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Teorema de Sylvester-Gallai

El “teorema de Sylvester en geometría plana” vuelve a dirigir aquí. Para la teoría del teorema de Sylvester en gran número, vea Postulado de Bertrand.
El “teorema de Sylvester” vuelve a dirigir aquí. Para el teorema de Sylvester sobre matrices, vea Fórmula de Sylvester.

Teorema de Sylvester-Gallai afirma que a dada finito número de puntos en plano, cualquiera

  1. Todos los puntos son collinear; o
  2. Hay una línea que contiene exactamente dos de los puntos.

Este teorema fue planteado como problema cerca James José Sylvester (1893), presentado otra vez independientemente cerca Paul Erdős (1943), y solucionado cerca Tibor Gallai en 1944[1], aunque una prueba de una declaración equivalente había sido dada ya por Melchior (1940). El teorema de Sylvester-Gallai no se aplica a los sistemas de infinitamente muchos puntos: considere por ejemplo enrejado de los puntos del número entero. Una línea que contiene exactamente dos de un sistema de puntos se conoce como línea ordinaria; un algoritmo de Mukhopadhyay y otros (1997) se puede utilizar para encontrar una línea ordinaria en un sistema de n puntos a tiempo O (n registro n).

Contenido

Dualidad descriptiva

La cuestión de la existencia de una línea ordinaria se puede también plantear para los puntos en el verdadero plano descriptivo en vez de Plano euclidiano. Esto no proporciona ninguna generalidad adicional, pues el sistema finito de puntos descriptivos se puede transformar en un sistema euclidiano del punto que preserva todas las líneas ordinarias, pero el punto de vista descriptivo permite que ciertas configuraciones sean descritas más fácilmente; por ejemplo, la configuración de McKee, descrita más abajo, se ve lo más naturalmente posible en geometría descriptiva.

Por dualidad descriptiva, la existencia de una línea ordinaria en un sistema de puntos no-collinear en el plano descriptivo es equivalente a la existencia del punto ordinario en un sistema de las líneas que todas no pasan a través de un punto común, donde definimos un punto ordinario para ser el punto de la intersección de exactamente dos líneas. Melchior (1940), antes de la prueba de Gallai, demostró que el sistema finito de líneas en el plano descriptivo tiene por lo menos tres puntos ordinarios, usando Característica de Euler para demostrar que cualquier arreglo de líneas tiene por lo menos tres cimas del grado cuatro.

Prueba del teorema de Sylvester-Gallai

Para una descripción de la prueba original de Gallai vea e.g. Borwein y Moser (1990). La prueba abajo es en lugar de otro debido al Kelly.

Suponga para la contradicción que tenemos un sistema finito de puntos no no todo collinear. Llámelo S. Defina una línea que conecta para ser una línea que contiene por lo menos dos puntos en la colección. Dejado (P, l) sea el punto y la línea que conecta que son la distancia positiva más pequeña aparte entre toda la punto-línea pares.

La línea l pasa a través por lo menos de tres puntos del S. Caiga un perpendicular de P a l; debe haber 2 puntos en el mismo lado del perpendicular (uno pudo estar exactamente en la intersección del perpendicular con l). Llame el punto más cercano al B perpendicular, y el punto más lejano C. Dibuje la línea m que conecta P a la C. ¡Entonces la distancia de B a m es más pequeña que la distancia de P a l! Una forma para considerar esto es notar que el triángulo derecho con hipotenusa es A.C. similar y contenido en el triángulo derecho con la PC de la hipotenusa.

Así no puede haber una distancia positiva más pequeña entre la punto-línea pares -- cada punto debe ser la distancia 0 de cada línea, o es decir cada punto debe mentir en la misma línea.

Prueba de Coxeter del teorema de Sylvester-Gallai en geometría pedida

Coxeter dio una prueba del teorema de Sylvester-Gallai dentro geometría pedida[2].

Generalizaciones del teorema de Sylvester-Gallai

Mientras que el teorema de Sylvester-Gallai nos dice que allí deba existir por lo menos una línea que contiene exactamente dos puntos, un arreglo con exactamente una línea que contenía exactamente dos puntos todavía no se ha encontrado. Esto condujo a Dirac (1951) a conjeturar eso para cualquier colección de n los puntos, no no todo collinear, allí existen por lo menos n⁄2 líneas que contienen exactamente dos puntos.

En fecha 2006, solamente dos contraejemplos a la conjetura de Dirac se saben. Uno, por Kelly y Moser (1958), consiste en las cimas, los puntos medianos, y el centro de figura de un triángulo equilátero; estos siete puntos determinan solamente tres líneas ordinarias. configuración en cuál son substituidas estas tres líneas ordinarias por una sola línea no se puede observar en el plano euclidiano, sino formas un finito geometría descriptiva conocido como Plano de Fano. El otro contraejemplo, debido a McKee (Crowe y McKee 1968), consiste en regulares el borde-a-borde unido dos pentágonos junto con el punto mediano del borde compartido y de cuatro puntos en la línea en el infinito en plano descriptivo; estos 13 puntos tienen entre ellos 6 líneas ordinarias. La configuración de McKee puede ser torcida de modo que todos sus puntos mientan dentro del plano euclidiano generalmente.

Una versión más débil de la conjetura de Dirac, probada por Csima y Sawyer en 1993, indica que cualquiera fija de n las líneas en el plano descriptivo tienen por lo menos puntos ordinarios. Un resultado de cerca relacionado es Teorema de la cuba de tintura, indicando una compensación entre el número de líneas con pocos puntos y el número de puntos en una sola línea.

Notas

  1. ^ La prueba de Gallai primero fue publicada como parte de una colección de pruebas por varios otros autores (Steinberg y otros 1944). Sin embargo, tiene prioridad, pues los redactores de la solución observan que fue sometida junto con la declaración de Erdős del problema.
  2. ^ Coxeter, H. S. M. (1969). Introducción a la geometría. Nueva York: Juan Wiley y hijos, P. 181-182. ISBN 0471504580. 

Referencias

  • Borwein, P.; Moser, W. O. J. (1990). “Un examen del problema y de sus generalizaciones de Sylvester”. Aequationes Mathematicae 40 (1): 111–135. doi:10.1007/BF02112289. 
  • Csima, J.; Sawyer, E. (1993). “Existen 6npuntos ordinarios de /13 ". Geometría discreta y de cómputo 9: 187–202. doi:10.1007/BF02189318. 
  • Kelly, L. M.; Moser, W. O. J. (1958). “En el número de las líneas ordinarias determinadas cerca n puntos ". Canad. J. Matemáticas. 10: 210–219. 
  • Melchior, E. (1940). El “der de Über Vielseite projektiven Ebene”. Matemáticas de Deutsche. 5: 461–475. 
  • Mukhopadhyay, A.; Agrawal, A.; Hosabettu, R. M. (1997). “En la línea ordinaria problema en geometría de cómputo”. Diario nórdico de computar 4 (4): 330–341. 
  • Sylvester, J. J. (1893). “Pregunta matemática 11851”. Épocas educativas 59: 98. 

Acoplamientos externos

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