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Sistema coordinado esférico

En matemáticas, sistema coordinado esférico es a sistema coordinado para representar figuras geométricas en tres dimensiones usando tres coordenadas: la distancia radial de un punto de un origen fijo, cenit pesque con caña del z-eje positivo al punto, y acimut ángulo del x-axis positivo del proyección orthogonal del punto en el plano x-y.

Contenido 1 Notación 2 Definición 3 Conversiones del sistema coordinado 3.1 Sistema coordinado cartesiano 3.2 Sistema coordinado geográfico 3.3 Sistema coordinado cilíndrico 4 Usos 5 Cinemática 6 Notas 7 Vea también 8 Bibliografía 9 Acoplamientos externos

Notación

Varias diversas convenciones existen para representar los tres coordenadas. De acuerdo con la organización internacional para la estandardización (ISO 31-11), en la física que son notated típicamente como (r, θ, φ) para la distancia radial, el cenit, y el acimut, respectivamente.

En matemáticas (del americano), la notación para el cenit y el acimut se invierten como φ se utiliza denotar el ángulo del cenit y θ se utiliza denotar el ángulo azimuthal. Otra complicación es que algunos textos de las matemáticas enumeran el acimut antes del cenit, pero esta convención es zurdo y debe ser evitado. La convención matemática tiene la ventaja de ser la más compatible en el significado de θ con la notación tradicional para el de dos dimensiones sistema coordinado polar y el tridimensional sistema coordinado cilíndrico, mientras que la convención de la “física” tiene aceptación más amplia geográficamente. Algunos usuarios de la convención de la “física” también utilizan φ para los coordenadas polares para evitar el primer problema (al igual que la ISO estándar para coordenadas cilíndricos). Otras aplicaciones de la notación ρ para la distancia radial.^[1] La convención de la notación del autor de cualquier trabajo referente a coordenadas esféricos debe ser comprobada siempre antes de usar los fórmulas y las ecuaciones de ese autor. Este artículo utiliza a convención estándar de la física.

Definición

Los tres coordenadas (r, θ, φ) se definen como:

• r el ≥ 0 es la distancia del origen a un punto dado P.
• 0 ≤ θ el π del ≤ es el ángulo entre el z-eje positivo y la línea formados entre el origen y P.
• 0 ≤ φ < 2π es el ángulo entre el x-axis positivo y la línea del origen del P proyectado sobre el xy-plano.

φ se refiere como el acimut, mientras que θ se refiere como el cenit, el colatitude o el ángulo polar.

θ y φ pierda la significación cuando r = 0 y φ pierde la significación cuando el pecado (θ) = 0 (en θ = 0 y θ = π).

A trazar un punto de sus coordenadas esféricos, vaya r las unidades del origen a lo largo del z-eje positivo, rotan θ sobre el y-axis en la dirección del x-axis positivo y rote φ sobre el z-eje en la dirección del y-axis positivo.

Conversiones del sistema coordinado

Pues el sistema coordinado esférico es solamente uno de muchos sistemas coordinados tridimensionales, existen las ecuaciones para los coordenadas que convierten entre el sistema coordinado esférico y otros.

Sistema coordinado cartesiano

Información adicional: Sistema coordinado cartesiano

Los tres coordenadas esféricos se obtienen de Coordenadas cartesianos por:

Observe que el arctangent se debe definir convenientemente para tomar cuenta del cuadrante correcto de y / x. atan2 o la función equivalente logra esto para los propósitos de cómputo.

Inversamente, los coordenadas cartesianos se pueden recuperar de coordenadas esféricos cerca:

Sistema coordinado geográfico

Información adicional: Sistema coordinado geográfico

El sistema coordinado geográfico es una versión alterna del sistema coordinado esférico, usada sobre todo adentro geografía sin embargo también en matemáticas y física usos. En la geografía, ρ se cae o se substituye generalmente por un valor que representa la elevación o la altitud.

