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Número verdadero

En matemáticas, números verdaderos puede ser descrito informal como números con un infinito representación decimal, por ejemplo 2.4871773339…. Los números verdaderos incluyen números racionales, por ejemplo 42 y −23/129, y números irracionales, por ejemplo π y raíz cuadrada de 2. Pueden también ser visualizados, o ser representados, como puntos a lo largo del infinitamente de largo línea del número.

Una definición rigurosa de los números verdaderos era uno de los progresos más importantes de las diecinueveavo matemáticas del siglo. De hecho, varias definiciones equivalentes fueron desarrolladas. Los acercamientos populares que todavía se utilizan hoy en día incluyen

• los números verdaderos como clases de equivalencia de Secuencias de Cauchy de números racionales,
• los números verdaderos como Cortes de Dedekind, una versión más sofisticada de la “representación decimal”, y
• los números verdaderos como el único completo De Arquímedes ordenado campo.

El nombre números verdaderos se presentó para distinguirlos de qué entonces fueron llamadas números imaginarios (y ahora números complejos).

Contenido 1 Características básicas 2 Aplicaciones 3 Historia 4 Definición 4.1 Construcción de los números racionales 4.2 Acercamiento axiomático 5 Características 5.1 Lo completo 5.2 “El campo pedido completo” 5.3 Características avanzadas 6 Generalizaciones y extensiones 7 “Reals” en teoría determinada 8 Referencias 9 Vea también 10 Acoplamientos externos

Características básicas

Un número verdadero puede ser cualquiera racional o irracional; cualquiera algebraico o transcendental; y cualquiera positivo, negativo, o cero.

Medida verdadera de los números continuo cantidades. Pueden en teoría ser expresados cerca representaciones decimales eso tiene una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma; éstos se representan a menudo en la misma forma que 324.823122147… puntos de suspensión (tres puntos) indique que todavía habría más dígitos a venir.

Más formalmente, los números verdaderos tienen las dos características básicas de ser campo pedido, y teniendo menos límite superior característica. El primer dice que los números verdaderos abarcan a campo, con la adición y la multiplicación así como la división por los números distintos a cero, que pueden ser ordenado totalmente en una línea del número de una manera compatible con la adición y la multiplicación. El segundo dice que si un sistema no vacío de números verdaderos tiene límite superior, entonces tiene a menos límite superior. Estos dos juntos definen los números verdaderos totalmente, y permiten que sus otras características sean deducidas. Por ejemplo, podemos probar de estas características que cada polinomio del grado impar con coeficientes verdaderos tiene una raíz verdadera, y que si usted agrega la raíz cuadrada de −1 a los números verdaderos, obtención números complejos, el resultado es algebraico cerrado.

Aplicaciones

Medidas en ciencias físicas se conciben casi siempre como de aproximaciones a los números verdaderos. Mientras que los números usados para este propósito están generalmente fracciones decimales representando los números racionales, escribiéndolos en términos decimales sugiere que son una aproximación a un número verdadero subyacente teórico.

Un número verdadero reputa computable si existe algoritmo ese rinde sus dígitos. Porque hay solamente contable muchos algoritmos, sino un número uncountable de reals, la mayoría de los números verdaderos no son computables. Algunos constructivists acepte la existencia solamente de esos reals que sean computables. El sistema de números definibles es más amplio, pero aún solamente contable.

Computadoras números más verdaderos aproximados de la poder solamente. Lo más comúnmente posible, pueden representar cierto subconjunto de los números racionales exactamente, vía cualquiera coma flotante números o de punto fijo los números, y estos números racionales se utilizan como aproximación para otros valores verdaderos próximos. Aritmética Arbitrary-precision es un método para representar los números racionales arbitrarios, limitados solamente por disponible memoria, solamente más comunmente uno utiliza un número fijo de pedacitos de la precisión determinada por el tamaño del registros del procesador. Además de estos valores racionales, álgebra de la computadora los sistemas pueden tratar muchos números irracionales (contables) exactamente almacenando una descripción algebraica (tal como “sqrt (2)”) más bien que su aproximación racional. Observe que algunos lenguajes de programación utilizan “verdadero” describir su numérico principal tipo de datos, por ejemplo AppleScript.

Los matemáticos utilizan el símbolo R (o alternativomente, , la letra “R“adentro pizarra en negrilla, ℝ de Unicode) para representar sistema de todos los números verdaderos. notación Rⁿ refiere a n-dimensional espacio con coordenadas verdaderos; por ejemplo, un valor de R³ consiste en tres números verdaderos y especifica una localización en espacio de 3 dimensiones.

