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Simetría

Simetría transporta generalmente dos significados primarios. El primer es un sentido impreciso de la proporcionalidad y del equilibrio armoniosos o estético-agradables; tales que refleja belleza o la perfección. El segundo significado es un concepto exacto y bien definido del balance o de la “uno mismo-semejanza modelada” que se puede demostrar o probar según las reglas de a sistema formal: por geometría, a través física o de otra manera.

Aunque los significados son distinguibles, en algunos contextos, ambos significados de la “simetría” son relacionados y discutidos en paralelo.[1][2]

Las nociones “exactas” de la simetría tienen varias medidas y definiciones operacionales. Por ejemplo, la simetría puede ser observada:

Este artículo describe estas nociones de la simetría a partir de tres perspectivas. El primer es el de matemáticas, en que las simetrías se definen y se categorizan exacto. La segunda perspectiva describe simetría mientras que se relaciona con ciencia y tecnología. En este contexto, las simetrías son la base de algunos de los resultados más profundos encontrados en moderno física, incluyendo aspectos de espacio y tiempo. Finalmente, una tercera perspectiva discute simetría en humanidad, cubriendo sus ricos y uso variado adentro historia, arquitectura, arte, y religión.

El contrario de la simetría es asimetría.

Contenido

Simetría en el campo de las matemáticas

En términos formales, decimos que es un objeto simétrico con respecto al dado operación matemática, si, cuando está aplicada al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos el uno al otro con respecto a un grupo dado de operaciones si una es obtenido de la otra por algunas de las operaciones (y viceversa).

Las simetrías se pueden también encontrar en organismos vivos incluyendo seres humanos y otros animales (véase simetría en biología debajo). En la 2.a geometría las clases principales de simetría del interés están con respecto al básico Isometries planos euclidianos: traducciones, rotaciones, reflexiones, y reflexiones del deslizamiento.

Modelo matemático para la simetría

El sistema de todas las operaciones de la simetría consideradas, en todos los objetos en un sistema X, puede ser modelado como a acción del grupo g : G × X → X, del donde la imagen g en G y x en X se escribe como g·x. Si, para alguno g, g·x = y entonces x y y serían simétrico el uno al otro. Para cada objeto x, operaciones g para cuál g·x = x forme a grupo, grupo de la simetría del objeto, un subgrupo de G. Si el grupo de la simetría de x entonces está el grupo trivial x reputa asimétrico, si no simétrico. Un ejemplo general es ése G es un grupo de bijections g: V → V el actuar en el sistema de funciones x: V → W por (gx) (v)=x (g−1(v)) (o un sistema restricto de tales funciones que es cerrado bajo acción del grupo). Así un grupo de bijections del espacio induce una acción del grupo en “objetos” en ella. El grupo de la simetría de x consiste en todos g para cuál x =x (v) (g (v)) para todos v. G es el grupo del espacio sí mismo de la simetría, y de cualquier objeto que sea uniforme a través de espacio. Algunos subgrupos de G no puede ser el grupo de la simetría de ningún objeto. Por ejemplo, si el grupo contiene para cada v y W en V a g tales que =w de g (v), entonces solamente los grupos de la simetría de funciones constantes x contenga a ese grupo. Sin embargo, el grupo de la simetría de funciones constantes es G sí mismo.

En una versión modificada para campos del vector, tenemos (gx) (v)=h (g, x (g−1(v))) donde h rota cualesquiera vectores y pseudovectors adentro x, e invierte cualquier vector (pero no pseudovectors) según la rotación y la inversión adentro g, vea simetría en la física. El grupo de la simetría de x consiste en todos g para cuál x =h (v) (g, x (g (v))) para todos v. En este caso el grupo de la simetría de una función constante puede ser un subgrupo apropiado de G: un vector constante tiene solamente simetría rotatoria con respecto a la rotación sobre un eje si ese eje está en la dirección del vector, y solamente simetría de la inversión si es cero.

Para una noción común de la simetría adentro Espacio euclidiano, G es Grupo euclidiano E(n), el grupo de isometries, y V es el espacio euclidiano. grupo de la rotación de un objeto está el grupo de la simetría si G se restringe a E+(n), el grupo de isometries directos. (Para las generalizaciones, vea la subdivisión siguiente.) los objetos se pueden modelar como funciones x, de que un valor puede representar una selección de características tales como color, densidad, composición química, etc. Dependiendo de la selección consideramos simetrías justas de sistemas de puntos (x es a justa boleano función de la posición v), o, en el otro extremo, e.g. simetría de la derecha y de la mano izquierda con toda su estructura.

Para un grupo dado de la simetría, las características de la parte del objeto, definen completamente el objeto entero. Consideración de puntos equivalente cuáles, debido a la simetría, tienen las mismas características, clases de equivalencia sea órbitas de la acción en el espacio sí mismo del grupo. Necesitamos el valor de x en un punto en cada órbita para definir el objeto completo. Un sistema de tales representantes forma a dominio fundamental. El dominio fundamental más pequeño no tiene una simetría; en este sentido, uno puede decir que confía la simetría sobre asimetría.

Un objeto con una simetría deseada puede ser producido eligiendo para cada órbita un solo valor de la función. A partir de un objeto dado x podemos e.g.:

  • tome los valores en un dominio fundamental (es decir, agregue las copias del objeto)
  • tome para cada órbita una cierta clase de promedio o de suma de los valores de x en los puntos de la órbita (ídem, donde las copias pueden traslaparse)

Si no se desea para no tener no más de simetría que eso en el grupo de la simetría, después el objeto que se copiará debe ser asimétrico.

