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Función lisa

En análisis matemático, a clase del differentiability es una clasificación de funciones según las características de su derivados. Las clases del differentiability de una orden más alta corresponden a la existencia de más derivados. Se llaman las funciones que tienen derivados de todas las órdenes liso.

La mayor parte de este artículo estará alrededor verdadero- funciones valoradas de una variable verdadera. Una discusión del caso multivariable será presentada hacia el extremo.

Contenido 1 Clases de Differentiability 2 Ejemplos 3 Relación al analyticity 4 El espacio de Ck funciones 5 Clases de Differentiability en varias variables 6 Particiones lisas de la unidad 7 Funciones lisas entre los múltiples 8 Vea también 9 Referencias

Clases de Differentiability

Considere abra el sistema en línea verdadera y una función f definido en eso fije con valores verdaderos. Dejado k sea un no negativo número entero. La función f reputa de clase C^k si los derivados f, '' de f, ..., f^(k) exista y sea continuo (la continuidad es automática para todos los derivados excepto el pasado, f^(k)). La función f reputa de clase C^∞, o liso, si tiene derivados de todas las órdenes. f reputa de clase C^ω, o analítico, si f es liso y si iguala su Serie de Taylor extensión alrededor de cualquier punto en su dominio.

Para ponerlo diferentemente, la clase C⁰ consiste en todas las funciones continuas. La clase C¹ consiste en todas las funciones diferenciables que derivado sea continuo; se llaman tales funciones continuamente diferenciable. Así, a C¹ la función es exactamente una función que derivado existe y está de clase C⁰. Generalmente las clases C^k puede ser definido recurrentemente declarando C⁰ para ser el sistema de todas las funciones continuas y declarar C^k para cualquier número entero positivo k para ser el sistema de todas las funciones diferenciables que derivado está adentro C^k-1. Particularmente, C^k se contiene adentro C^k-1 para cada k, y hay ejemplos para demostrar que esta contención es terminante. C^∞ es la intersección de los sistemas C^k como k varía sobre los números enteros no negativos. C^ω se contiene terminantemente adentro C^∞; para un ejemplo de esto, vea función del topetón o también abajo.

Ejemplos

La función

es continuo, pero no diferenciable en x = 0, así que está de clase C⁰ pero no de la clase C¹.

La función

es diferenciable, con el derivado

Porque lechuga romana (1x) oscila como x los acercamientos ponen a cero, f ’(x) no es continuo en cero. Por lo tanto, esta función es diferenciable pero no de clase C¹. Por otra parte, si uno toma f(x)=x^3/2pecado (1x) (x ≠0) en este ejemplo, puede ser utilizado para demostrar que la función derivada de una función diferenciable puede ser ilimitada en a sistema del acuerdo y, por lo tanto, que una función diferenciable en un sistema compacto puede no estar localmente Lipschitz continuo.

función exponencial es analítico, así pues, de clase C^ω. funciones trigonométricas sea también analítico dondequiera que se definan.

La función

es liso, tan de clase C^∞, solamente no es analítico en , así que no está de clase C^ω.

Relación al analyticity

Mientras que todos funciones analíticas sea liso en el sistema en el cual son analíticos, el ejemplo antedicho demuestra que el inverso no es verdad para las funciones en los reals: existen las funciones verdaderas lisas que no son analíticas. Aunque puede ser que se parezca que tales funciones son la excepción más bien que la regla, resulta que las funciones analíticas están dispersadas muy fino entre las lisas; más riguroso, las funciones analíticas forman a pobre subconjunto de las funciones lisas. Además, para cada subconjunto abierto A de la línea verdadera, existen las funciones lisas que son en A y en ninguna parte analíticas.

Es útil comparar la situación a la de la ubicuidad de números transcendental en la línea verdadera. Ambos en la línea verdadera y el sistema de funciones lisas, los ejemplos que subimos con al principio pensaron que (los números algebraicos/racionales y las funciones analíticas) son lejos mejores comportados que la mayoría de casos: los números transcendental y en ninguna parte las funciones analíticas tienen medida completa (sus complementos son pobres).

La situación descrita así está en contraste marcado a las funciones diferenciables complejas. Si una función compleja es diferenciable apenas una vez en un sistema abierto es ambas infinitamente diferenciables y analítico en eso fije.