En las matemáticas, verdaderas se utiliza como adjetivo, significando que el campo subyacente es el campo de números verdaderos. Por ejemplo verdadero matriz, verdadero polinómico y verdadero Álgebra de mentira. Como sustantivo, el término se utiliza casi terminantemente en la referencia a los números verdaderos, ellos mismos (e.g., “fije de todos los reals”).

Historia

Fracciones vulgares había sido utilizado por Egipcios alrededor 1000 A.C.; Vedic "Sulba Sutras“(“regla de acordes” adentro Sanskrit), ca. 600 A.C., incluya de qué puede ser el primer “uso” números irracionales^{[la citación necesitó]}.

Alrededor 500 A.C., Griego los matemáticos condujeron cerca Pythagoras realizó la necesidad de números irracionales, particularmente el irrationality del raíz cuadrada de dos.

En los décimo octavos y diecinueveavo siglos había mucho trabajo encendido irracional y números transcendental. Lambert (1761) dio la primera prueba estropeada que el π no puede ser racional, Legendre (1794) terminó la prueba, y demostró que el π no es la raíz cuadrada de un número racional. Ruffini (1799) y Abel (1842) ambas pruebas construidas de Teorema de Abel-Ruffini: que el general quintic o ecuaciones más altas no se pueden solucionar por un fórmula general que implica solamente operaciones y raíces aritméticas.

Évariste Galois (1832) técnicas desarrolladas para determinarse si una ecuación dada se podría solucionar por los radicales de los cuales dio lugar al campo Teoría de Galois. José Liouville (1840) no demostrado eso ni unos ni otros e ni e² puede ser una raíz de un número entero ecuación cuadrática, y existencia entonces establecida de números transcendental, la prueba que es desplazada posteriormente por Georg Cantor (1873). Charles Hermite (1873) primero probado eso e es transcendental, y Ferdinand von Lindemann (1882), demostrado que el π es transcendental. La prueba de Lindemann fue simplificada mucho por Weierstrass (1885), aún más cerca David Hilbert (1893), y finalmente se ha hecho elemental cerca Hurwitz y Paul Albert Gordan.

El desarrollo de cálculo en el 1700s usado el sistema entero de números verdaderos sin definirlos limpio. La primera definición rigurosa fue dada cerca Cantor de Georg en 1871. En 1874 él demostró que es el sistema de todos los números verdaderos uncountably infinito pero el sistema de todos números algébricos es contable infinito. El contrario a la creencia muy frecuente, su método no era el suyo famoso discusión diagonal, que él publicó en 1891.

Definición

Artículo principal: Construcción de números verdaderos

Construcción de los números racionales

Los números verdaderos se pueden construir como terminación de los números racionales de una manera tal que una secuencia definida por una extensión decimal o binaria tenga gusto {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} converge a un número verdadero único. Para los detalles y otras construcciones de números verdaderos, vea construcción de números verdaderos.

Acercamiento axiomático

Dejado R denote sistema de todos los números verdaderos. Entonces:

• El sistema R es a campo, significando eso adición y multiplicación se definen y tienen las características generalmente.
• El campo R es ordenado, significando que hay a orden total ≥ tales que, para todos los números verdaderos x, y y z:
  • si x ≥ y entonces x + z ≥ y + z;
  • si x ≥ 0 y y ≥ 0 entonces xy ≥ 0.
• La orden es Dedekind-completo; es decir, cada no vacío subconjunto S de R con límite superior en R tiene a menos límite superior (también llamado supremum) adentro R.

La característica pasada es qué distingue los reals del números racionales. Por ejemplo, el sistema de números racionales con el cuadrado menos de 2 tiene un límite superior racional (e.g., 1.5) solamente ningún racional menos límite superior, porque raíz cuadrada de 2 no es racional.

Los números verdaderos son especificados únicamente por las características antedichas. Más exacto, dado cualquieres dos campos pedidos Dedekind-completos R₁ y R₂, existe un campo único isomorfismo de R₁ a R₂, permitiendo que pensemos en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático.

Para otra axiomatización de R, vea Axiomatización de Tarski de los reals.

Características

Lo completo

La razón principal de introducir los reals es que los reals contienen todos límites. Más técnico, los reals son completo (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes, que es un diverso sentido que lo completo de Dedekind de la orden en la sección anterior). Esto significa el siguiente:

A secuencia (x_n) de números verdaderos se llama a Secuencia de Cauchy si para cualquier ε> 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tales que distancia |x_n − x_m| es menos que el ε para todos n y m eso es ambos mayor que N. Es decir una secuencia es a Cauchy secuencia si sus elementos x_n venga y permanezca eventual arbitrariamente cerca de uno a.

Una secuencia (x_n) converge al límite x si para cualquier ε> 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tales que la distancia |x_n − x| es menos que ε a condición de que n es mayor que N. Es decir una secuencia tiene límite x si siguen habiendo sus elementos eventual vienen y arbitrariamente cerca de x.