Según lo precisado arriba, algunos grupos de isometries no son el grupo de la simetría de ningún objeto, excepto en el modelo modificado para los campos del vector. Por ejemplo, esto se aplica en 1D para el grupo de todas las traducciones. El dominio fundamental es solamente un punto, así que no podemos hacerlo asimétrico, así que cualquier traducción inferior invariante del “patrón” es también reflexión inferior invariante (éstos son los “patrones uniformes”).

En la versión del campo del vector la simetría de translación continua no implica simetría del reflectional: el valor de la función es constante, pero si contiene vectores distintos a cero, no hay simetría del reflectional. Si hay también simetría del reflectional, el valor constante de la función no contiene ningún vector distinto a cero, sino que puede contener pseudovectors distintos a cero. Un ejemplo correspondiente 3D es un infinito cilindro con un perpendicular actual al eje; campo magnético (a pseudovector) está, en la dirección del cilindro, constante, pero distinto a cero. Para los vectores (particularmente densidad corriente) tenemos simetría en cada perpendicular del plano al cilindro, así como simetría cilíndrica. Esta simetría cilíndrica sin planos del espejo con el eje es también solamente posible en la versión del campo del vector del concepto de la simetría. Un ejemplo similar es un cilindro que rota sobre su eje, donde el campo magnético y la densidad corriente se substituyen cerca ímpetu angular y velocidad, respectivamente.

Dicen un grupo de la simetría para actuar transitively en una característica repetida de un objeto si, porque cada par de las ocurrencias de la característica allí es una operación de la simetría traz el primer al segundo. Por ejemplo, en 1D, el grupo de la simetría de {…, 1.2.5.6.9.10.13.14,…} actúa transitively en todos estos puntos, mientras que {…, 1.2.3.5.6.7.9.10.11.13.14.15,…} no acto transitively en todos los puntos. Equivalente, el primer sistema es solamente uno clase del conjugacy con respecto a isometries, mientras que el segundo tiene dos clases.

simetría No-isométrica

Según lo mencionado arriba, G (el grupo del espacio sí mismo de la simetría) puede diferenciar de Grupo euclidiano, el grupo de isometries.

Ejemplos:

  • G es el grupo de afina transformaciones con una matriz A con el determinante 1 o -1, es decir. la transformación que preservan área; esto agrega e.g. oblicuo simetría de la reflexión.
  • G es el grupo de todo el bijective afina transformaciones
  • Más generalmente, involución define una simetría con respecto a esa involución.

Simetría direccional

Artículo principal: simetría direccional

Simetría de la reflexión

Artículo principal: simetría de la reflexión

La simetría de la reflexión, la simetría del espejo, la simetría de la espejo-imagen, o la simetría bilateral es simetría con respecto a la reflexión.

En 1D, hay un punto de la simetría. En 2.o hay un eje de la simetría, en 3D un plano de la simetría. Un objeto o una figura que son indistinguibles de su imagen transformada se llama espejo simétrico (véase imagen del espejo).

El eje de la simetría de una figura de dos dimensiones es una línea tales que, si se construye un perpendicular, cualquier dos puntos que mienten en el perpendicular en las distancias iguales del eje de la simetría son idénticos. Otra manera de pensar de ella es que si se doblara la forma por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían idénticas: las dos mitades son imagen de cada uno del espejo. Así a cuadrado tiene cuatro hachas de simetría, porque hay cuatro diversas maneras de doblarlo y de tener los bordes todo el fósforo. A círculo tiene infinitamente muchas hachas de la simetría, por la misma razón.

Si la letra T se refleja a lo largo de un eje vertical, aparece iguales. ¡Observe que esto a veces está llamada simetría horizontal, y simetría a veces vertical! Uno puede mejorar uso una formulación inequívoca, e.g. “T tiene un eje vertical de la simetría.”

triángulos con esta simetría esté isósceles, cuadriláteros con esta simetría sea cometas y el isósceles trapezoides.

Para cada línea o plano de la reflexión, el grupo de la simetría es isomorfo con Cs (véase grupos del punto en tres dimensiones), uno de los tres tipos de la orden dos (involuciones), por lo tanto algebraico C2. El dominio fundamental es un mitad-plano o un medio espacio.

Bilateria (animales bilaterales, incluyendo seres humanos) sea más o menos simétrico con respecto a plano sagital.

En ciertos contextos hay simetría rotatoria de todos modos. Entonces la simetría de la espejo-imagen es equivalente con simetría de la inversión; en tales contextos en la física moderna la P-simetría del término se utiliza para ambos (P está parado para paridad).

Para tipos más generales de reflexión están correspondiendo tipos más generales de simetría de la reflexión. Ejemplos:

Simetría rotatoria

Artículo principal: simetría rotatoria

La simetría rotatoria es simetría con respecto a alguno o a todas las rotaciones en espacio euclidiano m-dimensional. Las rotaciones son isometries directos, es decir, el preservar de los isometries orientación. Por lo tanto un grupo de la simetría de la simetría rotatoria es un subgrupo de E+(m) (véase Grupo euclidiano).

La simetría con respecto a todas las rotaciones sobre todos los puntos implica simetría de translación con respecto a todas las traducciones, y el grupo de la simetría es el E+(m) entero. Esto no solicita objetos porque hace el espacio homogéneo, pero puede solicitar leyes físicos.

