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Esfera

Para otras aplicaciones, vea Esfera (desambiguación).
“Globoso” vuelve a dirigir aquí. Vea también Núcleo globoso.

A esfera (de Griego σφαίρα - sphaira, “globo, bola,”[1]) es a simétrico geométrico objeto. En uso no matemático, el término se utiliza para referir cualquiera a un redondo bola o a su de dos dimensiones superficie. En matemáticas, una esfera es el sistema de todos los puntos adentro tridimensional espacio (R3) cuáles están en la distancia r de un punto fijo de ese espacio, donde r es un positivo número verdadero llamó radio de la esfera. Así, en tres dimensiones, una esfera matemática se considera ser una esférica de dos dimensiones superficie encajado en espacio tridimensional, más bien que el volumen contenido dentro de él (que los matemáticos en lugar de otro describirían como a bola). El punto fijo se llama centro o centro, y no es la parte de la esfera sí mismo. El caso especial de r = 1 se llama a esfera de la unidad.

Este artículo se ocupa del concepto matemático de una esfera. En física, una esfera es un objeto (idealizado generalmente por simplicidad) capaz de chocar o de apilar con otros objetos que ocupen el espacio.

Contenido

Ecuaciones adentro R3

En geometría analítica, una esfera con el centro (x0, y0, z0) y radio r es lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) tales que

Los puntos en la esfera con el radio r puede ser parametrized vía

(véase también funciones trigonométricas y coordenadas esféricos).

Una esfera de cualquier radio se centró en el origen es descrita por el siguiente ecuación diferencial:

Esta ecuación refleja el hecho de que los vectores de la posición y de la velocidad de un punto que viaja en la esfera están siempre orthogonal el uno al otro.

área superficial de una esfera del radio r es

tan radio de área superficial es

Su volumen es

el radio del volumen está tan

La esfera tiene el área superficial más pequeña entre todas las superficies que incluyen un volumen dado e incluye el volumen más grande entre todas las superficies cerradas con un área superficial dada. Por esta razón, la esfera aparece en naturaleza: por ejemplo las burbujas y las gotas pequeñas del agua son áspero esféricas, porque tensión de superficie localmente reduce al mínimo el área superficial. El área superficial en lo referente a la masa de una esfera se llama área superficial específica. De las ecuaciones arriba indicadas puede ser expresado como sigue:

Circunscrito cilindro para una esfera dada tiene un volumen que sea 3/2 por el volumen de la esfera, y también la porción curvada tiene un área superficial que sea igual al área superficial de la esfera. Este hecho, junto con los fórmulas del volumen y de la superficie dados arriba, era sabido ya a Archimedes.

Una esfera puede también ser definida mientras que la superficie formó por a que rotaba círculo sobre cualesquiera diámetro. Si el círculo es substituido por elipse, y rotado sobre el eje principal, la forma se convierte en una prolate esferoide, rotado sobre el eje de menor importancia, un esferoide oblate.

Terminología

Los pares de los puntos en una esfera que mienten en una línea recta a través de su centro se llaman puntos antipodal. A gran círculo es un círculo en la esfera que tiene el mismo centro y radio que la esfera, y por lo tanto la divide en dos porciones iguales. La distancia más corta entre dos puntos no-antipodal distintos en la superficie y medidos a lo largo de la superficie, está en el gran círculo único que pasa a través de los dos puntos.

Si un punto particular en una esfera se señala como su Polo Norte, entonces el punto antipodal correspondiente se llama poste del sur y ecuador es el gran círculo que es equidistante a ellos. Los grandes círculos a través de los dos postes se llaman las líneas (o meridianos) de longitud, y la línea que conecta los dos postes se llama eje de la rotación. Los círculos en la esfera que son paralelos al ecuador son líneas de latitud. Esta terminología también se utiliza para los cuerpos astronómicos tales como el planeta Tierra, aun cuando es ni esférico ni uniforme esferoidal (véase geoid).

Una esfera se divide en el igual dos hemisferios por cualquier plano que pase a través de su centro. Si dos planos que se intersecan pasan a través de su centro, después subdividirán la esfera en cuatro lunes o biangles, las cimas de los cuales todas coinciden con los puntos antipodal que mienten en la línea de la intersección de los planos.