Es fácil ver que cada secuencia convergente es una secuencia de Cauchy. Un hecho importante sobre los números verdaderos es que el inverso es también verdad:

Cada secuencia de Cauchy de números verdaderos es convergente.

Es decir, los reals son completos.

Observe que los números racionales no son completos. Por ejemplo, la secuencia (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421,…) es Cauchy pero no converge a un número racional. (En los números verdaderos, en cambio, converge a raíz cuadrada de 2.)

La existencia de límites de las secuencias de Cauchy es qué hace cálculo el trabajo y está de gran uso práctico. La prueba numérica estándar para determinarse si una secuencia tiene un límite es probar si es una secuencia de Cauchy, pues el límite no se sabe típicamente por adelantado.

Por ejemplo, la serie estándar de función exponencial

converge a un número verdadero porque para cada x las sumas

puede ser hecho arbitrariamente pequeño eligiendo N suficientemente grande. Esto prueba que la secuencia es Cauchy, así que sabemos que converge la secuencia aunque el límite no está sabida por adelantado.

“El campo pedido completo”

Los números verdaderos se describen a menudo como “el campo pedido completo”, una frase que se pueda interpretar de varias maneras.

Primero, una orden puede ser enrejado-completo. Es fácil ver que ningún campo pedido puede ser enrejado-completo, porque no puede hacer ningún elemento más grande (dar cualquier elemento z, z + 1 es más grande), así que éste no es el sentido se significa que.

Además, una orden puede ser Dedekind-completo, según lo definido en la sección Axiomas. El resultado de la unicidad en el extremo de esa sección justifica el usar de la palabra “” en la frase “termina el campo pedido” cuando éste es el sentido de “termina” que está significado. Este sentido de lo completo se relaciona lo más de cerca posible con la construcción de los reals de los cortes de Dedekind, desde entonces comienzo de esa construcción de un campo pedido (los números racionales) y después forma la Dedekind-terminación de él de una manera estándar.

Estas dos nociones de lo completo no hacen caso de la estructura del campo. Sin embargo, grupo pedido (en este caso, el grupo aditivo del campo) define a uniforme la estructura, y las estructuras del uniforme tienen una noción de lo completo (topología); la descripción en la sección Lo completo sobre está un caso especial. (Referimos a la noción de lo completo en espacios uniformes más bien que a relacionado y mejoramos la noción sabida para espacios métricos, puesto que la definición del espacio métrico confía en ya tener una caracterización de los números verdaderos.) no es verdad que R es solamente el campo pedido uniformemente completo, pero él es los únicos termina uniformemente Campo de Arquímedes, y de hecho uno oye a menudo la frase “campo de Arquímedes completo” en vez de “terminar el campo pedido”. Puesto que puede ser probado que cualquier campo de Arquímedes uniformemente completo debe también ser Dedekind-completo (y viceversa, por supuesto), éste justifica usar “” en la frase “el campo de Arquímedes completo”. Este sentido de lo completo se relaciona lo más de cerca posible con la construcción de los reals de las secuencias de Cauchy (la construcción realizada por completo en este artículo), puesto que comienza con un campo de Arquímedes (los números racionales) y las formas la terminación uniforme de él de una manera estándar.

Pero el uso original de la frase “campo de Arquímedes completo” estaba cerca David Hilbert, que significó algo más inmóvil por él. Él significó que los números verdaderos forman el más grande Campo de Arquímedes en el sentido que cada otro campo de Arquímedes es un subcampo de R. Así R es “terminan” en el sentido que nada más futuro se puede agregar a él sin la fabricación le no más de un campo de Arquímedes. Este sentido de lo completo se relaciona lo más de cerca posible con la construcción de los reals de números surreal, esa construcción comienza desde entonces con una clase apropiada que contenga cada campo pedido (los surreals) y después seleccione de él el subcampo de Arquímedes más grande.

Características avanzadas

Los reals son uncountable; es decir, hay terminantemente números más verdaderos que números naturales, aun cuando ambos sistemas están infinito. De hecho, cardinality de los reals iguales que del sistema de los subconjuntos de los números naturales, y Discusión diagonal del Cantor estados que el cardinality del último sistema es terminantemente más grande que el cardinality de N. Puesto que solamente un sistema contable de números verdaderos puede ser algebraico, casi todos los números verdaderos son transcendental. El non-existence de un subconjunto de los reals con cardinality terminantemente entre el de los números enteros y de los reals se conoce como hipótesis de la serie continua. Se pruebe la hipótesis de la serie continua puede ni ni refútese; es independiente de axiomas de la teoría determinada.