Para la simetría con respecto a rotaciones alrededor de un punto podemos tomar ese punto como origen. Estas rotaciones forman grupo orthogonal especial TAN (m), el grupo de m×m matrices orthogonal con determinante 1. Para m=3 éste es grupo de la rotación.

En otro significado de la palabra, el grupo de la rotación de un objeto es el grupo dentro de E+(n), el grupo de la simetría de isometries directos; es decir la intersección del grupo completo de la simetría y del grupo de isometries directos. Para los objetos chiral es igual que el grupo completo de la simetría.

Los leyes de la física son TAN (3) - invariantes si no distinguen diversas direcciones en espacio. Debido a Teorema de Noether, la simetría rotatoria de un sistema físico es equivalente a la ley de la conservación del ímpetu angular. Vea también invariación rotatoria.

Simetría de translación

Vea el artículo principal simetría de translación.

La simetría de translación deja un objeto invariante bajo grupo discreto o continuo de traducciones Ta(p) = p + a

Simetría de la reflexión del deslizamiento

A reflexión del deslizamiento simetría (en 3D: los medios del deslizamiento de una simetría del plano) que una reflexión en una línea o un plano combinó con una traducción a lo largo de la línea/en el plano, dan lugar al mismo objeto. Implica simetría de translación con dos veces el vector de la traducción.

El grupo de la simetría es isomorfo con Z.

Simetría de Rotoreflection

En 3D, rotoreflection o rotación incorrecta en el sentido terminante está la rotación sobre un eje, combinado con la reflexión en un perpendicular del plano a ese eje. Como grupos de la simetría con respecto a una roto-reflexión podemos distinguir:

  • el ángulo no tiene ningún divisor común con 360°, el grupo de la simetría no es discreto
  • 2n- doble el rotoreflection (ángulo de 180°/n) con el grupo de la simetría S2n de la orden 2n (no ser confundido con grupos simétricos, para que se utiliza la misma notación; grupo abstracto C2n); un caso especial es n=1, inversión, porque no depende del eje y del plano, es caracterizado por apenas el punto de la inversión.
  • Cnh (ángulo de 360°/n); para impar n esto es generada por una sola simetría, y el grupo abstracto es C2n, para uniforme n esto es una no simetría básica sino una combinación. Vea también grupos del punto en tres dimensiones.

Simetría helicoidal

Vea también: eje del tornillo

Helicoidal la simetría es la clase de simetría considerada en los objetos diarios tales como resortes, Slinky juguetes, pedacitos de taladro, y taladros. Puede ser pensado en como simetría rotatoria junto con la traducción a lo largo del eje de la rotación, eje del tornillo). El concepto de la simetría helicoidal se puede visualizar como el trazo en el espacio tridimensional ese los resultados de rotar un objeto en un uniforme velocidad angular mientras que simultáneamente se mueve a otra velocidad uniforme a lo largo de su eje de la rotación (traducción). En cualquier un punto a tiempo, estos dos movimientos combinan a la elasticidad a ángulo que arrolla ese las ayudas definen las características del trazo. Cuando el objeto que remonta rota rápidamente y traduce lentamente, el ángulo que arrolla estará cerca de 0°. Inversamente, si la rotación es lenta y la traducción rápida, el ángulo que arrolla acercará a 90°.

Tres clases principales de la simetría helicoidal pueden ser distinguidas basadas en la interacción del ángulo de las simetrías el arrollar y de la traducción a lo largo del eje:

  • Simetría helicoidal infinita. Si no hay características que distinguen a lo largo de la longitud de a hélice o hélice-como objeto, el objeto tendrá simetría infinita como ésa de un círculo, pero con el requisito adicional de la traducción a lo largo del de eje largo del objeto para volverlo a su aspecto original. A hélice-como objeto es uno que tiene en cada punto el ángulo regular de arrollar de una hélice, pero que puede también tener a seccionado transversalmente de la complejidad indefinidamente alta, con tal que solamente eso la misma sección representativa exista exacto (generalmente después de una rotación) en cada punto a lo largo de la longitud del objeto. Los ejemplos simples incluyen arrollado uniformemente resortes, slinkies, pedacitos de taladro, y taladros. Indicó más exacto, un objeto tiene simetrías helicoidales infinitas si para cualquier rotación pequeña del objeto alrededor de su eje central existe un punto cerca (la distancia de la traducción) en ese eje en el cual el objeto aparezca exactamente como hizo antes. Es esta simetría helicoidal infinita que da lugar a la ilusión curiosa del movimiento a lo largo de la longitud de un taladro o de un tornillo mordido se está rotando que. También proporciona la capacidad mecánicamente útil de tales dispositivos de mover los materiales a lo largo de su longitud, a condición de que se combinan con una fuerza tal como gravedad o fricción que permitan que los materiales resistan simplemente el rotar junto con el taladro o el taladro.
  • n-doble la simetría helicoidal. Si se relaja el requisito que cada sección representativa del objeto helicoidal sea idéntica, adicional pocas simetrías helicoidales llegan a ser posibles. Por ejemplo, la sección representativa del objeto helicoidal puede cambiar, pero todavía se repite en una manera regular a lo largo del eje del objeto helicoidal. Por lo tanto, los objetos de este tipo exhibirán una simetría después de una rotación por un cierto ángulo fijo θ y una traducción por una cierta distancia fija, pero en general no será invariante para ningún ángulo de la rotación. Si el ángulo (la rotación) en la cual la simetría ocurre se divide uniformemente en un círculo completo (360°), el resultado es el equivalente helicoidal de un polígono regular. Se llama este caso n-doble la simetría helicoidal, donde n = 360°/θ, vea e.g. hélice doble. Este concepto se puede generalizar más a fondo para incluir los casos donde mθ es un múltiplo de 360°- that es, el ciclo repite eventual, pero solamente después de más de una rotación completa del objeto helicoidal.
  • Simetría helicoidal Non-repeating. Éste es el caso en el cual el ángulo de la rotación θ requerido para observar la simetría es un número irracional por ejemplo radianes eso nunca repite exactamente no importa cómo muchas veces la hélice se rota. Tales simetrías son creadas usando un non-repeating grupo del punto en dos dimensiones. DNA es un ejemplo de este tipo de simetría helicoidal non-repeating.