Latitud es el complemento del cenit o del colatitude, y se puede convertir cerca:

, o

,

aunque la latitud se representa típicamente cerca θ también. Esto representa un ángulo del cenit que origina del xy-plano con un ≤ del dominio -90° θ ≤ 90°. La longitud se mide los grados este u oeste de 0°, así que su dominio es ≤ de -180° φ ≤ 180°.

Sistema coordinado cilíndrico

Información adicional: Sistema coordinado cilíndrico

El sistema coordinado cilíndrico es una protuberancia tridimensional del sistema coordinado polar, con z coordine para describir la altura de un punto sobre o debajo del xy-plano. El tuple coordinado completo es (ρ, el φ, z).

Los coordenadas cilíndricos se pueden convertir en coordenadas esféricos cerca:

Los coordenadas esféricos se pueden convertir en coordenadas cilíndricos cerca:

Usos

sistema coordinado geográfico aplica los dos ángulos del sistema coordinado esférico a las localizaciones expresas en la tierra, llamándolas latitud y longitud. Apenas como el de dos dimensiones Sistema coordinado cartesiano es útil en el plano, un sistema coordinado esférico de dos dimensiones es útil en la superficie de una esfera. En este sistema, la esfera se toma como esfera de la unidad, así que el radio es unidad y puede ser no hecho caso generalmente. Esta simplificación puede también ser muy útil al ocuparse de los objetos por ejemplo matrices rotatorias.

Los coordenadas esféricos son útiles en analizar los sistemas que son simétricos alrededor de un punto; una esfera que tiene la ecuación cartesiano x² + y² + z² = c² tiene la ecuación muy simple r = c en coordenadas esféricos. Un ejemplo consiste en solucionar a integral triple con una esfera como su dominio.

El elemento superficial para una superficie esférica es

El elemento del volumen es

Los coordenadas esféricos son los coordenadas naturales para describir y analizar situaciones físicas donde hay simetría esférica, tal como el campo potencial de la energía que rodea una esfera (o el punto) con la masa o la carga. Dos importantes ecuaciones diferenciales parciales, Ecuación de Laplace y Ecuación de Helmholtz, permita a separación de variables en coordenadas esféricos. Las porciones angulares de las soluciones a tales ecuaciones toman la forma de armónicos esféricos.

Está diseño otro uso ergonómico, donde r es la longitud del brazo de una persona inmóvil y los ángulos describen la dirección del brazo mientras que alcanza hacia fuera.

El concepto de coordenadas esféricos se puede ampliar a espacios dimensionales más altos y después se refiere como coordenadas hiperesféricos.

Cinemática

En coordenadas esféricos la posición de un punto se escribe,

su velocidad entonces está,

y su aceleración es,

Notas

Vea también

• Campos del vector en coordenadas cilíndricos y esféricos
• Del en coordenadas cilíndricos y esféricos
• Lista de transformaciones coordinadas canónicas
• Esfera
• Hypersphere
• Coordenadas Orthogonal
• Sistemas coordinados orthogonal de dos dimensiones

• Sistemas coordinados orthogonal tridimensionales

Bibliografía

• Morse P.M., Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, parte I. Nueva York: McGraw-Colina, P. 658. ISBN 0-07-043316-X, LCCN 52-11515. 

• Margenau H, Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y de la química. Nueva York: D. van Nostrand, pp. 177–178. LCCN 55-10911. 

• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para los científicos y los ingenieros. Nueva York: McGraw-Colina, pp. 174–175. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7. 

• Sauer R, Szabó I (1967). DES Ingenieurs de Mathematische Hilfsmittel. Nueva York: Springer Verlag, pp. 95–96. LCCN 67-25285. 

• Luna P, Spencer DE (1988). “Coordenadas esféricos (r, θ, ψ)”, Manual de la teoría del campo, incluyendo sistemas coordinados, ecuaciones diferenciales, y sus soluciones, 2do ed corregido., 3ro impresión ed., Nueva York: Springer-Verlag, pp. 24-27 (tabla 1.05). ISBN 978-0387184302. 

Acoplamientos externos

Descripción de MathWorld de coordenadas esféricos