Los números verdaderos forman a espacio métrico: la distancia en medio x y y se define para ser valor absoluto |x − y|. En virtud de ser a ordenado totalmente fije, ellos también llevan topología de la orden; topología el presentarse del métrico y el que está que se presenta de la orden son idénticos. Los reals son a contractible (por lo tanto conectado y conectado simplemente), separable espacio métrico de dimensión 1, y es por todas partes denso. Los números verdaderos son localmente acuerdo pero no acuerdo. Hay las varias características que los especifican únicamente; por ejemplo, todo ilimitado, conectado, y separable topologías de la orden esté necesariamente homeomorphic a los reals.

Cada número verdadero no negativo tiene a raíz cuadrada en R, y ningún número negativo. Esto demuestra a eso la orden encendido R es determinado por su estructura algebraica. También, cada polinomio del grado impar admite por lo menos una raíz: estas dos características hacen R el ejemplo del primero ministro de a campo cerrado verdadero. Probar esto es la primera mitad de una prueba de teorema fundamental de la álgebra.

Los reals llevan un canónico medida, Medida de Lebesgue, que es Medida de Haar en su estructura como a grupo topológico normalizó tales que intervalo de unidad [0.1] tiene medida 1.

El axioma del supremum de los reals refiere a los subconjuntos de los reals y es por lo tanto una declaración lógica second-order. No es posible caracterizar los reals con lógica de primer orden solamente: Teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe un subconjunto denso contable de los números verdaderos que satisfacen exactamente las mismas oraciones en la primera lógica de la orden que el verdadero se numera. El sistema de números hyperreal satisface las mismas primeras oraciones de la orden que R. Campos pedidos que satisfacen las mismas oraciones de primer orden que R se llaman modelos anormales de R. Esto es qué hace análisis anormal trabajo; probando una declaración de primer orden en un cierto modelo anormal (cuál puede ser más fácil que probándolo adentro R), sabemos que la misma declaración debe también ser verdad de R.

Generalizaciones y extensiones

Los números verdaderos se pueden generalizar y ampliar en varias diversas direcciones:

• números complejos contenga las soluciones a todos polinómico las ecuaciones y por lo tanto son campo algebraico cerrado desemejante de los números verdaderos. Sin embargo, los números complejos no son campo pedido.
• sistema de numeración verdadero affinely extendido agrega dos elementos +∞ y el −∞. Es a espacio compacto. Es no más un campo, no igualar a un grupo aditivo; todavía tiene a orden total; por otra parte, es a termine el enrejado.
• línea descriptiva verdadera agrega solamente un ∞ del valor. Es también un espacio compacto. Una vez más es no más un campo, no igualar a un grupo aditivo. Sin embargo, permite la división de un elemento diferente a cero por cero. No se pide más.
• línea verdadera larga ℵ de las gomas junto₁* + ℵ₁ copias de la línea verdadera más un solo punto (aquí ℵ₁* denota ordenar invertida del ℵ₁) para crear un sistema pedido que es “localmente” idéntico a los números verdaderos, pero de alguna manera más de largo; por ejemplo, hay el encajar orden-que preserva del ℵ₁ en la línea verdadera larga pero no en los números verdaderos. La línea verdadera larga es el sistema pedido más grande que es completo y localmente de Arquímedes. Como con los dos ejemplos anteriores, este sistema es no más un grupo del campo o del añadido.
• Los campos pedidos que amplían los reals son números hyperreal y números surreal; los dos contienen infinitesimal y los números infinitamente grandes y no son así De Arquímedes.
• Operadores del Uno mismo-adjoint en a Espacio de Hilbert (por ejemplo, complejo cuadrado del uno mismo-adjoint matrices) generalice los reals en muchos aspectos: pueden ser pedidos (ordenado sin embargo no no totalmente), ellos son completos, todo su valores propios sea verdadero y forman un verdadero álgebra sociable. Positivo-definido los operadores corresponden a los reals positivos y operadores normales corresponda a los números complejos.

“Reals” en teoría determinada

En fije la teoría, específicamente teoría determinada descriptiva Espacio de Baire se utiliza como sustituto para los números verdaderos puesto que el últimos tienen algunas características topológicas (connectedness) que sean una inconveniencia técnica. Los elementos del espacio de Baire se refieren como “reals”.

Referencias

• El Cantor de Georg, 1874, “aller del DES Inbegriffes de Eigenschaft del eine de Über reellen algebraischen Zahlen”, Und Angewandte Mathematik de Reine del dado del für del diario, el volumen 77, pagina 258-262.

Vea también

Acoplamientos externos

• Los números verdaderos: Pythagoras a Stevin
• Los números verdaderos: Stevin a Hilbert
• Los números verdaderos: Tentativas de entender

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