Simetría y fractals de la escala

La simetría de la escala refiere a la idea que si un objeto se amplía o se reduce de tamaño, el nuevo objeto tiene las mismas características que la original. La simetría de la escala es notable para el hecho que lo hace no exista para la mayoría de los sistemas físicos, un punto que primero fue discernido cerca Galileo. Los ejemplos simples de la carencia de la simetría de la escala en el mundo físico incluyen la diferencia en la fuerza y el tamaño de las piernas de elefantes contra ratones, y la observación que si una vela hecha de la cera suave fuera agrandada al tamaño de un árbol alto, él se derrumbaría inmediatamente bajo su propio peso.

Una forma más sutil de simetría de la escala se demuestra cerca fractals. Según lo concebido cerca Mandelbrot, los fractals son un concepto matemático en de el cual la estructura de una forma compleja mira exactamente igual no importa qué grado ampliación se utiliza examinarlo. A costa es un ejemplo de un fractal natural, puesto que conserva la complejidad áspero comparable y similar-que aparece a todos los niveles de la vista de un satélite a una examinación microscópica de cómo el agua traslapa para arriba contra granos individuales de la arena. La ramificación de árboles, que permite a niños utilizar las ramitas pequeñas como suplentes para los árboles llenos adentro dioramas, es otro ejemplo.

Esta semejanza a los fenómenos naturales provee de fractals una familiaridad diaria considerada no típicamente con funciones matemáticamente generadas. Por consiguiente, pueden producir llamativo resultados hermosos tales como Sistema de Mandelbrot. Intrigantamente, los fractals también han encontrado un lugar adentro CG, o efectos originados en ordenador de la película, donde su capacidad de crear curvas muy complejas con simetrías fractal da lugar a más realista mundos virtuales.

Combinaciones de la simetría

Artículo principal: combinaciones de la simetría

Simetría en ciencia

Simetría en la física

Artículo principal: Simetría en la física

La simetría en la física se ha generalizado para significar invariaciónque es, carencia de visible cambiar-debajo de cualquier clase de transformación. Este concepto tiene convertido de las herramientas más de gran alcance de la física teórica, pues ha llegado a ser evidente que prácticamente todos los leyes de la naturaleza originan en simetrías. De hecho, este papel inspiró a laureado Nobel Picovatio Anderson para escribir en el suyo ancho-lea el artículo 1972 Más es diferente eso “está exagerando solamente levemente el caso para decir que la física es el estudio de la simetría.” Vea Teorema de Noether (que, como oversimplification grueso, indica que para cada simetría matemática continua, hay el corresponder conservó cantidad; una corriente conservada, en la lengua original de Noether); y también, Clasificación de Wigner, que dice que las simetrías de los leyes de la física se determinan las características de las partículas encontraron en naturaleza.

Simetría en objetos físicos

Objetos clásicos

Aunque un objeto diario puede aparecer exactamente iguales después de que una operación de la simetría tal como una rotación o un intercambio de dos porciones idénticas se haya realizado en ella, es fácilmente evidente que tal simetría es verdad solamente como aproximación para cualquier objeto físico ordinario.

Por ejemplo, si uno rota un aluminio exacto trabajado a máquina triángulo equilátero 120 grados alrededor de su centro, un observador ocasional traído adentro antes y después la rotación no podrán decidir a si u ocurrió no tal rotación. Sin embargo, la realidad es que cada esquina de un triángulo aparecerá siempre única cuando está examinada con la suficiente precisión. Un observador se armó con el equipo que medía suficientemente detallado por ejemplo óptico o microscopios electrónicos no será engañado; él reconocerá inmediatamente que el objeto ha sido rotado buscando los detalles por ejemplo cristales o deformidades de menor importancia.

Tales simples experimentos del pensamiento demuestre que las aserciones de la simetría en objetos físicos diarios son siempre una cuestión de semejanza aproximada más bien que de sameness matemático exacto. La consecuencia más importante de esta naturaleza aproximada de simetrías en objetos físicos diarios es que tales simetrías tienen mínimo o ningunos impactos en la física de tales objetos. Por lo tanto, solamente el más profundo simetrías del espacio y del tiempo desempeñe un papel importante adentro física clásicaque es, la física de objetos grandes, diarios.

Objetos de Quantum

Notable, existe un reino de la física para el cual las aserciones matemáticas de simetrías simples en objetos verdaderos dejen de ser aproximaciones. Ése es el dominio de física del quántum, que para la mayor parte es la física de muy pequeño, los objetos muy simples por ejemplo electrones, protones, luz, y átomos.