El espacio de C^k funciones

Dejado D sea un subconjunto abierto de la línea verdadera. El sistema de todos C^k funciones definidas encendido D y tomar valores verdaderos es a Espacio de Fréchet con la familia contable de seminorms

donde K varía sobre secuencia de aumento de sistemas del acuerdo cuyo unión es D, y m = 0, 1,…, k.

El sistema de C^∞ funciones encima D también forma un espacio de Fréchet. Uno utiliza los mismos seminorms que arriba, salvo que m se permite para extenderse sobre todos los valores no negativos del número entero.

Los espacios antedichos ocurren naturalmente en usos donde están necesarias las funciones que tienen derivados de ciertas órdenes; sin embargo, particularmente en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales, puede a veces ser más fructuoso trabajar en lugar de otro con Espacios de Sobolev.

Clases de Differentiability en varias variables

Dejado n y m sea algunos números enteros positivos. Si f es una función de un subconjunto abierto de Rⁿ con valores adentro R^m, entonces f tiene funciones componentes f₁, ..., f_m. Cada uno de éstos puede o no puede tener derivados parciales. Decimos eso f está de clase C^k si todos los derivados parciales existe y es continuo, de donde cada uno es un número entero entre 1 y n. Las clases C^∞ y C^ω se definen como antes.

Estos criterios del differentiability se pueden aplicar a las funciones de la transición de a estructura diferenciada. El espacio que resulta se llama a C^k múltiple.

Si uno desea comenzar con una definición independiente coordinada del clase C^k, uno puede comenzar considerando mapas en medio Espacios de Banach. Un mapa a partir de un espacio de Banach a otro es diferenciable en un punto si hay un mapa de la afinación que lo aproxima en ese punto. El derivado del mapa asigna al punto x la parte linear de la aproximación de la afinación al mapa en el X. Puesto que el espacio de mapas lineares a partir de un espacio de Banach a otro es otra vez un espacio de Banach, podemos continuar este procedimiento para definir derivados de una orden más alta. Un mapa f está de clase C^k si tiene derivados continuos hasta orden k, como antes.

Observe eso Rⁿ es un espacio de Banach para cualquier valor de n, así que el acercamiento libre coordinado es aplicable en este caso. Puede ser demostrado que la definición en términos de derivados parciales y el acercamiento libre coordinado son equivalentes; es decir, una función f está de clase C^k al lado de un iff de la definición está tan por la otra definición.

Particiones lisas de la unidad

Funciones lisas con dado cerrado ayuda se utilizan en la construcción de particiones lisas de la unidad (véase partición de la unidad y glosario de la topología); éstos son esenciales en el estudio de múltiples lisos, por ejemplo demostrar eso Métrica de Riemannian puede ser definido global a partir de su existencia local. Un caso simple es el de a función del topetón en la línea verdadera, es decir, una función lisa f ese toma a valor 0 exteriores un intervalo [a,b] y tal que

f(x) > 0 para a < x < b.

Dado un número de intervalos traslapados en la línea, las funciones del topetón se pueden construir en cada uno de ellos, y en intervalos semi-infinitos (- el ∞, c] y [d, +∞) para cubrir la línea entera, tal que la suma de las funciones es siempre 1.

Acaba de decirse de qué, las particiones de la unidad no se aplican a funciones holomorphic; su existencia en relación con de diverso comportamiento y continuación analítica es una de las raíces de gavilla teoría. En cambio, las poleas acanaladas de funciones lisas tienden para no llevar mucha información topológica.

Funciones lisas entre los múltiples

Mapas lisos entre múltiples lisos puede ser definido por medio de cartas, puesto que la idea de la suavidad de la función es independiente de la carta particular usada. Tal mapa tiene a primero derivado definido encendido vectores de la tangente; da traz linear fibra-sabio en el nivel de paquetes de la tangente.

Vea también

• función lisa No-analítica
• función Cuasi-analítica

Referencias

• Kim, cantado el S.; Kwon, Kil H. (Mrz. 2000). "Alise (C-inf) pero en ninguna parte las funciones analíticas". La publicación mensual matemática americana 107 (3): 264-266.