza sobre todo para determinar un lado de un triángulo si se saben dos lados y un ángulo, aunque en algunos casos puede haber dos soluciones positivas como en Caso ambiguo de SSA. Y puede también ser utilizado encontrar el coseno de un ángulo (y por lo tanto del ángulo sí mismo) si se saben todos los lados.

Otras características útiles

Hay también a ley de tangentes:

Funciones periódicas

Las funciones trigonométricas son también importantes en la física. El seno y las funciones de coseno, por ejemplo, se utilizan para describir movimiento armónico simple, que modela muchos fenómenos naturales, tales como el movimiento de una masa unida a un resorte y, para los ángulos pequeños, el movimiento pendular de una masa que cuelga por una secuencia. Las funciones del seno y de coseno son proyecciones unidimensionales del movimiento circular uniforme.

Las funciones trigonométricas también demuestran ser útiles en el estudio del general funciones periódicas. Estas funciones tienen patrones característicos de la onda como gráficos, útiles para modelar fenómenos que se repiten tales como sonido o luz ondas. Cada señal se puede escribir como suma de a (típicamente infinita) de funciones del seno y de coseno de diversas frecuencias; ésta es la idea básica de Análisis de Fourier, donde las series trigonometric se utilizan para solucionar una variedad de problemas del valor límite en ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo onda cuadrada, puede ser escrito como Serie de Fourier

En la animación a la derecha puede ser visto que apenas algunos términos producen ya una aproximación bastante buena.

Vea también

Notas

  1. ^ Abramowitz; Weisstein.
  2. ^ Needham, P. ix.
  3. ^ Kantabutra.
  4. ^ Sin embargo, haciendo que mientras que mantener la precisión es no trivial, y los métodos como las tablas exactas del galón, la reducción de Cody y de Waite, y los algoritmos de la reducción de Payne y de Hanek pueden ser utilizados.
  5. ^ R. P. Brent, “evaluación Multiple-Precision rápida de funciones elementales”, J. ACM 23, 242 (1976).

Referencias

Wikibooks tiene un libro en el asunto de

Acoplamientos externos

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