Desemejante de objetos diarios, objetos por ejemplo electrones tenga números muy limitados de configuraciones, llamados estados, en que pueden existir. Esto significa que cuando las operaciones de la simetría tales como cambio de las posiciones de componentes se aplican a ellos, las nuevas configuraciones que resultan a menudo no pueden ser distinguidas de las originales no importa cómo diligente observador es. Por lo tanto, para los objetos suficientemente pequeños y simples la aserción matemática genérica de la simetría F (x) = x deja de ser aproximado, y en lugar de otro hace una descripción experimental exacta y exacta de la situación en el del mundo real.

Consecuencias de la simetría del quántum

Mientras que tiene sentido que las simetrías podrían llegar a ser exactas cuando estaban aplicadas a los objetos muy simples, la intuición inmediata es que tal detalle no debe afectar la física de tales objetos de ninguna manera significativa. Esto está en parte porque es muy difícil ver el concepto de la semejanza exacta como físicamente significativo. Nuestro cuadro mental de tales situaciones es invariable el mismo que utilizamos para los objetos grandes: Representamos los objetos o las configuraciones que están muy, muy similares, pero para cuáles si podríamos “mirar más cerca” nosotros todavía podrían decir la diferencia.

Sin embargo, la asunción que las simetrías exactas en objetos muy pequeños no deben diferenciar ningún en su física fue descubierta en los 1900s tempranos para ser espectacularmente incorrecta. La situación fue resumida sucinto cerca Richard Feynman en las transcripciones directas el suyo Conferencias de Feynman en la física, Volumen III, sección 3.4, Partículas idénticas. (Desafortunadamente, la cotización fue corregida fuera de la versión impresa de la misma conferencia.)

"... si hay una situación física en la cual es imposible decir qué manera sucedió, él siempre interfiere; él nunca falla. “

La palabra “interfiere“en este contexto está una manera rápida de decir que tales objetos caen bajo reglas de mecánicos del quántum, en más bién que se comportan ondas eso interfiere que como objetos grandes diarios.

En fin, cuando un objeto llega a ser tan simple que una aserción de la simetría de la forma F (x) = x se convierte una declaración exacta del sameness experimental comprobable, x deja de seguir las reglas de física clásica y debe en lugar de otro ser modelado usando más complejo-y a menudo lejos menos intuitivo-reglas de física del quántum.

Esta transición también proporciona una penetración importante en porqué las matemáticas de la simetría intertwined tan profundamente con las de los mecánicos del quántum. Cuando los sistemas físicos hacen la transición de las simetrías que son aproximadas a unas que sean exactos, las expresiones matemáticas de esas simetrías dejan de ser aproximaciones y se transforman en definiciones exactas de la naturaleza subyacente de los objetos. De ese punto encendido, la correlación de tales objetos a sus descripciones matemáticas se convierte así que cercano que es difícil separar los dos.

Simetría como principio de la unificación de la geometría

El geometer alemán Felix Klein declaró un muy influyente Programa de Erlangen en 1872, sugiriendo simetría como principio de unificación y de organización en geometría (en un momento en que ése era “geometries leídos”). Esto es un principio amplio más bien que profundo. Condujo inicialmente al interés en grupos unido a los geometries, y al lema geometría de la transformación (un aspecto del Nueva matemáticas, pero apenas polémico en práctica matemática moderna). Ahora se ha aplicado en formas numerosas, como clase de ataque estándar contra problemas.

Simetría en matemáticas

Artículo principal: Simetría en matemáticas

Un ejemplo de una expresión matemática que exhibe simetría es a²c + 3ab + b²c. Si a y b se intercambian, el sin cambios del restos de la expresión debido a commutativity de la adición y de la multiplicación.

Como en geometría, porque los términos hay dos posibilidades:

  • Es sí mismo simétrico
  • Tiene unos o más otros términos simétricos con él, de acuerdo con la clase de la simetría

Vea también función simétrica, dualidad (matemáticas)

Simetría en lógica

A relación de dos días R es simétrico si y solamente si, siempre que sea verdad que Rab, es verdad que Rba. Así, “es la misma edad que” es simétrico, porque si Paul es la misma edad que Maria, entonces Maria es la misma edad que Paul.

Binario simétrico conectadores lógicos sea “y" (∧, , o y), “o" (∨), "bicondicional" (iff) (↔), NAND (“no-y”), XOR (“no-bicondicional”), y NI (“not-or”).

Generalizaciones de la simetría

Si tenemos un sistema dado de objetos con un poco de estructura, entonces es posible que una simetría convierta simplemente solamente un objeto en otro, en vez de actuar sobre todos los objetos posibles simultáneamente. Esto requiere una generalización del concepto de grupo de la simetría a el de a groupoid. De hecho, A. Connes en su `del libroNon-commutative_geometry'escribe que Heisenberg descubrió a mecánicos del quántum considerando el groupoid de las transiciones del espectro del hidrógeno.

La noción del groupoid también conduce a las nociones de groupoids múltiples, a saber fija con muchas estructuras compatibles del groupoid, una estructura que los trivialises a los grupos abelian si uno restringe a los grupos. Esto conduce a las perspectivas de la “simetría de una orden más alta” que han sido haber explorado poco, como sigue.