Generalización a otras dimensiones

Artículo principal: n-esfera

Las esferas se pueden generalizar a los espacios de cualesquiera dimensión. Para cualesquiera número natural n, n- esfera, escrito a menudo como Sn, está el sistema de puntos adentro (n) - espacio euclidiano dimensional +1 que están en una distancia fija r de un punto central de ese espacio, donde r está, como antes, un número verdadero positivo. Particularmente:

  • las 0 esferas son un par de puntos finales de un intervalo (−r, r) de la línea verdadera
  • una 1 esfera es a círculo del radio r
  • una esfera 2 es una esfera ordinaria
  • a esfera 3 es una esfera en el espacio euclidiano dimensional 4.

Esferas para n > 2 se llaman a veces hyperspheres.

n- la esfera del radio de la unidad centrada en el origen se denota Sn y se refiere a menudo como “” n- esfera. Observe que la esfera ordinaria es una esfera 2, porque es una superficie de 2 dimensiones.

El área superficial del (n−1) - la esfera del radio 1 es

donde Γ (z) es Euler Función gamma.

Otro fórmula para el área superficial es

y el volumen dentro es los tiempos del área superficial o

Generalización a los espacios métricos

Más generalmente, en a espacio métrico (E,d), la esfera del centro x y radio r > 0 es el sistema de puntos y tales que d(x,y) = r.

Si el centro es un punto distinguido considerado como origen de E, como en a normed espacio, no se menciona en la definición y la notación. Igual solicita el radio si se toma igual a uno, como en el caso de a esfera de la unidad.

En contraste con a bola, una esfera puede ser un sistema vacío, incluso para un radio grande. Por ejemplo, adentro Zn con Métrico euclidiano, una esfera del radio r es no vacío solamente si r2 puede ser escrito como suma de n cuadrados de números enteros.

Topología

En topología, n- esfera se define como espacio homeomorphic al límite del (n+1) - bola; así, es homeomorphic al euclidiano n- esfera, pero quizás el carecer su métrico.

n- se denota la esfera Sn. Es un ejemplo de a acuerdo múltiple topológico sin límite. Una esfera no necesita ser liso; si es liso, no necesita ser diffeomorphic a la esfera euclidiana.

Teorema de Heine-Borel implica que un euclidiano n- la esfera es compacta. La esfera es la imagen inversa de un uno-punto fijado bajo función continua ||x||. Por lo tanto la esfera es una cerrada. Sn también se limita. Por lo tanto es compacto.

Geometría esférica

Artículo principal: Geometría esférica

Los elementos básicos de geometría plana sea puntos y líneas. En la esfera, los puntos se definen en el sentido generalmente, pero el análogo de la “línea” puede no ser inmediatamente evidente. Si uno mide cerca longitud del arco uno encuentra que el Shortest-Path que conecta dos puntos que mienten enteramente en la esfera es un segmento del gran círculo contener los puntos; vea geodésico. Muchos teoremas de la geometría clásica son verdad para esta geometría esférica también, pero muchos no (véase postulado paralelo). En trigonometría esférica, ángulos se definen entre los grandes círculos. Así la trigonometría esférica es diferente de ordinario trigonometría en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico excede 180 grados. También, cualquieres dos similar los triángulos esféricos son congruentes.

Once características de la esfera

En su libro Geometría y la imaginación[3] David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describa once características de la esfera y discútalas si estas características determinan únicamente la esfera. Asimiento de varias características para plano cuál se puede pensar en como esfera con el radio infinito. Estas características son:

