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Trigonometría esférica

Trigonometría esférica es una parte de geometría esférica ese trata de polígonos (especialmente triángulos) en esfera y explica cómo encontrar relaciones entre el implicado ángulos. Esto es de gran importancia para los cálculos adentro astronomía y tierra-superficie y orbitario y espacio navegación.

Al-Jayyani (989-1079), Matemático árabe en España islámica, escribió el primer tratado en la trigonometría esférica, circa 1060, dado derecho El libro de arcos desconocidos de una esfera, para que “contiene los fórmulas triángulos derechos, el general ley de senos, y la solución de un triángulo esférico por medio del polar triángulo. “Este tratado tenía más adelante “una influencia fuerte en matemáticas europeas”, y su “definición de cocientes como números " y “método de solucionar un triángulo esférico cuando todos los lados son desconocidos” sea probable haber influenciado Regiomontanus.^[1]

Líneas en una esfera

En la superficie de una esfera, el análogo más cercano a derecho líneas sea grandes círculos, es decir. círculos que centro coincide con el centro de la esfera. Por ejemplo, meridianos y ecuador son los grandes círculos en Tierra, mientras que las líneas no-ecuatoriales de la latitud no son grandes círculos. Como con una línea segmento en a plano, arco de un gran círculo (subtending menos que 180°) en una esfera está el Shortest-Path que miente en la esfera entre sus dos puntos finales. Los grandes círculos son casos especiales del concepto de a geodésico.

Un área en la esfera de la cual es limitado por los arcos grandes círculos se llama a esférico polígono. Observe que, desemejante del caso en un plano, esférico “biangles“(análogos con dos aspectos al triángulo) sea posible (por ejemplo una rebanada cortada de una naranja). Tal polígono también se llama a lune.

lados de estos polígonos son especificados lo más convenientemente posible no por su longitud sino por el ángulo bajo el cual sus puntos finales aparecen cuando están miradas del centro de la esfera. Observe que esto ángulo del arco, medido adentro radianes, cuando es multiplicado por la esfera radio iguala la longitud del arco.

Por lo tanto, a triángulo esférico es especificado como de costumbre por sus ángulos de la esquina y sus lados, pero los lados son dados no por su longitud, sino por su ángulo del arco.

La suma de los ángulos de la cima de un triángulo esférico es siempre más grande que el 180° encontrado en cada triángulo planar. La cantidad por la cual la suma de los ángulos excede 180° se llama exceso esférico E: − 180° de E = del α + del β + del γ (donde el α, el β y el γ refiere al ángulo de cada esquina). Por Teorema de Girard, este exceso determina el área superficial de cualquier triángulo esférico. Para determinar esto, el exceso esférico se debe expresar en radianes; el área superficial A entonces es dada en términos de radio R de la esfera por la expresión:

A = R² · E.

De este fórmula, que es un uso del Teorema del Gauss-Capo, sigue que no hay triángulos similares (triángulos con ángulos iguales pero diversas longitudes y área laterales) en una esfera. En el caso especial de una esfera del radio 1, el área iguala simplemente exceso del ángulo: A = E.

Para solucionar un problema geométrico en la esfera, uno diseca la figura relevante en triángulos esféricos derechos (es decir: uno de los ángulos de la esquina del triángulo es 90°) porque uno puede entonces utilizar el pentágono de Napier:

Napierel 'pentágono de s (también conocido como círculo de Napier) es a ayuda mnemónica ese ayuda a encontrar todas las relaciones entre los ángulos en un triángulo esférico derecho.

Escriba los seis ángulos del triángulo (tres ángulos de la cima, tres ángulos del arco) bajo la forma de círculo, pegándose a la orden como aparecen en el triángulo (es decir: comience con un ángulo de la esquina, escriba el ángulo del arco de un lado unido al lado de él, proceda con el ángulo, el etc. de la esquina siguientes. y cercano el círculo). Entonces cruce hacia fuera el ángulo de la esquina 90° y substituya los ángulos del arco adyacente a él por su complemento de 90° (es decir. substituya, por ejemplo, a por el − 90° a). Los cinco números que usted ahora tiene en el pentágono de su Napier de papel de la forma (o el círculo de Napier). Para ellos, sostiene que coseno de cada ángulo es igual a:

• el producto del cotangentes de los ángulos escritos al lado de él
• el producto del senos de los dos ángulos escritos opuestos a él

Vea también Fórmula de Haversine, que relaciona las longitudes de lados y de ángulos en triángulos esféricos en una forma numéricamente estable para la navegación.

Identidades

Los triángulos esféricos satisfacen a ley esférica de cosenos

La identidad puede ser derivada considerando los triángulos formados por líneas de la tangente al ángulo subtending del triángulo esférico C y usando la ley plana de cosenos. Por otra parte, reduce a la ley plana en el límite pequeño del ángulo.

También satisfacen un análogo del ley de senos

Una lista más cuidadosa de identidades está disponible aquí

Vea también

• Navegación de aire
• Geometría esférica
• Distancia esférica
• Poliedro esférico
• Navegación celestial
• SIGI

Referencias

Acoplamientos externos

• Mathworld del volframio: Trigonometría esférica una lista más cuidadosa de identidades, con una cierta derivación
• Mathworld del volframio: Triángulo esférico applet agradable
• Introducción al Trig esférico. Incluye la discusión del círculo de Napier y de las reglas de Napier
• Trigonometría esférica - para el uso de universidades y de escuelas por el I. Todhunter, M.A., F.R.S. Monografía histórica de la matemáticas fijada cerca Biblioteca de la universidad de Cornell.
• Triángulos esféricos
• Teorema del od un Girard visual de la prueba por Arik aceptable, El proyecto de demostraciones del volframio.