Los automorphisms de un sistema, o un sistema con un poco de estructura, forman un grupo, que modela un 1 tipo homotopy. Los automorphisms de un grupo G forme naturalmente a módulo cruzado $G \ a Aut (G) $, y los módulos cruzados dan un modelo algebraico de 2 tipos homotopy. En la etapa siguiente, los automorphisms de un ajuste cruzado del módulo en una estructura conocida como cuadrado cruzado, y esta estructura están saben para dar un modelo algebraico de 3 tipos homotopy. No se sabe cómo este procedimiento de generalizar simetría puede ser continuado, aunque está cruzado n- los cubos se han definido y se han utilizado en topología algebraica, y estas estructuras se están trayendo solamente lentamente en la física teórica. El Web site café de la n-categoría tiene mucha discusión de n- grupos. Más información está encendido Una “teoría dimensional más alta del grupo”.


Los físicos han subido con otras direcciones de la generalización, por ejemplo supersymmetry y grupos del quántum.

Simetría en biología

Vea simetría (biología) y simetría facial.

Simetría en química

Artículo principal: simetría molecular

La simetría es importante para química porque explica observaciones adentro espectroscopia, química del quántum y cristalografía. Dibuja pesadamente encendido teoría del grupo.

Simetría en historia, la religión, y la cultura

En cualquier esfuerzo humano para el cual un resultado visual impresionante sea parte del objetivo deseado, juego de las simetrías un papel profundo. La súplica natural de la simetría se puede encontrar en nuestras reacciones al suceso a través de objetos naturales altamente simétricos, tales como cristales exacto formados o seashells maravillosamente torcidos en espiral. Nuestra primera reacción en encontrar tal objeto es a menudo preguntarse si hemos encontrado un objeto creado por un ser humano del compañero, seguido rápidamente por sorpresa que las simetrías que cogieron hacia fuera la atención están derivadas de la naturaleza sí mismo. En ambas reacciones damos lejos nuestra inclinación de ver simetrías como hermosas y, en una cierta manera, informativas del mundo alrededor de nosotros.

Simetría en símbolos religiosos

La tendencia de la gente a considerar propósito en simetría sugiere por lo menos una razón por la que las simetrías son a menudo una parte integral de los símbolos de las religiones del mundo. Apenas algunos de muchos ejemplos incluyen el sixfold simetría rotatoria de Judaísmo Estrella de David, el doble simetría del punto de Taoism Taijitu o Yin-Yang, simetría bilateral de Cristianismo cruz y Sikhism Khanda, o la simetría cuádruple del punto de Jain (y previsto pacífico) versión antigua del swastika. Con sus prohibiciones fuertes contra el uso de las imágenes del representational, Islam, y particularmente Sunni el rama del Islam, ha desarrollado algo del uso más intrincado y visualmente más impresionante de las simetrías para las aplicaciones decorativas de cualquier religión importante.

El antiguo Taijitu imagen de Taoism está un uso particularmente fascinador de la simetría alrededor de un punto central, combinado con la inversión blanca y negro del color en las distancias opuestas de ese punto central. La imagen, que se entiende mal a menudo en Mundo occidental como representación buena (blanco) contra el mal (negro), se piensa realmente como representante gráfico de la necesidad complementaria de dos conceptos abstractos del “maleness” (blanco) y del “femaleness” (negro). La simetría del símbolo en este caso se utiliza no apenas para crear un símbolo que coja la atención del ojo, pero para hacer una declaración significativa sobre la creencia filosófica de la gente y de los grupos que la utilizan. También un símbolo religioso simétrico importante es el Shintoist “Torii” “la puerta de los pájaros”, generalmente la puerta de los templos de Shintoist llamados “Jinjas”.

Simetría en interacciones sociales

La gente observa la naturaleza simétrica, a menudo incluyendo equilibrio asimétrico, de interacciones sociales en una variedad de contextos. Éstos incluyen gravámenes de la reciprocidad, empathy, de la apología, del diálogo, del respecto, de la justicia, y de la venganza. Las interacciones simétricas envían el mensaje “que somos todos los iguales” mientras que las interacciones asimétricas envían el mensaje “soy especial; mejore que usted ". Las relaciones del par se basan en la simetría, relaciones de la energía se basan en asimetría. [6]

Simetría en arquitectura

Otro esfuerzo humano en el cual el resultado de la representación visual hace una parte vital en el resultado total es arquitectura. Ambas en épocas antiguas, la capacidad de una estructura grande de impresionar o aún de intimidar sus espectadores han sido a menudo una parte importante de su propósito, y el uso de la simetría es un aspecto ineludible de cómo lograr tales metas.

Apenas algunos ejemplos de ejemplos antiguos de las arquitecturas que hicieron el uso de gran alcance de simetría de impresionar ésos alrededor de ellas incluyeron Egipcio Pirámides, Griego Parthenon, y el primer y segundo Templo de Jerusalén, China Ciudad prohibida, Camboya Angkor Wat complejo, y los muchos templos y pirámides de antiguo Pre-Colombino civilizaciones. Ejemplos históricos más recientes de las arquitecturas que acentúan simetrías incluyen Arquitectura gótica catedrales, y Americano Presidente Thomas Jefferson Monticello casero. La India sin par Taj Mahal está en una categoría por sí mismo, pues puede discutible ser una de las aplicaciones más impresionantes y más hermosas de la simetría en la arquitectura que el mundo ha visto siempre.