  1. Los puntos en la esfera son toda la misma distancia de un punto fijo. También, el cociente de la distancia de sus puntos a partir de dos puntos fijos es constante.
    La primera parte es la definición generalmente de la esfera y la determina únicamente. La segunda parte se puede deducir fácilmente y sigue un similar resultado de Apollonius de Perga para círculo. Esta segunda parte también sostiene para plano.
  2. Los contornos y las secciones del plano de la esfera son círculos.
    Esta característica define la esfera únicamente.
  3. La esfera tiene anchura constante y circunferencia constante.
    La anchura de una superficie es la distancia entre los pares de planos paralelos de la tangente. Hay numeroso otras superficies convexas cerradas que tengan anchura constante, por ejemplo Tetraedro de Meissner. La circunferencia de una superficie es la circunferencia del límite de su proyección orthogonal encendido a un plano. Puede ser probado que cada uno de estas características implica la otra.
  4. Todos los puntos de una esfera son umbilics.
    En cualquier momento en una superficie podemos encontrar a en dirección normal cuál es perpendicular a la superficie, para la esfera éstos en las líneas que irradian hacia fuera del centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene el normal con la superficie formará una curva llamada a sección normal y la curvatura de esta curva es curvatura seccional. Para la mayoría de los puntos en diversas secciones de las superficies tendrán diversas curvaturas, el máximo y los valores mínimos de éstos se llaman curvaturas principales. Puede ser probado que cualquier superficie cerrada tendrá por lo menos cuatro puntos llamados puntos umbilicales. En un umbilic todas las curvaturas seccionales son iguales, particularmente curvatura principal's es igual. Los puntos umbilicales se pueden pensar en como el puntos donde la superficie es aproximada de cerca por una esfera.
    Para la esfera las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, así que cada punto es un umbilic. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta característica.
  5. La esfera no tiene una superficie de centros.
    Para una sección normal dada hay un círculo que curvatura es igual que la curvatura seccional, es tangente a la superficie y que líneas centrales adelante en la línea normal. Tome a dos corresponder de centro al máximo y las curvaturas seccionales mínimas éstos se llaman puntos focales, y el sistema de todos tales centros forma superficie focal.
    Para la mayoría de las superficies las formas focales de la superficie dos hojas que es una superficie y que vienen junta en los puntos umbilicales. Hay un número de casos especiales. Para superficies del canal una hoja forma una curva y la otra hoja es una superficie; Para conos, cilindros, toruses y cyclides ambas curvas de la forma de las hojas. Para la esfera el centro de cada círculo osculating está en el centro de la esfera y la superficie focal forma un solo punto. Ésta es una característica única de la esfera.
  6. Todo el geodesics de la esfera es curvas cerradas.
    Geodesics son las curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Son generalización del concepto de una línea recta en el plano. Para la esfera el geodesics es grandes círculos. Hay muchas otras superficies con esta característica.
  7. De todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es la que está con el área superficial más pequeña; de todos los sólidos que tienen un área superficial dada, la esfera es la que está que tiene el volumen más grande.
    Estas características definen la esfera únicamente. Estas características pueden ser consideradas observando burbujas del jabón. Una burbuja del jabón incluirá un volumen fijo y debido a tensión de superficie intentará reducir al mínimo su área superficial. Por lo tanto una burbuja flotante libre del jabón será aproximadamente una esfera, factores como la gravedad causará una distorsión leve.
  8. La esfera tiene la curvatura mala total más pequeña entre todos los sólidos convexos con un área superficial dada.
    curvatura mala es el promedio de las dos curvaturas principales y como éstos son constantes en todos los puntos de la esfera entonces así que es la curvatura mala.
  9. La esfera tiene curvatura mala positiva constante.
    La esfera es la única superficie sin límite o singularidades con curvatura mala positiva constante. Hay otras superficies con la curvatura mala constante, superficies mínimas tenga curvatura mala cero.
  10. La esfera tiene curvatura Gaussian positiva constante.
    Curvatura Gaussian es el producto de las dos curvaturas del principio. Es una característica intrínseca que se puede determinar midiendo longitud y ángulos y no depende de la manera que es la superficie encajado en espacio. Por lo tanto, la flexión de una superficie no alterará la curvatura Gaussian y otras superficies con curvatura Gaussian positiva constante pueden ser obtenidas cortando una raja pequeña en la esfera y doblándola. Estas el resto de las superficies tendrían límites y la esfera es la única superficie sin límite con curvatura Gaussian positiva constante. pseudosphere es un ejemplo de una superficie con curvatura Gaussian negativa constante.
  11. La esfera es transformada en sí mismo por una familia del tres-parámetro de movimientos rígidos.
    Considere un lugar de la esfera de la unidad en el origen, una rotación alrededor del x, y o z el eje traz la esfera sobre sí mismo, cualquier rotación sobre una línea con el origen se puede expresar de hecho como combinación de rotaciones alrededor del eje coordinado tres, considera Ángulos de Euler. Así hay una familia de las rotaciones que transforman la esfera sobre sí mismo, ésta de tres parámetros es grupo de la rotación, TAN (3). El plano es el único la otra superficie con una familia de tres parámetros de las transformaciones (traducciones a lo largo del x y y eje y rotaciones alrededor del origen). Los cilindros circulares son las únicas superficies con dos familias del parámetro de movimientos rígidos y superficies de la revolución y helicoids son las únicas superficies con una familia de un parámetro.

Referencias

  1. ^ Sphaira, Henrio George Liddell, Roberto Scott, Un léxico Griego-Inglés, en Perseus
  2. ^ Australia pesa adentro para hacer el kilogramo perfecto (el lanzamiento de los medios)
  3. ^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría y la imaginación, 2do ed., Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9. 

Vea también

Acoplamientos externos

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Citas
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