Un ejemplo interesante de a simetría quebrada en arquitectura es Torre que se inclina de Pisa, que notoriedad proviene en ninguna pieza pequeña no para la simetría prevista de su diseño, pero para la violación de esa simetría de la inclinación que se convirtió mientras que todavía estaba bajo construcción. Ejemplos modernos de las arquitecturas que hacen uso impresionante o complejo de varias simetrías para incluir Australia asombroso Casa de ópera de Sydney y Houston, Tejas más simple Astródomo.

La simetría encuentra sus maneras en arquitectura en cada escala, de las visiónes externas totales, a través de la disposición del individuo planes de piso, y abajo al diseño de los elementos individuales del edificio tales como puertas intrincado excavadas, ventanas de cristal manchadas, mosaicos del azulejo, friezes, stairwells, carriles de la escalera, y balustradess. Para la complejidad y la sofisticación escarpadas en la explotación de la simetría como elemento arquitectónico, Islámico los edificios tales como el Taj Mahal eclipsan a menudo los de otras culturas y edades, debido en parte a la prohibición general del Islam contra usar imágenes o gente o los animales.

Los acoplamientos relacionados con la simetría en arquitectura incluyen:

Simetría en recipientes de la cerámica y del metal

Puesto que las aplicaciones más tempranas de ruedas de la cerámica para ayudar a los recipientes de la arcilla de la forma, la cerámica ha tenido una relación fuerte a la simetría. Como mínimo, la cerámica creada usando una rueda comienza necesariamente con simetría rotatoria completa en su sección representativa, mientras que permite la libertad substancial de la forma en la dirección vertical. Sobre este punto de partida intrínsecamente simétrico las culturas a partir de épocas antiguas han tendido para agregar otros patrones que tienden para explotar o en muchos casos para reducir la simetría rotatoria completa original a un punto donde se alcanza un cierto objetivo visual específico. Por ejemplo, Persa cerámica que fecha a partir del cuarto milenio B.C. y zigzages, cuadrados, cruz-hatchings, y repeticiones simétricos anterior usados de las figuras para producir diseños totales más complejos y visualmente de pulsos.

Los recipientes del metal del molde carecieron la simetría rotatoria inherente de la cerámica rueda-hecha, pero proporcionaron de otra manera una oportunidad similar de adornar sus superficies con los patrones que satisfacían a los que los utilizaron. El antiguo Chino, por ejemplo, patrones simétricos usados en sus bastidores de bronce desde el 17mo siglo B.C. Los recipientes de bronce exhibieron un adorno principal bilateral y un diseño traducido repetidor de la frontera.

Acoplamientos:

Simetría en edredones

Como edredones se hacen pedazos cuadrados de los bloques (generalmente 9, 16, o de 25 a un bloque) con cada pedazo más pequeño que consiste en generalmente triángulos de la tela, el arte se presta fácilmente al uso de la simetría.

Acoplamientos:

Simetría en alfombras y mantas

Una tradición larga del uso de la simetría adentro alfombra y manta los patrones atraviesan una variedad de culturas. Americano Navajo Los indios utilizaron diagonales en negrilla y adornos rectangulares. Muchos Mantas orientales tenga los centros y fronteras reflejados intrincados que traducen un patrón. No asombrosamente, la simetría- that cuadrilátera del uso rectangular de las mantas está típicamente, adornos eso se refleja a través de las hachas horizontales y verticales.

Acoplamientos:

Simetría en música

La simetría por supuesto no se restringe a los artes visuales. Su papel en la historia de música toca muchos aspectos de la creación y de la opinión de la música.

Forma musical

La simetría se ha utilizado como a formal constreñimiento de muchos compositores, tales como forma del arco (ABCBA) utilizado cerca Reich de Steve, Béla Bartók, y James Tenney (o inflamación). En música clásica, Bach utilizó los conceptos de la simetría de la permutación y de la invariación; vea (No. de la fuga del acoplamiento externo “. 21," pdf o Onda de choque).

Estructuras de la echada

La simetría es también una consideración importante en la formación de escalas y acordes, tradicional o tonal música que es compuesta de grupos dismétricos de echadas, por ejemplo escala diatonic o acorde importante. Escalas o acordes simétricos, tales como escala entera del tono, acorde aumentado, o disminuido séptimo acorde (séptimo disminuir-disminuido), se dicen carecer la dirección o un sentido del movimiento delantero, es ambiguo en cuanto a llave o el centro del tonal, y tiene un menos específico funcionalidad diatonic. Sin embargo, compositores por ejemplo Alban Berg, Béla Bartók, y George Perle han utilizado las hachas de la simetría y/o ciclos del intervalo de una manera análoga a llaves o notonal tonal centros.

Perle (1992) explica el “C-E, D-F#, [y] Eb-G, es diversos casos igual intervalo… la otra clase de identidad. . .has to hacen con las hachas de la simetría. El C-E pertenece a una familia de dyads simétricamente relacionados como sigue: “

D D# E F F# G G#
D C# C B A# A G#

Así además de ser parte de la familia interval-4, C-E está también una parte de la familia sum-4 (con C igual a 0).

+ 2 3 4 5 6 7 8
2 1 0 11 10 9 8
4 4 4 4 4 4 4

Los ciclos del intervalo son simétricos y así no-diatonic. Sin embargo, un segmento de siete echadas de C5 (el ciclo de los fifths, que son enharmonic con el ciclo de cuartos) producirá la escala principal diatonic. Tonal cíclico progresiones en los trabajos de Romántico compositores por ejemplo Gustav Mahler y Richard Wagner forme un acoplamiento con las sucesiones cíclicas de la echada en la música atonal de Modernists tales como Bartók, Alexander Scriabin, Edgard Varèse, y la escuela de Viena. Al mismo tiempo, estas progresiones señalan el final de la tonalidad.

La primera composición extendida basada constantemente en relaciones simétricas de la echada era probablemente Alban Berg Cuarteto, De Op. Sys. 3 (1910). (Perle, 1990)

Equivalencia

Filas del tono o clase de la echada sistemas cuáles son invariante debajo retrógrado sea horizontalmente simétrico, debajo inversión verticalmente. Vea también Ritmo asimétrico.

Simetría en otros artes y artes

El concepto de la simetría se aplica al diseño de los objetos de todas las formas y tamaños. Otros ejemplos incluyen beadwork, muebles, pinturas de la arena, knotwork, máscaras, instrumentos musicales, y mucho otro se esfuerza.

Simetría en la estética

Artículo principal: Simetría (atracción física)

La relación de la simetría a estética es complejo. Ciertas simetrías simples, y particularmente simetría bilateral, parézcase ser profundamente inculcado en la opinión inherente de los seres humanos de la salud o de la aptitud probable de otras criaturas vivas, como se puede ver por el experimento simple de torcer un lado de la imagen de una cara atractiva y de pedir que los espectadores clasifiquen la atracción de la imagen el resultar. Por lo tanto, tales simetrías que la biología mímica tiende para tener una súplica natural que alternadamente conduzca una tendencia de gran alcance a crear los artefactos con simetría similar. Uno necesita solamente imaginar la dificultad en intentar poner un altamente asimétrico coche o carro a los compradores automotores generales para entender la energía de simetrías biológico inspiradas tales como simetría bilateral.

Otra súplica más sutil de la simetría es la de la simplicidad, que alternadamente tiene una implicación de la seguridad, de la seguridad, y de la familiaridad. Un cuarto altamente simétrico, por ejemplo, es inevitable también un cuarto en el cual cualquier cosa fuera de lugar o potencialmente el amenazar se puede identificar fácilmente y rápidamente. Por ejemplo, la gente que ha crecido para arriba en casas por completo de angulos rectos exactos y de artefactos exacto idénticos puede encontrar su primera experiencia en permanecer en un cuarto con no angulos rectos exactos y no artefactos exactamente idénticos a ser altamente inquietantes. La simetría así puede ser una fuente de la comodidad no sólo como indicador de la salud biológica, pero también de una caja fuerte y de un ambiente vivo bien-entendido.

Se opone a esto la tendencia para que la simetría excesiva sea percibida como agujereando o sin interés. Los seres humanos particularmente tienen un deseo de gran alcance de explotar nuevas oportunidades o de explorar nuevas posibilidades, y un grado excesivo de la simetría puede transportar una carencia de tales oportunidades.

Otra posibilidad es que cuando las simetrías se convierten en también complejo o demasiado desafiadoras, la mente humana tiene una tendencia “a templarlos hacia fuera” y a percibirlos en otra manera: como ruido eso no transporta ninguna información útil.

Finalmente, las opiniones y el aprecio de simetrías son también dependiente en fondo cultural. El uso lejos mayor de simetrías geométricas complejas en muchos Islámico las culturas, por ejemplo, lo hacen más probablemente que la gente de tales culturas apreciará tales formas de arte (o, inversamente, rebelar contra ellas).

Como en muchos esfuerzos humanos, el resultado de la confluencia de muchos tales factores está que el uso eficaz de la simetría en arte y arquitectura sea complejo, intuitivo, y altamente dependiente en las habilidades de los individuos que deben tejer y combinan tales factores dentro de su propio trabajo creativo. Junto con textura, color, la proporción, y otros factores, la simetría es un ingrediente de gran alcance en cualquier síntesis; una solamente necesidad de examinar Taj Mahal al papel de gran alcance esa simetría juega en la determinación de la súplica estética de un objeto.

Algunos ejemplos del uso más explícito de simetrías en arte se pueden encontrar en el arte notable de M. C. Escher, el diseño creativo del concepto matemático de a grupo del papel pintado, y los muchos usos (matemático y del mundo real) de embaldosado.

Simetría en juegos y rompecabezas

Juegos de tablero

Simetría en literatura

Vea palindrome.

Simetría moral

Vea también

Referencias

Notas

  1. ^ (Wey 1989)
  2. ^ Por ejemplo, Aristotle forma esférica atribuida a los cuerpos divinos, atribuyendo esta medida geométrica formal-definida de la simetría a la pedido y a la perfección naturales del cosmos.
  3. ^ Por ejemplo, operaciones tales como mudanza a través de un piso de azulejo regularmente modelado o de un que rota ocho-echado a un lado florero, o las transformaciones complejas de ecuaciones o en la música de la manera se juegan.
  4. ^ Vea e.g., Mainzer, Klaus (2005). Simetría y complejidad: El alcohol y la belleza de la ciencia no lineal. Mundo científico. ISBN 9812561927. 
  5. ^ Los objetos simétricos pueden ser materiales, por ejemplo una persona, cristal, edredón, azulejos del piso, o molécula, o puede ser extracto estructura tal como a ecuación matemática o una serie de tonos (música).
  6. ^ Capacidad emocional Entrada que describe simetría

Acoplamientos externos

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